人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：习题课 等比数列的性质的综合问题

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1习题课等比数列的性质的综合问题学习目标1.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.2.理解等比数列的常用性质.3.掌握等比数列的判定及证明方法．一、等比数列的实际应用例1某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元．(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．反思感悟等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．跟踪训练1有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精________升．〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,a)))〖解析〗由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1－eq\f(1,a)为公比的等比数列，即第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为1－eq\f(1,a)(升)，第三次取出的为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))2升，…，第n次取出的纯酒精为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))n－1升，则第九次和第十次共取出纯酒精数量为a9＋a10＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))8＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))9＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,a)))(升)．二、等差数列与等比数列的转化问题1若等差数列an＝2n＋1，那么数列{22n＋1}是等差或等比数列吗？〖提示〗设bn＝22n＋1，则bn－bn－1＝22n＋1－22n－1＝22n－1(4－1)＝3×22n－1不是常数，故{bn}不是等差数列；而eq\f(bn,bn－1)＝eq\f(22n＋1,22n－1)＝22n＋1－(2n－1)＝22＝4，是常数，故{bn}是等比数列．问题2若等比数列an＝2n，则{lgan}为等差数列吗？〖提示〗若等比数列an＝2n，则bn＝lgan＝lg2n＝nlg2是关于n的一次函数，是等差数列．知识梳理1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{}是等比数列．2．若数列{an}是公比为q(q>0)的等比数列，则数列{logaan}是等差数列．注意点：(1)其底数a满足a>0，且a≠1；(2)等比数列{}的公比为ad；(3)等差数列{logaan}的公差为logaq.例2已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．解依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n.而eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2.∴数列{bn}是首项为eq\f(1,4)，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝eq\f(1,4)·2n－1＝2n－3.延伸探究已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝log2an，求证：数列{bn}是等差数列，并求其通项公式．解设等比数列{an}的公比为q，由已知得q4＝eq\f(a8,a4)＝28.∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，∴q＝4，∴a1＝eq\f(a4,q3)＝2，∴an＝2×4n－1＝22n－1.又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2(n≥2)，b1＝log2a1＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1.反思感悟在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义．跟踪训练2数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1(n∈N*)，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是()A．n－1B．n＋1C．2n－1D．2n＋1〖答案〗A〖解析〗由log2an－1＝log2an＋1，即log2an＋1－log2an＝－1，即log2eq\f(an＋1,an)＝－1得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2)，∴数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为eq\f(1,2)，∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，∴a2＋a4＋…＋a2n＝eq\f(1,2)(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝2n－1，则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝n－1.三、等比数列的综合应用例3已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．解(1)设数列{an}的公差为d，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋2d＝8，,2a1＋4d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)可得Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n2＋2n,2)＝n(1＋n)．因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以aeq\o\al(2,k)＝a1Sk＋2，从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.反思感悟解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用．(2)对于解答题注意基本量及方程思想．(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题．(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系．跟踪训练3若等比数列{an}满足2a1＋a2＋a3＝a4，a5－a1＝15.(1)求数列{an}的首项a1和公比q；(2)若an>n＋100，求n的取值范围．解(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋a1q＋a1q2＝a1q3，,a1q4－a1＝15，))解得a1＝1，q＝2.(2)由(1)可知an＝2n－1，即2n－1>n＋100，验证可得n≥8，n∈N*.1．知识清单：(1)等比数列的实际应用．(2)等差数列与等比数列的相互转化．(3)等比数列的综合应用．2．方法归纳：公式法、构造法．3．常见误区：在应用题中，容易忽视数列的项数．1．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成()A．64个 B．128个C．256个 D．255个〖答案〗C〖解析〗某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256个．2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100 B．－100C．10000 D．－10000〖答案〗C〖解析〗∵lg(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝6，∴aeq\o\al(3,8)＝106，∴a8＝102＝100.∴a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000.3．若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn()A．是等比数列 B．是等差数列C．每项取倒数成等差数列 D．每项取倒数成等比数列〖答案〗C〖解析〗因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列，即eq\f(1,logan)，eq\f(1,logbn)，eq\f(1,logcn)成等差数列．4