新教材高中数学第12章复数1复数的概念学案苏教版必修第二册

复数的概念

【概念认知】

1.复数的概念

形如a+bi(a,beR)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位,满足『=二1；复数通常用字母

z表示，即2=@+出[,bGR),其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部.

2.复数的分类

(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.

3.复数相等的充要条件

在复数集C={a+bi|a,bWR}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,deR),我们规定：a

+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.

【自我小测】

1.(l+/)i的实部与虚部分别是()

A.1,木B.1+73,0

C.0,1+^3D.0,(1+A/3)i

【解析】选C.(1+#)i可看作0+(1+/)i=a+bi,

所以实部a=0,虚部b=l+，§.

2.如果(x+y)i=x—1,则实数x,y的值分别为()

A.x=l,y=-1B.x=0,y="1

C.x=l,y=0D.x=0,y=0

【解析】选A.因为(x+y)i=x—1,

[x+y=0,

所以

[x—1=0,

所以x=l,y=—1.

3.若xi—i?=y+2i,x,y£R,则复数x+yi=()

A.-2+iB.2+i

C.l-2iD.l+2i

【解析】选B.由F=-1,得xi—i.2=l+xi,

则由题意得l+xi=y+2i,

根据复数相等的充要条件得x=2,y=l,

故x+yi=2+i.

4.下列命题：

①若a£R,则(a+l)i是纯虚数；

②若(x2-l)+(X2+3X+2)i(xGR)是纯虚数，则x=±1；

③两个复数不能比较大小.

其中错误命题的序号是.

【解析】当a=-l时，(a+l)i=O,故①错误；若(六一1)+&2+3*+27是纯虚数,

[x2-l=0,

[X2+3X+2^0,

即x=l,故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这一特殊

情况，故③错.

答案：①②③

5.已知x'+ix+6=2i+5x,若x《R,则x=若xGC,贝陵=

【解析】当*£1^时・，由复数相等的充要条件得

x~—5x+6=0,

解得x=2；

x=2,

当x£C时，令乂=@+131.(@,b£R),

a2—b2—b+6=5a,

则有

,2ab+a=2+5b.

所以x=2或x=3—i.

答案：23—i或2

6.实数x取什么值时，复数z=(x?+x—6)+(x2-2x-15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)

纯虚数.

【解析】⑴当x°—2x—15=0,

即x=-3或x=5时，复数z为实数；

(2)当X2-2X-15#0,

即xW—3且xW5时，复数z为虚数；

(3)当x2+x—6=0且X2—2x—IS^O,

即x=2时，复数z是纯虚数.

【基础全面练】

一、单选题

1.设a,bdR,i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.a+bi为纯虚数，则a=0,bWO,此时ab=O；反之ab=O不能得出a=0,bWO.

所以“ab=O”是“复数a+bi为纯虚数”的必要不充分条件.

2.若a,b£R,且a>b,那么()

A.ai>biB.a+i>b+i

C.ai2>bi2D.bi2>ai2

【解析】选D.虚数不能比较大小，故A,B错；

因为i2=-l,a>b,所以ai2<bi2,故C错D对.

3.如果z=m(m+l)+(m2—l)i为纯虚数，则实数m的值为()

A.1B.0

C.11D.—1或1

m(m+1)=0,

【解析】选B.由题意知LI。八解得m=0.

向一140,

二、填空题

4.以乖if的虚部为实部，以81+*i的实部为虚部的复数是.

【解析】mi-y/5的虚部为m，8i2+y/2i=-8+姆i的实部为一8.

答案：器-8i

5.满足方程一一2x—3+(9/—6y+l)i=0的实数对(x,y)表示的点的个数为

X2—2x—3=0,

【解析】由题意知

9y2—6y+l=0,

x=3,

解得I1

共有2个.

答案：2

三、解答题

6.已知复数z=(m2+3m+2)+(m2—m—6)i,则当实数m为何值时，复数z(l)是实数;(2)

是虚数；(3)是纯虚数.

【解析】(1)当而一m—6=0,

即m=3或m=-2时，z为实数.

⑵当而一m—6W0,即mW—2且mW3时,z是虚数.

fm'+3m+2=0,

⑶当即m=-l时，z是纯虚数.

【综合突破练】

一、选择题

1.已知关于x的方程x'+(m+2i)x+2+2i=0(m6R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=

)

A.3+iB.3-i

C.13—iD.—3+i

【解析】选B,由题意，知n"+(m+2i)n+2+2i=0,

即n2+mn+2+(2n+2)i=0,

[n2+mn+2=0,

所以一Q八

〔2n+2=0,

m=3,

解得所以z=3—i.

,n=-1,

2.已知复数z=x+yi(x,y£R)，则()

A.z2^0

B.z的虚部是yi

C.若z=l+2i,则x=Ly=2

D.z为实数时，x+y=O

【解析】选C.对于A选项，Wz=i,则z2=-l〈0,A选项错误；对于B选项，复数z的虚

部为y,B选项错误；对于C选项，若z=l+2i,则x=l,y=2,C选项正确；对于D选项,

z为实数时，y=0,D选项错误.

3.已知复数zi=m+(4—m2)i(m£R),Z2=2cos0+(入+3sin0)i(X,8WR),并且zi

=Z2,则人的取值范围为()

99

A.-7W入B.77■〈入W7

9

C.—1WAW1D.一

【解析】选D.由Z1=Z2,

fm=2cos0,

得《消去m,

(4—nf=X+3sin。，

9

得X=4sin0-3sin8=4sin

16,

9

由于一lWsin9Wl,故一二W入W7.

4.(多选)对于复数2=@+员(ab£R),下列结论错误的是()

A.若a=0,则a+bi为纯虚数

B.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2

C.若b=0,则a+bi为实数

1).z为虚数时，bWO

【解析】选AB.因为z=a+bi(a,beR),

当a=0且bWO时复数为纯虚数，故A错误；

当b=0时，复数为实数，故C正确；

z为虚数时，bWO,故D正确；

fa=3,[a=3,

对于B：a-bi=3+2i,则彳即故B错误.

-b=2,b=-2,

圈【加固训练】

(多选题)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是()

A.若x,yeC,则x+yi=3—2i的充要条件是x=3,y=-2

B.(a'+DiSeR)是纯虚数

C.若实数a与ai对应，则实数集与纯虚集一一对应

D.当m=4时，复数lg(m‘'一2m—7)+(m'+5n1+6)i是纯虚数

【解析】选BD.取x=-2i,y=-3i,则x+yi=3—2i,但不满足x=3,y=-2,故A错

误；

VaeR,/+1>0恒成立，所以(a,+l)i是纯虚数，故B正确；若a=0,则ai不是纯虚数,

故C错误；m=4时，复数lg(m,—Zm—7)+(m°+5m+6)i=42i是纯虚数，故D正确.

二、填空题

22

5.log2(x—3x—2)+ilog2(x+2x+l)>l,则实数x的值是.

【思路导引】复数值大于1,则复数必为实数，即虚部为0,实部大于1.

22

【解析】因为log2(x—3x—2)+ilog2(x+2x+l)>l,

logo(x"—3x-2)>1,x"—3x—2>2,

所以2即2

,log2(x"+2x+l)=0.[x+2x+l=l,

解得x——2.

答案：一2

6.复数z=cos仔+9)+isin,且°e—今y，若z是实数，则0的

值为；若z为纯虚数，则。的值为—

【解析】z=cos仔+0)

+isin=­sin9+icos9.

当z是实数时，cos9=0,因为0e

nf-sin0=0,

所以9=±彳；当z为纯虚数时n

乙[cos9W0,

又0G-y,y,所以0=0.

答案：±20

三、解答题

7.已知集合乂={5+3)+(9—1)-8},集合N={3i,(a-l)+(b+2)i),且MCNM,

MCNW。，求整数a,b的值.

【解析】若MCN=