材料力学刘德华版课后习题答案版

2.1试求图示杆件各段的轴力，并画轴力图。

生图

10kNUEULEK

IOkN'：

30kN50kNFN图

⑵华卜T-(4)3OkN

*rw].....34()kN

.周IOkNL

15kN15kN20kN

IOkN----------------------------1------------

177

2.「也空d=20nP=

q=10kN/m，.l=Jm求各杆的蟋大正应

18＞不并表不

正应化

售85Mpe

■MPa,肥2,.“MPa,(3九43.l6(>MPa，

(4^®95.^Pa95.i^U£ffiMPa'

63.69MPa

F

题2.4图

2.4一正方形截面的阶梯柱受力如题2.4图所示。已知:

a=200mm,b=100mm,F=100kN,不计柱的自重，试

计算该柱横截面上的最大正应力。

解：1-1截面和2-2截面的内力为:

FN1=-F；

FN2=-3F

相应截面的应力为：

^=-IOox.o^_[oMpa

1A,100-

屋=心也更7.5MPa

2A,2002

最大应力为：向=10MPa

IImax

2.8图示钢杆的横截面积A=1000mm2,材料的弹性模量E=200GPa,试求:

(1)各段的轴向变形；（2）各段的轴向线应变；（3）杆的总伸长。

乂告20x2

200X109X1000X10-6

-4

£\=AL,=10w

AL2=0m

£=0

i△k--2x104

=-2xl0>=(0,

2m

A/=A/,+A，+A/In=0.1mm+0—0.2mm=-0.1mm

2.10图示结构中，五根杆的抗拉刚度均为EA,杆AB长为1,ABCD是正方

形。在小变形条件下，试求两种加载情况下，AB杆的伸长。

解（a）受力分析如图，由C点平衡可知：

F,AC=F,CB=O；

由D声平衡可知：F'

再由区焦曲率衡一

△」工里

.EAEA

因此

Z工=。：及大

^AC=F；cA'B

(b)浮力分析如图，由C点平衡司邹

F|

(b)¥

2心cos45f,正终尸|

0；FAB=-F

FJ_Fl

"AB

EAEA

再由A点的平衡:

因此

2.12图示结构中，水平刚杆AB不变形，杆①为钢杆，直径dl=20mm,弹性

模量El=200GPa；杆②为铜杆，直径d2=25mm,弹性模量E2=100GPao设在

外力F=30kN作用下，

AB杆保持水平。(1)试求F力作用点到A端的距离a；(2)如果使刚杆保持水

平且竖向位移不超过2mm,则最大的F应等于多少？

翳序花城图图

Z”“=0:F(2-a)-220,

△£,=△£,=^-=-5^

EA

万(2/)4Fai?

2gA-2刍4

4(2-a)xl.5

,2692

200xl0x7Cx20xl0100xl0x7tx25xl0*

(2-4)：1.5二三,a=].0791=1.08m

202252

AL,=AL,=2mdl=20mm,El=

A£,=2m=-^=.5^

d2=25mm,E2=iuuuFa。

E2A,2£2\

4万人4X100X109X-X252X106

F=空”=---------------=181.95kN

Mal,1.08x1

2.15图示结构中，AB杆和AC杆均为圆截面钢杆，材料相同。已知结点A无

水平位移，试求两杆直径之比。

Xa=o：

几cos45"+用ccos30"=0

小拒

成一正

cos45"=30"

LAnLACCOS

_cos300_百

*BAC后方=&AC

心=巫=皿45。=也

m

△4AA2

2=竺=.3。”」

A4”2

由翦杆蝇的/几何养系可魁星*2优ch

'f-叵AL.=2A"CAte

近FAJAR_2FACLAC

风=2%

d\B_6F4B_灰石K=_3及

——"-7=^--Y——1.VU

2%Ac2V2V24

d\c

%=1.03

"AC

2.20图示结构中，杆①和杆②均为圆截面钢杆，直径分别为dl=16mm,

d2=20mm,已知F=40kN,刚材的许用应力［。］=160Mpa,试分别校核二杆的

强度。

解：1力分析如图

ZC=o：

-"sin45"+£；sin3(r=0(1)

»,=0:

f；cos45"+Ecos30',-F=0(2)

(1<团El的Kk7kN

%=合湘P&2坳(hW军[0]=160MPa

杆①和杆②都满足强度要求。

2.24图示结构，BC杆为5号槽钢，其许用应力［。］l=160MPa；AB杆为100

X50mm2的矩形截面木杆，许用应力［。］2=8MPa。试求：(1)当F=50kN时，

校核该结构的强度；(2)许用荷载［F］。

解：察物;析如图

%sin60"+/sin30"=0(1)

立=0：

F„ACOS30"-F„ccos60*'-F=0(2)

联立,1X30褊成诲得岁呼为舒友!25的岬PaFBA=43.3kN。

查型颦趟朝曳氏君辎弊畀入屁C=25kN;FBA=43.3kN；ABC=6.928cm2,

[o]l=i60MPiF^AB=100X5bmm2；[o]2=8MPao

!-^=[<T],;[fM]=[o-]2A/(4=8x100X50=40*N

杆BC满足强度要求，但杆BA不满足强度要求。

将［FBA］带入(1)、(2)式中求得许用荷载［F］=46.2kN

2.25图示结构中，横杆AB为刚性杆，斜杆CD为直径d=20mm的圆杆，材料

的许用应力[。]=160Mpa,试求许用荷载[F]。

解：眄2s电息或175H.25=0.5

0c0.63

4x10尸4OFxlO31G八

a=-F0^c=-----=------；----rb=160

26G

A0c3乃/3^X20X10'

…I60X3^X202X10^,,

F=---------------=15.IkNXR

40xl03

4x10F40PxiO'

b=—=-----=------；----r<0-1=160

M3冗W3^X202X10-6

J60x3"20：xW

=15.MN

40xl03

d=20mm10

[0]=160MPa

2.27图示杆系中，木杆的长度a不变，其强度也足够高，但钢杆与木杆的夹角

a可以改变（悬挂点C点的位置可上、下调整）。若欲使钢杆AC的用料最少，

夹角a应多大？

解：yF=0.AAC=ZJ=——-——

乙y•[<T]AC匕]ACsin。

^ACsin<2-F=0l肉。=aIcosa

杆AC的体积：

[cr]AC[cr]ACsinezcoscr[cr]ACsinla

钢杆AC的用料最少，则体积最小，有：Ay—0

[(T]ACsina

/=tz/cosa

sin2a=1;a=45°AC

2.37图示销钉连接中，F=100kN,销钉材料许用剪切应力[Tj]=60MPa,试确

定销钉的直径do

2.39图示的钏I接接头受轴向力F作用，已知：F=80kN,b=80mm,6=10mm,

d=16mm,钏钉和板的材料相同，其许用正应力［。］=160Mpa,,许用剪切应力［工

j］=120MPa,许用挤压应力［obs］=320MPa。试校核其强度。d

解:

a-,-———=125MPa<[a\

3(b-d”3F/4

F/4

b=80mm,6=10mm,d=16mm；„Fo

F=——=20KN

[Tj]=120MPa,[obs]=320MPaJ423

(

T.==4x2Qxl^=99.5MPa<[r.]

2

JA3.14xl6」

3

Fs_20xlQ

bbs==125MPa<a」

d316x10

3.1试画下列各杆的扭矩图。

..4kN•mm

3kN,mp

(C)|1

3kN•m

3.4薄壁圆筒受力如图所示，其平均半径r0=30mm，壁厚t=2mm,长度

l=300mm,当外力偶矩Me=L2kN时，测得圆筒两端面之间的扭转角6=0.76o,

试计算横截面上的扭转切应力和圆筒材料的切变模量Go

解：r0=30mm,t=2mm,l=300mm,@=0.76"

T

r=~-z-

2"松

1.2xl06

-2X3.14X302X2

=106MPa；

yl=r0(p

106.1x10-3

法=亚丑双x2=L326xl(r3ratzG=£==8QGpa

/300180y1.326x1O-3

3.8直径d=60mm的圆轴受扭如图所示，试求I-I截面上A点的切应力和轴中

的最大扭转切应力。

解：扭矩图如图

/rd4©

~12

4kN•in

32x2xl06d16xl06

一=23.59MP。

兀d'4兀d，

16x4xl06

/ax=94.36MPa

叫7rd3

3.11图示阶梯形圆轴，轮2为主动轮。轴的转速n=100r/min,材料的许用

切应力［T］=80MPao当轴强度能力被充分发挥时，试求主动轮输入的功率p2。

Me2

E3（尸2）

M%3

轮2

解：当轴的强度被充分发挥时有：

%=［叫；％3=［叫3

Ijin

%2+%3=K][Wp

|+Wp3P=Mx

e60

%2=%i+%3[唯i+噎

7id1

=80x'IT

n2兀n100

万；

P=Mex=Mx——=5+d）x1x-----

9.55骁609.55

336100r/c八〃

=5万（50+70）XWx-----=76.9ZW

9.55

3.14图示一实心圆轴，直径d=100mm,外力偶矩Me=6kN.m,材料的切变模

量G=80GPa,试求截面B相对于截面A以及截面C相对于截面A的相对扭转

角。

M

解：由于整杆各个c

截面内力相等，有:

MT=-Me=6kN-m

6XX6X

MTlAIi6X10X1500326101500

==0.011rad

GIp80x103万I%80xl03x^4

Ml6X106X100032X6X106X1000

TACIAL_____________________________________________________________________________

(PAC==0.008rad

GIp80x103万80X103X^J4

3.18某阶梯形圆轴受扭如图所示，材料的切变模量为G=80GPa，许用切应

力,[T]=100MPa,单位长度许用扭转角[9]=1.5o/m,试校核轴的强度和刚度。

解:扭矩图如图所示；

MT_16MT

—万％乃

1610001000

16xl.2xl03.ri

=-------------------=48o.9MPa<[T]l.2kN»m

3-9

3.14X50X10©

X6

E_MT_1.21Q180O

XGI9

MAP80X10X^兀1.2kN-m

32

32xl.2xl06180

=--------------------------------=14/m

80X109X^504XW127i

试用截面法求下列梁中1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。

q

⑵口c

A

SUB)M

“Illi叫）M；

(1)FS]=FS2=F=2&NFS2

M=尸x1=-2kN-m

⑵Fsi=F=—ql

M?=FxQ5=—\kNS2

19

Me=12kNm|F=10kN

(3)&=7左N;吊2=-3ZN

M}=Fcx3=9kN•m

M2=Me=-12kN-m

(4)FLF;FS『；F

陷=0

M,=--Fl

2

(5)死尸]WV;&=—UN

M1=-3kN-m

M1=UkN-m

(6)FSi=Me/l-,FS2=0

M,=M2=Me

F=qa

4严g

3

Me-q(TF=qa

q

■,num

B

Me=qa1

BC

、F『

4.4试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

为1二一一—(0<x(<Z);M=一--x}(0<x(</)(1)

aFU+a]F,,f

FS2=-----+---------=F\M2=-F(l+a-x2)(/<x2<l+a)

F.=aF/l

FB=F(l+ayi

X1

Fsi=_q&(0<x,<-1);=—等尸(0<x,</)

口1j//3/1,3zI

Fs2=《ql；(5<%<万)；/(2

q

M图

UFI/36/°F//36

4.5用微分、积分关系画下列各梁的剪力图和弯矩图。

可图Gql2

4.7检查下列各梁的剪力图和弯矩图是否正确，若不正确，请改正。

qq

LJ]IIII11

凡图

M图

q足/2

4.8已知简支梁的剪力图，试根据剪力图画出梁的荷载图和弯矩图（已知梁上

无集中力偶作用）。

4kN

（】）Fs图

⑵「溷

4.9静定梁承受平面荷载，且无集中力偶作用，若已知A端弯矩为零，试根

据已知的剪力图确定梁上的荷载及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为

何种约束。

>OkN

15kN

图

B

4/3m

25kN

3mIm

入图IIIkN

13.3kN.m

（4.9图）

4.10已知简支梁的弯矩图，试根据弯矩图画出梁的剪力图和荷载图（已知梁上

无分布力偶作用）。

4.11试用叠加法画图示各梁的弯矩图。

qqiqqi

⑵Bf&B

-X--A-

5.1试确定图示平面图形的形心位置。

b

Sz=fydA=fydy-(h-y)

JaJahz

bM19

-bh2,

S,6J

一

-bh'

2c-hb~

2h

S-[zdA——hb,zc

>JA6cA-1,,

—bh3

2

360

(2)分成3块计算：由于截面有

一个对称轴，可知形心在对称轴上，

因此：

zc=180

y_++40c3

°A+4+A3

300

360x30x15+300x30x(30+)+30x90x(30+300+15)

60x30+300x30+30x90

=120.6

5.2试确定图示平面图形的形心位置。

查表可得：

角钢A=22,261cm2,形心：(-45.8,-21.2)mm

槽钢A=68.11cm2,形心：(23.7,-180)mm

组合截面的形心坐标为：

(b)

_A]ZG+Az,222.261x(—45.8)+68.11x23.7

=6.5Smm

l4+422.261+68.11

、，_A^Cl+&先222.261x(-21.2)+68.11x(-180)

=140.88/72/篦

先一A+422.261+68.11

5.3试计算图示平面图形的阴影部分对z轴的静矩。

S=S.+sc

z7zizZ

=4%+4%

,3t

=btx—t+txtx—

22

1

=-t72(3b+t)

5.6试计算图示矩形截面对y、z轴的惯性矩和惯性积以及对O点的极惯性矩。

/,=-hb3+/zZ?xf—=—hb3

>12\2)3

I,=~bh3+/1Z>xf—=~bit'

z12⑴3

I=0+--x(^-\xbh=~—b~h2

1=1+J=Lhb3+-bh3=-hbib1+h2)

「y333

5.7试计算图示组合图形对z轴的惯性矩。

250X1()

解：查表得L100X100X10角钢的截面面积：

A=19.261cin2,Iz=179.51cin4,z0=2.84cm

Z.=2|—x250xl03+250xl0x3052I

(12)

+4(179.5IxlO4+1926.1x(300-28.4『)

250X10

+—xl0x6002=1.22xl09mm4

12

5.9试计算图示平面图形的形心主惯性矩。

33

rb(b+2r)(b-t)b

zC1212

_bt^tb3

yC~~l2+~6

5.11图示矩形截面，已知b=150mm,h=200mm,试求：（1）过角点A与底边

夹角为45o的一对正交坐标轴y、z

A的主轴方位。

解：建立如图所示

两个坐标系，贝！J：

b

y

yc=-100mm

zc=15mm

——=-100mm/),,=2.25x1OH机加4

2

b__=4.0X108/717774

zc—=75mm

2

Iv...=-2.25x10%加

32

,，h“h/.b=2.25x1()8〃“加4

/“，=——+A—

1212

/尸心Ay'

4.0x108mm4

12

=—2.25x103加

Iy,z,—A

cos2a-1..sin2a=5.375xlO8mm4

y22vz

/厂L

-cos2a+1..sin2a=8.75x107mm

2Fvz

84

——2-sin2a+1"..cos2a=8.75x10mrm"

=2.25x1()8加篦4

令/、z=0,则y

84

Iz.=4.0xl0mm

/.=2.25x108mm4

y84

//2.=-2.25x10mm

l_.=4.0xl08mm4

y'2,sin2a+I,cos2a

84yz

/v，z，=-2.25x10mm

-2I,,2x(-2.25)xl08

tan2a-yz=257

8

Iy,-L,(2.25-4.0)xio

。=-34.37°

6.1矩形截面梁受力如图所示，试求1-1截面（固定端截面）

上a、b、c>d四点处的正应力。

解：1-1截面弯矩为：

M=20-15*3=-25KN*M

对中性轴z的惯性矩为:

Iz=bh3/12=180*3003/12

=4.05*108mm4

_M__-25x10"180

?x(-150)=9.26MPa；

X,-405X108

M八

4=7%=0；

M-25x10-6

cr=——y=-----------x75=-4.63MPa；

c8

cIz4.05X10

_M_-25xlQ-6

xl50=-9.26MPa

^-―^-405X1Q8

6.2工字形截面悬臂梁受力如图所示，试求固定端截面上腹板

与翼缘交界处k点的正应力。k

解：固定端截面处弯矩：

M=-20X103X2000

=4xlO7N-mm

对中性轴的惯性矩：

3

,J100x20”20x10034

I=2-----------+20x1i0n0nx60-+------------=1.62x10mm

2I12J12

由正应力公式得：

M-4xl07s

a.=—y=-------------x50=-123.5MPa

kL1.62X107

6.6图（a）所示两根矩形截面梁，其荷载、跨度、材料都相同。其中一根梁是

截面宽度为b,高度为h的整体梁（图b）,另一根梁是由两根截面宽度为b,高

度为h/2的梁相叠而成（两根梁相叠面间可以自由错动，图c）o试分析二梁横

截面上的弯曲正应力沿截面高度的分布规律有何不同？并分别计算出各梁中的

最大正应力。

解：梁的弯矩图如图

对于整体梁：1"

M/12/

cr=-y=-~~ry=-----ry

L-hh3-Sbh3

~\2

12q『h3ql2

Wax-------x-=

8bM24bh2

叠梁：由于小变形

1M2

pEI-EI.

2M2EI=2

12

Mhh\

丛』二=h=i

%max必%叱后姐%

W6

可知上下梁各承疽一半弯矩，因此：

11,2

I'、3”

42M2

6.8矩形截面简支梁如图所示,已知F=18kN,试求D截面上a、b点处的弯曲

切应力。

11°

"s*-Fx20x70x60-xl8xlO3x20x70x60

=-%=2=2

b"70x—x70xl40370x—x70xl403

1212

=0.67MPa

%二°

6.9试求图示梁固定端截面上腹板与翼缘交界处k点的切应力Tk,以及全梁横

截面上的最大弯曲切应力

解：梁各个截面剪力相

等，都等于20kN

_居5；_X3XXX

--------=--------2-0--1-0--1-0-0--2-0--60----------=>

"z20x2|—xl00x203+100x20x602|+—x20xl003

LU2)12」

=7.41MPa

20X103X(100X20X60+20X50X25)

%ax

d【z(i\i

20x2—X100X203+100X20X602+—X20X1003

(12)12

=8.95MPa

6.11T形截面铸铁梁受力如图所示，已知F=20kN,q=10kN/m。试计算梁中

横截面上的最大弯曲切应力,以及腹板和翼缘交界处的最大切应力。

解：梁中最大切应力

发生在B支座左边的

截面的中性轴处。

中性轴距顶边位置：

Zc=0

Ay+4%

治=4+A2

200x30x15+30x200x130“

-------------------------------------=72.5cmm

200x30+30x200

*1572〈5°3

Sz',"m,ax、=30xl57.2x—2--3.72xl0mm

i

39-

/二=eX30X200+30x200x(157.5-100)

+\x200x3()3+30x200x(72.5—15『

=6x10’mm

35

与nwXmax20XIQX3.72X1Q)”

T='=---------------------------=4.13MPa

maxbl30x6.0x107

z

腹板和翼缘交界处

S；k=30x200x57.5=3.45x105mm3

「Js"j20x103x3.45x105

=3.83MPa

限max—bI~30x6.0x107

6

M.max

%,max<[<T]乙__乙

Wv

Mbmax益上二2

°"。,max%%

6.13图示简支梁AB,当荷载F直接作用于中点时，梁内的最大正应力超过许

用值30%。为了消除这种过载现象，现配置辅助梁(图中的CD),试求辅助梁

的最小跨度a»

M.max_3F/2

Q=1.3[s]

l,max叱

%_尸(6-a)/4

2,max也二[s]

Wz

U/Sj

a=1.39m

6.14图示简支梁，dl=100mm时，在ql的作用下，。max=0.8［。］。材料的

［O］=12MPa,试计算：(1)ql=?(2)当直径改用d=2dl时，该梁的许用荷

载［q］为ql的多少倍？

解：(1)<7i

%

4m

M,max7rd3

bI,max=21/黄=0.8[b]=0.8xl2

%

0.8xl2x^(7?

q=-----------L=0.47W

x64

(2)

6.16图示T形梁受力如图所示，材料的许用拉应力[ot]=80MPa,许用压

应力[。c]=160MPa,截面对形心轴z的惯性矩Iz=735X104mm4,试校核梁的正

应力强度。

解：B截面上部受拉，

C截面下部受拉

二%nax

t,maxj/max

xz

%,max<McVc,max

5kN.m

X10

5,max=学Vmax=9.4=74.42MP4<[b,]

/,7U35x;140

B截面下部受压，C截面上部受压

q,maxmax=黑Mxl09.4=148.84MPa<[q]

I735x10

6.17图示工字形截面外伸梁，材料的许用拉应力和许用压应力相等。当只有

Fl=12kN作用时，其最大正应力等于许用正应力的1.2倍。为了消除此过载现象,

现于右端再施加一竖直向下的集中力F2,试求力F2的变化范围。

解:

M,max

0,max

Z

6xl03

Xnax“2㈤

L2[CTJ=2x]0T[cr]

3

I.6xl0

__M

Cb£max-jymax

bc,max-jymax

z

_（6-f；/2）xl03f；xl03

>max•Vmax

zz

243-4

=（6-^/2）X10X2X10-[CT]=[CT,]=7^xlOxZxlO^]=[CTC]

F2=2kNF2=5kN

6.18图示正方形截面悬臂木梁，木材的许用应力［o］=10MPa,现需要在梁中

距固定端为250mm截面的中性轴处钻一直径为d的圆孔。试计算在保证梁的强

度条件下，圆孔的最大直径可达多少？(不考虑应力集中的影响)

解：开孔截面处

的弯矩值为：

M=5*0.75+l/2*5*0.752=4.31KNM

开孔截面的惯性矩：口

160

BH3bh30.16*0.1630.16d3_0-16(D-163-d3)

心=

1212121212

=9=12*431*1030.16

-------------------―-----=10*1()6,d=115mm

43

Izc20.16-0.16J2

6.19图示悬臂梁受均布荷载q,已知梁材料的弹性模量为E,横截面尺寸为b

Xh,梁的强度被充分发挥时上层纤维的总伸长为6,材料的许用应力为［。］-

试求作用在梁上的均布荷载q和跨度1。

解：梁的各个截面的

弯矩不相等，X截面:

M(x)=—qx1

1,2

qX

_2上—二团

%,max强度充分发挥时CT/.max

暝

w.z

qx1

由胡克定律,X截面顶部线应变：max=£E,£=

2EW:

“qF小一/[司

梁的总伸长:3=2dx=

0〃

02EWZ6EW:6Ex~3E

,3功2团

/二----

[er]

2W[a]2W[cr]3

9E2J2

6.22图示矩形截面梁，已知材料的许用正应力［。］=170MPa,许用切应力

［T］=100MPa»试校核梁的强度。

解：

必稣

。max

W二

12xl03

bh2

6

12X106X6

=144MPa<[(j]

50xl002

FS

_s,max2二34max3必二3.6MPa

%ax

I上2