第2课时奇偶性的应用 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

温故知新【回忆】奇函数、偶函数的定义和图象特点？【回忆】证明函数奇偶性的步骤？3.2.2奇偶性的应用例1

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，请画出f(x)在R上的图象，并求f(x)的解析式.【思考】若是已知范围的解析式结构复杂，那该如何求出解析式？“求谁设谁”：求哪段设哪段.延伸探究在本例(1)中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式.一、根据函数的奇偶性求函数的解析式跟踪训练1(2)：设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式.设x>0，则－x<0，则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0，例1

(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且

f(x)＋g(x)＝

，求函数f(x)，g(x)的解析式.利用奇偶性，构造方程组求解跟踪训练1

(1)设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)＋2g(x)＝2x2＋x－2，则f(x)＝______，g(x)＝________.xx2－1问题

想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1,2)上的单调性又如何？二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小一般地，若a>b>0，则（1）奇函数f(x)在区间[-a,-b]和[b,a]有相同的单调性；（2）偶函数g(x)在区间[-a,-b]和[b,a]有相反的单调性.【追问】设奇函数f(x)在(－2，－1)上单调递减，证明它在(1,2)上单调递减.例2已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(－0.5)<f(0)<f(－1) B.f(－1)<f(－0.5)<f(0)C.f(0)<f(－0.5)<f(－1) D.f(－1)<f(0)<f(－0.5)√比较大小的求解策略(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.跟踪训练2

设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是A.f(π)>f(－3)>f(－2) B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－2) D.f(π)<f(－2)<f(－3)√例3设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围.三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式【总结】利用单调性去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.特别提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域.画草图，找趋势！！【思考】若区间[0,2]改为(0,2]，与原题是否有区别？【变式】将“奇函数”改为“偶函数”，则m的取值范围为？跟踪训练3

已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若f(－3)＝0，则

<0的解集为________________.{x|－3<x<0或x>3}T9.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.随堂演练四1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于A.－3

B.－1

C.1

D.3∵f(x)为奇函数，f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.1234√2.设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2).√12343.已知函数f(x)＝

为奇函数，则a＋b等于A.－1 B.1C.0 D.2当x<0时，－x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1，故a＋b＝0