专题04 三角形（考题压轴、压轴必刷）（解析版）

专题04三角形（压轴必刷38题）一．选择题（共10小题）1．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】B【解答】解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝60°，∵BE＝AB，∴△ABE为等边三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，∴∠BAD＝∠EAC，∵BD平分∠ABC，∴，∴∠ABD＝∠E，∴△ABD≌△AEC（ASA），∴BD＝CE，∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，∴BD＝5，故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，则AD＝DE；③当DE⊥AC时，则D为BC中点；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；正确的有_____个．（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA，故①正确；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①知：∠DEC＝∠BDA，∵AB＝DC，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴AD＝DE，故②正确；③∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∵∠C＝40°，∴∠CDE＝50°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴D为BC中点，故③正确；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BAD＝30°，故④不正确．∴正确的有①②③，共3个，故选：C．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④【答案】D【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，综上所述：其中正确的有①③④．故选：D．4．如图所示，在△ABC中，AB＝8，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于F，已知CF＝10，则AC的长为（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】A【解答】解：如图，延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM＝CM，在△BMN和△CMF中，，∴△BMN≌△CMF（SAS），∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，∵AB＝8，CF＝10，∴AC＝2FC﹣AB＝20﹣8＝12．故选：A．5．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故①正确，符合题意；∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，故②正确，符合题意；如图所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，故④正确，符合题意；∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB，∴OA＝OC，与题意不符，故③错误，不符合题意；综上，符合题意的有①②④；故选：B．6．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m．∵BD＝2AB，∴△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m，∵AC＝AF，∴△ADF的面积＝△ACD的面积＝3m，∵EC＝3BC，∴△ECA的面积＝3m，△EDC的面积＝6m，∵AC＝AF，∴△AEF的面积＝△EAC的面积＝3m，∴△DEF的面积＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36，∴m＝2，∴△ABC的面积为2，故选：A．7．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（）个．A．0 B．1 C．3 D．4【答案】A【解答】解：如图，作KC⊥CA交AD的延长线于K．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH＝CH，∴AH＝BH＝CH，∵AD⊥BM，∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，∵∠BNH＝∠ANE，∴∠HBN＝∠DAH，∴△BHN≌△AHD（ASA），∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确，∵∠BAM＝∠ACK＝90°，∴∠BAE+∠CAK＝90°，∴∠BAE+∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠CAK，∵AB＝AC，∴△ABM≌△CAK（ASA），∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，∴△CDM≌△CDK（SAS），∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确．故选：A．8．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，P为BE，CD的交点，则以下结论中：（1）∠BPC＝120°，（2）BD+CE＝BC，（3）S△PBD+S△PCE＝S△PBC，（4）连接AP，AP平分∠BAC，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，故（1）正确；∵∠BPC＝120°，∴∠DPE＝120°，如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∴AP是∠BAC的平分线，故（4）正确；∵∠BAC＝60°，∵∠AFP＝∠AGP＝90°，∴∠FPG＝120°，∴∠DPF＝∠EPG，在△PFD与△PGE中，，∴△PFD≌△PGE（ASA），∴PD＝PE，∵PF＝PG＝PH，在Rt△BHP与Rt△BFP中，∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，∵DF＝EG，∴BC＝BD+CE，故（2）正确；∴S△PBD+S△PCE＝S△PBC，故（3）正确；∴正确的个数有4个，故选：D．9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，若AB＝3AC，△BDE的面积为9，则△ABC的面积是（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解答】解：过点D作DG⊥AB于G，DF⊥AC，交AC延长线于F，∵AD是∠BAC的平分线，DG⊥AB，DF⊥AC，∴DG＝DF，∵AB＝3AC，∴S△ABD＝3S△ACD，∵AD＝DE，∴S△ABD＝S△BDE＝9，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝3+9＝12，故选：C．10．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解答】解：如图，∵在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝3，同理可证FG2+LK2＝HL2＝1，∴S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝1+3＝4．故选：C．二．填空题（共10小题）11．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为64．【答案】64．【解答】解：如图所示，连接AF，∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，∵∠ABD＝∠C，∵∠E＝∠C，∵∠ABD＝∠E，在△ABF与△BED中，，∴△ABF≌△BED（SAS），∴S△ABF＝S△BDE，∵，∵BF＝×20＝8，∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，∴S△AFD＝×AD•DF＝×12×16＝96，∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD，∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64．故答案为：64．12．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为10．【答案】10．【解答】解：延长AD到M，作DH⊥AB于H．∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAH，∵∠C＝∠AHD，AD＝AD，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH＝6，∵∠ADE+∠CAB＝180°，∠ADE+∠EDM＝180°，∴∠EDM＝∠CAB，∵∠EDM＝∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠CAD，∠CAD＝∠DAB，∴∠DAB＝∠E，∴DA＝DE，∵DH⊥AE，∴AH＝HE＝6，∵BE＝2，∴BH＝4，∴AB＝10，故答案为：10．13．如图，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC＝5S△ADE，BH＝1，则BC＝．【答案】．【解答】解：过点E作EP⊥BA，交BA的延长线于P，∴∠P＝∠AHB＝90°，∵AE∥BC，∴∠EAP＝∠CBA，在△AEP和△BAH中，，∴△AEP≌△BAH（AAS），∴PE＝AH，在Rt△DEP和Rt△CAH中，，∴Rt△DEP≌Rt△CAH（HL），∴CH＝DP，S△ACH＝S△DPE，∵S△ABC＝S△ABH+S△AHC＝2S△ABH+S△ADE＝5S△ADE，∴S△ABH：S△ADE＝2：1，∴BH：AD＝2：1，∵BH＝1，∴AD＝，∴DP＝CH＝1+＝，∴BC＝BH+CH＝1+＝，故答案为：．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是②③④．（填序号）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．【答案】②③④．【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，∴①是不正确的；设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正确的，故答案为：②③④．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，在AD上取点F，使得BF＝AC＝10，DF＝CD＝6，连接BF并延长交AC于点E，则BE＝．【答案】．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△BFD中，∵BF＝10，DF＝6，∴由勾股定理，得BD＝＝＝8，在Rt△ACD和Rt△BFD中，，∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL），∴AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，∵，BC＝BD+DC＝8+6＝14，AD＝BD＝8，AC＝10，∴BE＝＝＝．故答案为：．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动．若设点P运动的时间是ts，那么当t＝2或s时，△APE的面积等于8．【答案】2或．【解答】解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，∴CE＝BC＝4cm，当点P在线段AC上，如图1所示，AP＝2t，∵∠C＝90°，∴S△APE＝AP•CE＝×2t×4＝4t＝8，解得：t＝2；当点P在线段CE上，如图2所示，AC＝6cm，PE＝10﹣2t，∴S△APE＝PE•AC＝×（10﹣2t）×6＝8，解得：t＝．故答案为：2或．17．如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是70°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，则有，解得，∴∠C＝70°，故答案为70°．18．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为或3或或cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．【答案】见试题解答内容【解答】解：设点P在线段BC上运动的时间为ts，①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3（cm/s）；②点P由B向C运动时，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP，∴3t＝8﹣3t，t＝，此时，点Q的运动速度为：5÷＝（cm/s）；③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝3t﹣8，解得t＝，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷＝（cm/s）；④点P由C向B运动时，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP＝4，3t﹣8＝4，t＝4，∵BE＝CQ＝5，此时，点Q的运动速度为5÷4＝（cm/s）；综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；故答案为：或3或或．19．如图所示，△ABC中，∠A＝m，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的角平分线相交于A1点，则∠A1的大小是，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A2015BC与∠A2015CD的角平分线相交于A2016点，则∠A2016的大小是．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A＝，同法可得：∠A2＝∠A1＝∠A，…以此类推∠A2016＝∠A＝．故答案为，．20．已知：等腰△ABC，BA＝BC，点D在AB上，点E在BC的延长线上，AD＝CE，连接DE交AC于点F，作DH⊥AC于点H，∠HDF﹣∠E＝30°，CE＝6，CF＝2，则HF的长为5．【答案】5．【解答】解：如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G．∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA，∵DG∥BC，∴∠DGA＝∠BCA，∠DGF＝∠ECF，∴∠A＝∠DGA，∴DA＝DG，∵AD＝CE，∴DG＝CE＝6，在△△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GF＝CF＝2，∠GDF＝∠E，∵∠HDF﹣∠E＝30°，∴∠HDG＝∠HDF﹣∠GDF＝30°，∵DH⊥AC，∴GH＝DG＝3，∴HF＝GH+GF＝3+2＝5．故答案为：5．三．解答题（共18小题）21．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，则BD⊥CE．22．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为AE＝BF；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠EAD＝∠FBD＝120°，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F，在△AEC与△BCF中，，∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF；故答案为：AE＝BF；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，∴△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．∴AG＝CD，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE与△DBF中，，∴△DGE≌△DBF（AAS），∴GE＝BF，∴AE＝BF+CD；（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝EG﹣AG；∴AE＝BF﹣CD，如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG﹣EG；∴AE＝CD﹣BF．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）当BC＝AB+AD时，求∠BAC的度数；（2）当∠BAC＝108°时，求证：BC＝AB+CD．【答案】（1）当BC＝AB+AD时，∠BAC的度数为90°；（2）证明过程见解答．【解答】（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，∴∠DEB＝90°，当∠A＝90°时，∴DA⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，∴AD＝ED，在Rt△ABD和Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB＝BE，∴BC＝BE+CE＝AB+CE，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴CE＝DE，∴BC＝AB+DE＝AB+AD．∴当BC＝AB+AD时，∠BAC的度数为90°；（2）证明：在BC上截取BF＝AB，连接DF，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠FBD，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴∠BAD＝∠BFD＝108°，∴∠CDF＝180°﹣108°＝72°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠CFD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF，∴BC＝BF+CF＝AB+CD．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝42°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝42°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝118°时，∠EDC＝20°，∠AED＝62°；（2）若DC＝3，试说明△ABD≌△DCE；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）20；62；（2）见解答；（3）当∠BDA的度数为84°时，△ADE的形状是等腰三角形．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝42°，∵∠ADE＝42°，∠BDA＝118°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝20°+42°＝62°，故答案为：20；62；（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，理由：∵AB＝3，DC＝3，∴AB＝DC，∵∠C＝42°，∴∠DEC+∠EDC＝138°，∵∠ADE＝42°，∴∠ADB+∠EDC＝138°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，①当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝42°＝∠C，此时，点D与点B重合，不合题意；②当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝42°，∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝42°+42°＝84°；综上所述，当∠BDA的度数为84°时，△ADE的形状是等腰三角形．25．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【答案】（1）6；（2）1.2或2．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，∴∠ACD＝∠AOE，∴∠BOD＝∠ACD．又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），∴BO＝AC＝6．（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，解得t＝2．综上，t＝1.2或2．26．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，则，解得；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则，解得：；综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．27．【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是EF＝BE+FD．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】见试题解答内容【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD，探索延伸：结论仍然成立，证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里．28．在△ABC中，（1）如图①所示，如果∠A＝60°，∠ABC和么ACB的平分线相交于点P，那么∠BPC＝120°；（2）如图②所示，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P，试说明∠BPC＝∠A；（3）如图③所示，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想.【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BP、CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB），∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC），∴∠A＝﹣180°+2∠BPC，∴2∠BPC＝180°+∠A，∴∠BPC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，故答案为：120°；（2）∵BP是∠ABC的角平分线，∴∠PBC＝∠ABC．又∵CP是∠ACD的平分线，∴∠PCD＝∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∴∠BPC＝∠A；（3）90°﹣∠A．证明：∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，∴∠CBP＝∠CBD，∠BCP＝∠BCE，∴∠CBP+∠BCP＝∠CBD+∠BCE＝（∠CBD+∠BCE）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝（180°+∠A），∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．29．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延长BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．30．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）在AB上取一点M，使得AM＝AH，连接DM，∵，∴△AHD≌△AMD（SAS），∴HD＝MD，∠AHD＝∠AMD，∵HD＝DB，∴DB＝MD，∴∠DMB＝∠B，∵∠AMD+∠DMB＝180°，∴∠AHD+∠B＝180°，即∠B与∠AHD互补．（2）由（1）∠AHD＝∠AMD，HD＝MD，∠AHD+∠B＝180°，∵∠B+2∠DGA＝180°，∠AHD＝2∠DGA，∴∠AMD＝2∠DGM，又∵∠AMD＝∠DGM+∠GDM，∴2∠DGM＝∠DGM+∠GDM，即∠DGM＝∠GDM，∴MD＝MG，∴HD＝MG，∵AG＝AM+MG，∴AG＝AH+HD．31．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∠EBF＝∠ADC，若E、F分别在AD、DC的延长线上．（1）找出∠EBF与∠ABC间的数量关系，并说明理由；（2）若∠EBF＝60°，找出线段AE，EF，CF之间的数量关系并证明．【答案】（1）∠EBF+∠ABC＝180°．证明见解答；（2）AE＝EF+CF．证明见解答．【解答】解：（1）∠EBF+∠ABC＝180°．证明：∵∠A＝∠BCD＝90°，四边形ABCD的内角和为360°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠EBF＝∠ADC，∴∠EBF+∠ABC＝180°；（2）AE＝EF+CF．证明：在AE上截取AM＝CF，连接BM，如图，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴∠ABM＝∠CBF，BM＝BF∵∠EBF＝60°，由（1）知∠EBF+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝120°，∴∠FBM＝∠FBC+∠CBM＝∠ABM+∠CBM＝∠ABC＝120°，∵∠FBE＝60°，∴∠MBE＝60°，∴∠MBE＝∠FBE，在△BME和△BFE中，，∴△BME≌△BFE（SAS），∴EF＝EM，∵AE＝EM+AM，∴AE＝EF+CF．32．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是DE＝BD+CE；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）成立，理由见解析；（3）△DEF是等边三角形，理由见解析．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等边三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等边三角形．33．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，证明：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：6个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【答案】（1）证明见解析部分；（2）6；（3）45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．理由见解析部分．【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）解：①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）解：∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）解：关系：∠D+∠1＝∠P+∠3①，∠B+∠4＝∠P+∠2②，①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠P＝∠D+∠B．34．直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数；（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝45度（直接写出结果，不需说理）；②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．【答案】（1）135°；（2）①45°；②不变，45°；（3）45°或36°．【解答】解：（1）如图1中，∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠OAB＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴∠IBA＝ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．（2）如图2中，①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，∵∠CBA＝∠D+∠BAD，∴∠D＝45°，故答案为：45．②不变，理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．（3）如图3中，∵∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，∴∠DAO＝∠BAO，∠FAO＝∠EAP，∴∠DAF＝∠BAO+EAP＝×180°＝90°，∴∠D＝∠POD﹣∠DAO＝∠POB﹣∠BAO＝（∠POB﹣∠BAO）＝∠ABO，①当∠DAF＝4∠D时，∠D＝22.5°，∴∠ABO＝2∠D＝45°．②当∠DAF＝4∠F时，∠F＝22.5°，∠D＝67.5°，∴∠ABO＝2∠D＝135°（不合题意舍弃）．③当∠F＝4∠D时，∠D＝18°，∴∠ABO＝2∠D＝36°．④当∠D＝4∠F时，∠D＝72°，∴∠ABO＝2∠D＝144°（不合题意舍弃）．综上所述，当∠ABO＝45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．35．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，连接ED交BC于F，DF＝EF．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，连接CD，若∠DFB＝45°，BC＝6，求△BCD的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）9．【解答】（1