考研数学历年真题(1987-1998)年数学一-可直接打印(纯试题)

(2)设/(A)为已知连续函数,/=fff(tx)dx,其中f>0,s>0,则/的值

试题答案及解析请参见本人上传的其他资料！！

(A)依赖于s和t(B)依赖于s、，和x

(C)依赖于f、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于，

1987年全国硕士研究生入学统•考试

(3)设常数k>0,则级数卓

数学(一)试卷

(A)发散(B)绝对收敛

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关

(1)当工=时，函数y=x・2'取得极小值.

(4)设A为〃阶方阵，且A的行列式IAI=aH0,而A*是A的伴随矩阵，贝IJIA」等于

(2)由曲线y=\nx与两直线y=e+1—*•及y=0所围成的平面图形的面积是_____________.

(A)a(B)-

a

x=\

(3)与两直线<y=-1+，及把=》匚=如都平行且过原点的平面方程为.(C)art_,(D)a"

=2+/

六、(本题满分10分)

(4)设L为取正向的圆周Y+V=9,则曲线积分£(2孙一2y)dx+(x2-4x)dy=.

求辕级数的收敛域，并求其和函数.

(5)已知一淮向量空间的基底为“=(1,1,0),%=(1,0,1),%=(0,1,1),则向量0=(2.0,0)在此基底下的坐标

七、(本题满分10分)

求曲面积分

二、(本题满分8分)

1=J卜(8y+V)dydz+2(1-y2)dzdx-^yzdxdy,

求正的常数。与6,使等式lim-——!------［Jdi=1成立.

I。bx-sinxyja+产［7=Jy—11<y<3

其中2是由曲线/3)=〈一’"绕)，轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于

x=0

三、(本题满分7分)

(1)设/、g为连续可微函数,〃=f(x,xy),v=g(x+xy),求纵,Q.

oxox

-30r八、(本题满分10分)

(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中A=110，求矩阵B.

设函数/(X)在闭区间［0,1］上可微，对于10,1］上的每一个X,函数/(X)的值都在开区间(0,1)内，且/'(x)w1.

014

证明在(0.】)内有且仅有一个苍使得/(x)=x.

四、(本题满分8分)

求微分方程y"+6/+(9+/))/=|的通解，其中常数a>0.九、(本题满分8分)

问。出为何值时，现线性方程组

五、选择题(本题共4小题,每小题3分，满分12分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项

前的字母填在题后的括号内)，X1+工2+七+工4=0

x,+2X3+2X4=1

(1)设lim〃止4丝=-1,则在x=a处-x+(a-3)/-2X=b

J(x-a)'24

、3X1+2X2+x3+ar4=-l

(A)/(x)的导数存在，且f\a)工0(B)/(x)取得极大值有唯一解，无解，有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

(C)f(x)取得极小值(D)/。)的导数不存在十、填空题(本题共3小题,每小题2分.满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中，事件4发生的概率为p,现进行〃次独立试验，则A至少发生一次的概率为:

而事件4至多发生一次的概率为.

(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取

1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为.已知上述从第2个箱子

中取出的球是白球，则从笫•个箱子中取出的球是白球的概率为.

12

(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)=g-jt+2.x-l则X的数学期望为,X的方差

为.

十一、(本题满分6分)

设随机变量x,y相互独立，其概率密度函数分别为

fx(4=1°"Ge-'y>o

0其它'Jr(yT0yso,

求z=2x+y的概率密度函数.

1988年全国硕士研究生入学统•考试(5)n维向量组四,叫,…q(3W〃)线性无关的充要条件是

数学(一)试卷(A)存在•组不全为零的数占次2,…，&，使勺%+&2%+•••+4%=0

一、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)(B)%%…,a,中任意两个向量均线性无关

(1)求某级数£色萨的收敛域.

(C)%,%,…,见中存在•个向量不能用其余向量线性表示

(D)叫,啊,….见中存在个向量都不能用其余向量线性表示

⑵设/(x)=铲J[0(x)]=l-x且0(工)20,求。(.丫)及其定义域.

(3)设Z为曲面产+>2=]的外侧，计算曲面积分/=JjVdydN+y'dmx+z-dxdx

四、(本题满分6分)

Z

设“=球(上)+印(2),其中函数/、g具有二阶连续导数，求*鲁+)，金巴.

二、填空题(本题共4小题,每小题3分，满分12分.把答案填在题中横线上)yXdx"dxdy

(1)若/(0=lim“1+-)2u,则/*(?)=.

X

五、(本题满分8分)

(2)设f(x)连续且f(t)dt=x,则/⑺=.

设函数y=)，(》)满足微分方程/-3/+2y=2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x-l在该点处

(3)设周期为2的周期函数，它在区间(-1,1]上定义为f(x)=[2,-"，,。，则的傅里叶/小山⑺级数在

的切线重合，求函数)，=y(x).

[x~0<x<l

工二]处收敛于_____________,

六、(本题满分9分)

(4)设4阶矩阵A=[a,y2'Y3，yJB=[B，七，丫3，丫4]，其中50，丫2，丫3，丫4均为4维列向量,且已知行列式设位于点(0.1)的质点A对质点M的引力大小为与伙>0为常数，r为A质点与M之间的距离)，质点M沿

厂

|A|=4,|B|=1,则行列式|A+B|=.

直线y=j2x-f自8(2,0)运动到。(0,0),求在此运动过程中质点人对质点M的引力所作的功.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项

七、(本题满分6分)

前的字母填在题后的括号内)

■|0O-']0O'

⑴设/(x)可导且/(%)=；,则MT0时J。)在/处的微分dy是

已知AP=BP,其中B=000,p=2-10，求A,A§

(A)与Ar等价的无穷小(B)与At同阶的无穷小00-1_211

(C)比Ax低阶的无穷小(D)比Ax高阶的无穷小

(2)设y=f(x)是方程/-2/+4y=0的个解且/(x0)>0,广(无)=0,则函数f(x)在点风处八、(本题满分8分)

'200"'2

(A)取得极大值(B)取得极小值0o-

(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少已知矩阵人=001与B=0yo相似.

01X00-

(3)设空间区域Q:x2+y2+z2<>0,Q,:x2+y2+z2</?2,x>0,y>0,z>0,则1

⑴求k与y.

(A)jjJxtZv=4Jjp/v(B)JJJydv=4JjJytZv

ACn1A(2)求一个满足PAP=B的可逆阵P.

(C)jjjzt/v=4jjjzdv(D)JjpyzJv=4川\兴小，

QQ>6出

九、(本题满分9分)

(4)设需级数£q,(x-1)”在x=-1处收敛,则此级数在x=2处

设函数f(x)在区间加上连续，且在(a,份内有/'(外>0,证明:在(。4)内存在唯一的,使曲线y=f(x)

n«l

(A)条件收敛(B)绝对收敛与两直线y=/'("x=a所围平面图形面积S1是曲线)，=/(工)与两直线)，=/(".3方所围平面图形面积S：

(C)发散(D)收敛性不能确定

的3的

十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)

1Q

⑴设在三次独立试验中司件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于一，则事件A在一次试验

27

中出现的概率是____________.

(2)若在区间(0,1)内任取两个数，则事件”两数之和小于与”的概率为.

(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布，已知

。(外=点,0(2.5)=0.9938,

则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为.

十一、(本题满分6分)

设随机变量X的概率密度函数为人.(工)=------二，求随机变量丫=1-/7的概率密度函数人(y).

乃(i“)

(C)必有列向量是其余列向量的线性组合(D)任•列向量是其余列向量的线性组合

1989年全国硕士研究生入学统一考试

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

数学(一)试卷d27

⑴设£=/(2.丫-)，)+&。,村),其中函数/«)二阶可导，双〃,1，)具有连续二阶偏导数，求一.

dxdy

一、填空题(本题共5小题.每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)已知fr(3)=2,则lim"”仍-(3)=____________.(2)设曲线积分[x)^dx+y<pMdy与路径无关淇中<p(x)具有连续的导数,且奴0)=0,计算

2。2h

⑵设/(.V)是连续函数,RfM=x+2^f(t')dt,则/'(x)=.xy2dx+yip(x)dy的值.

(3)设平面曲线L为下半圆周y=-Vl-x2,则曲线积分((/+y2)ds=.⑶计算三重积分]]](£+z)dv,其中Q是由曲而z=旧+『与z=Ji-/-/所围成的区域.

(4)向量场div”在点P(l,1,0)处的散度divu=.

四、(本题满分6分)

1+X

300100将函数/(x)=arctan——1■展为x的箱级数.

1-x

(5)设矩阵A=140J010，则矩阵(A—21尸=

003001

五、(本题满分7分)

设/3)=如工一1：。一。/(，)力,其中/'为连续函数,求/(。

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项

前的字母填在题后的括号内)

(1)当x>0时，曲线y=xsin1六、(本题满分7分)

x证明方程ln,t=：-£Jl-cos24dx在区间(0,+8)内有且仅有两个不同实根.

(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线

七、(本题满分6分)

(2)已知曲面z=4-x2-/上点P处的切平面平行于平面2x+2)，+z-1=0,则点的坐标是

问4为何值时，线性方程组

(A)(l,-1,2)(B)(-l,l,2)

广网+g=2

(C)(1J2)(D)(-l,-l,2)

/4.V,+x+2x=2+2

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数，则该非齐次方程的通解是23

(A)cVi+c2y2+y3(B)q»+c2y2-(c1+c2)y36,Vj+x2+4^,=22+3

有解,并求出解的般形式.

(Oqy+c2y2-(1一，-c?)%(D)q%+c2y2+(1-。-c?)%

八、(本题满分8分)

假设4为〃阶可逆矩阵A的一个特征值，证明

(4)设函数/(x)=x10Wx<1,而S(x)=为"sin〃4工，一8<x<+oo,其中

(1)；为A-的特征值.

n=lA

b=2(*f(x)sin〃乃xat,〃=l,2,3,…，则S(—L)等于

n(2)耳、为A的伴随矩阵N的特征值.

力2

24

(D)[九、(本题满分9分)

42

设半径为R的球面E的球心在定球面X2+J：+三=(a>0)上，问当R为何值时，球向E在定球面内部的那

(5)设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|=0,则A中

部分的面积最大？

(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例

十、填空题(本题共3小题.每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(BIA)=0.8,则和事件

AUB的概率P(AU8)=.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率

为.

(3)若随机变量守在(1,6)上服从均匀分布，则方程Y+算+1=0有实根的概率是.

十一、(本题满分6分)

设随机变量x与y独立，且x服从均值为1、标准差(均方差)为41的正态分布，而Y服从标准正态分布.试求

随机变量Z=2X-y+3的概率密度函数.

解析,％、心为任意常数.则方程组AX=6的通解(般解)必是

1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷(A)4(I[+&2(四+&)+"J』(B)&|d|+女式四一%)十:；二

—

(C)%。]+^2(P|+生)+'.)①乂冈+&(P|P2)+~

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

'X=T+2

(1)过点—1)且与直线1y=31—4垂直的平面方程是.三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

、z=t-\⑴求

上(27)2

(2)设a为非零常数.则lim(土'■)”=.

fx-ad2z

fl|x|<l(2)设w=f(2x-y,vsinA),其中/(〃,V)具有连续的二阶偏导数，求二二：.

(3)设函数/*)=《，则〃/*)]=______________.dxdy

[°

(3)求微分方程y,+4.y'+4y=e&的通解(•般解).

(4)积分fdy的值等于.

四、(本题满分6分)

(5)已知向量组a[=(1,2,3,4),a?=(2,3,4,5),«3=(3,4,5,6),=(4,5,6,7),