高考数学一轮复习 限时集训(五十六)曲线与方程 理 新人教A版

限时集训(五十六)曲线与方程(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是()A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线C．两个点 D．以上答案都不对2．已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足|＋|＝2，则P点的轨迹方程是()A．4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0B．4x2＋4y2－4x－8y－1＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝03．下列各点在方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲线上的是()A．(0,0) B．(1,1)C．(1，－1) D．(1，－2)4．(·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.eq\f(4x2,21)－eq\f(4y2,25)＝1 B.eq\f(4x2,21)＋eq\f(4y2,25)＝1C.eq\f(4x2,25)－eq\f(4y2,21)＝1 D.eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝15．已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2，\f(y,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8(x－2) D．y2＝－8(x－2)6．(·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是()A.eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x>0，y>0)B.eq\f(3,2)x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－eq\f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)D．3x2＋eq\f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(·佛山模拟)在△ABC中，A为动点，B，C为定点，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝eq\f(1,2)sinA，则动点A的轨迹方程是________．8．直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,2－a)＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程__________．9．设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过双曲线x2－y2＝1上一点M作直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段MN的中点P的轨迹方程．11.已知动圆P过点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))且与直线y＝－eq\f(1,4)相切．(1)求圆心P的轨迹C的方程；(2)过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．12．(·湖南高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．答案限时集训(五十六)曲线与方程1．C2.A3.D4.D5.B6.A7.eq\f(16x2,a2)－eq\f(16y2,3a2)＝1(x>0且y≠0)8．x＋y＝1(x≠0，x≠1)9．y2＝2(x－1)10．解：设动点P的坐标为(x，y)点M的坐标为(x0，y0)，则N(2x－x0,2y－y0)．由N在直线x＋y＝2上，得2x－x0＋2y－y0＝2.①由PM垂直于直线x＋y＝2，得eq\f(y－y0,x－x0)＝1，即x－y－x0＋y0＝0.②由①②得x0＝eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)y－1，y0＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)y－1，代入双曲线方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(1,2)y－1))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(3,2)y－1))2＝1，整理得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.即点P的轨迹方程2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.11．解：(1)由已知，点P到点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))的距离等于到直线y＝－eq\f(1,4)的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C为抛物线，其方程为x2＝y.(2)证明：设A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))．∵y＝x2，∴y′＝2x.∴AN，BN的斜率分别为2x1,2x2.故AN的方程为y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，BN的方程为y－xeq\o\al(2,2)＝2x2(x－x2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x1x－x\o\al(2,1)，,y＝2x2x－x\o\al(2,2).))两式相减，得xN＝eq\f(x1＋x2,2)，又xM＝eq\f(x1＋x2,2)，所以M，N的横坐标相等，于是MN⊥x轴．12．解：(1)法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝eq\r(x－52＋y2)－3.易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以eq\r(x－52＋y2)＝x＋5.化简得曲线C1的方程为y2＝20x.法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.(2)证明：当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是eq\f(|5k＋y0＋4k|,\r(k2＋1))＝3.整理得72k2＋18y0k＋yeq\o\al(2,0)－9＝0.①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根，故k1＋k2＝－eq\f(18y0,72)＝－eq\f(y0,4).②由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1x－y＋y0＋4k1＝0，,y2＝20x))得k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以y1y2＝eq\f(20y0＋4k1,k1).④同理可得y3y4＝eq\f(20y0＋4k2,k2).⑤于是由②，④，⑤三式得y1y2y3y4＝e