高考数学一轮复习 限时集训(六十三)几 何 概 型 理 新人教A版

限时集训(六十三)几何概型(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)2．如图所示，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)3．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)4．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.75．在区间(0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋eq\r(3)cosx≤1”发生的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)6．(·石家庄模拟)在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于eq\f(6,5)的概率是()A.eq\f(12,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(17,25) D.eq\f(18,25)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是________．9．(·海门模拟)在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10.如右图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．11.已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面区域内的概率．12．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．答案限时集训(六十三)几何概型1．C2.C3.D4.D5.C6.C7.eq\f(π,6)8.eq\f(3,4)9.eq\f(\r(3),6)π10．解：弦长不超过1，即|OQ|≥eq\f(\r(3),2)，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).故弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).所求弦长不超过1的概率为1－eq\f(\r(3),2).11．解：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，eq\a\vs4\al(－3＋2i，)－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,0≤y≤4))))))内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))))))，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，则三角形OAD的面积为S1＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,4).故所求事件的概率为P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(\f(9,4),12)＝eq\f(3,16).12．解：设事件A为“方程a2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a>0，b>0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(9,1