考研数学（数学二）模拟试卷1（共207题）

考研数学（数学二）模拟试卷1（共9套）（共207题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设a≠0，b>0为两个常数，则为()．A、B、0C、D、标准答案：A知识点解析：令=m+θ，当x→0+时，m→+∞，其中0<θ<1，则x=，选(A)．2、设D为有界闭区域，z=f(x，y)在D上二阶连续可偏导，且在区域D内满足：=0，≠0，则()．A、f(x，y)在D取到最小值和最大值B、f(x，y)在D内取到最小值但取不到最大值C、f(x，y)在D内取到最大值取不到最小值D、f(x，y)在D内既取不到最大值又取不到最小值标准答案：D知识点解析：对区域D内任意一点(x，y)，A=，B=，C=，因为AC－B2=－<0，所以D内任意一点都不是最值点，故f(x，y)在D内既取不到最小值又取不到最大值，选(D)．3、设f(t)=arctan(1+x2+y2)dxdy，则为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由f(t)=arctan(1+x2+y2)dxdy=rarctan(1+r2)dr=2πrarctan(1+r2)dr，得选((C)．4、设f(x)在x0的邻域内三阶连续可导，且fˊ(x0)=fˊˊ(x0)=0，fˊˊˊ(x0)>0，则下列结论正确的是()．A、x=x0为f(x)的极大点B、x=x0为f(x)的极小点C、(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点D、(x0，f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：fˊˊˊ(x0)=>0，由极限的保号性，存在δ>0，当0<｜x-x0｜<δ时，>0．当x∈(x0－δ，x0)时，fˊˊ(x)<0；当x∈(x0,x0)+δ)时，fˊˊ(x)>0，则(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．5、设f(x)连续，则f(x+y)dy为()．A、0B、f(x+b)C、f(x+b)－f(x+a)D、f(b+y)－f(a+y)标准答案：C知识点解析：f(x+y)dy=f(x+y)d(x+y)=f(u)du，则f(x+y)dy=f(u)du=f(b+x)－f(a+x)，选(C)．6、若f(x)∈C［1，+∞)，在[1，+∞)内可导，f(1)<0，fˊ(x)≥k>0，则在(1，+oo)内f(x)=0()．A、至少有一个根B、只有一根C、没有根D、有无根无法确定标准答案：B知识点解析：当x>1时，由f(x)－f(1)=fˊ(ξ)(x－1)≥k(x－1)得f(x)≥f(1)+k(x－1),于是f(x)=+∞．因为f(x)在[1，+∞)上连续且f(1)<0，所以f(x)=0在(1，+∞)内至少有一个根．又因为fˊ(x)≥k>0，所以f(x)单调增加，于是f(x)=0在(1，+∞)内有且仅有一个根，选(B)．7、设A为三阶矩阵，特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P1=(α1－α3，α2+α3，α3)，则=()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：A*的特征值为2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P=(α1，α2，α3，)，则P－1A*P=，由P1=P得选(A)．8、设A是m×n矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是()．A、若AB=O，则B=OB、对任意矩阵B，有r(AB)=r(B)C、存在B，使得BA=ED、对任意矩阵B，有r(BA)=r(B)标准答案：D知识点解析：因为r(A)=n,所以方程组AX=0只有零解，而由AB=O得B的列向量为方程组AX=0的解．故若AB=O，则B=O；令BX=0，ABX=0为两个方程组，显然若BX=0，则ABX=0，反之，若ABX=0，因为r(A)=n,所以方程组AX=0只有零解，于是BX=0，即方程组BX=0与ABX=0为同解方程组，故r(AB)=r(B)；因为，r(A)=n，所以A经过有限次初等行变换化为，即存在可逆矩阵P使得PA=，令B=(EnO)P，则BA=E；令A=，B=(111)，r(A)=1，但r(BA)=0≠r(B)=1，选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设f(x)在(－∞，+∞)内可导，且fˊ(x)=e2，则a=_______．标准答案：1知识点解析：由微分中值定理得f(x)－f(x－1)=fˊ(ξ)，其中x－1<ξ，于是e2a=e2，a=1．10、xyˊˊ－yˊ=x2的通解为________．标准答案：知识点解析：由xyˊˊ－yˊ=x2,得得原方程的通解为y=．11、设F=0，且F(u，v)连续可偏导，则=________.标准答案：z知识点解析：12、∫02x2dx=_________．标准答案：知识点解析：13、设A为三阶矩阵，A的三个特征值为λ1=－2，λ2=1，λ3=2，A*是A的伴随矩阵，则A11+A22+A33=________．标准答案：-4知识点解析：因为A的特征值为λ1=－2，λ2=1，λ3=2，所以A*的特征值为μ1=2，μ2=－4，μ3=－2，于是A11+A22+A33=tr(A*)=μ1+μ2+μ3=2—4—2=－4．三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)设y=y(x)(x>0)是微分方程2yˊˊ+yˊ－y=(4—6x)e－x的一个解，且=0．14、求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．标准答案：2yˊˊ+yˊ－y=(4－6x)e－x的特征方程为2λ2+λ－1=0，特征值为λ1=－1，λ2=，得2yˊˊ+yˊ－y=0的通解为y=C1e－x+C2，令2yˊˊ+yˊ－y=(4—6x)e－x的特解为y0=(ax2+bx)e－x代入得a=1，b=0,undefined知识点解析：暂无解析15、计算∫0+∞y(x)dx．标准答案：∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e－xdx=Г(3)=2！=2．知识点解析：暂无解析设g(x)二阶可导，且f(x)=16、求常数a的值，使得f(x)在x=0处连续；标准答案：当f(x)在x=0处连续时，g(0)=1，，当f(x)在x=0处连续时，a=gˊ(0)．知识点解析：暂无解析17、求fˊ(x)，并讨论fˊ(x)在x=0处的连续性．标准答案：当x≠0时，fˊ(x)=；因为所以fˊ(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析18、设a为实数，问方程ex=ax2有几个实根?标准答案：当a=0时，方程无解；当a≠0时，令φ(x)=x2e－x－.由φˊ(x)=2xe－x－x2e－x=x(2－x)e－x=0得x=0或x=2．当x＜0时，φˊ(x)＜0；当0＜x＜2时，φˊ(x)＞0；当x＞2时，φˊ(x)＜0，于是φ(0)=－为极小值，φ(2)=为极大值，又.1)当a≤0时，方程无解；2)a=时，方程有两个根，分别位于(－∞，0)内及x=2；3)当a＞时，方程有三个根，分别位于(一∞，0)，(0，2)，(2，+∞)内；4)当0＜a＜时，方程只有一个根，位于(－∞，0)内．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a>0)，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得abeη－ξ=η2[f(η)－fˊ(η)]．标准答案：令φ(x)=e－xf(x)，F(x)=，Fˊ(x)=－≠0，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得整理得由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得,所以aben－ξ=η2[f(η)－fˊ(η)]．知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)(x≥0)连续可导，且f(0)=1．又已知曲线y=f(x)、x轴、y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积值与曲线y=f(x)在[0，x]上的一段弧长值相等，求f(x)．标准答案：曲线y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线所围成的图形的面积为∫0x｜f(t)｜dt；曲线y=f(x)在[0，x]上的一段弧长为，根据题意得∫0x｜f(t)｜dt=∫0xdx,两边对x求导得｜f(x)｜=或f2(x)=1+fˊ2(x)，则yˊ=±，解得lnC(y+)undefined知识点解析：暂无解析21、计算，其中D是由x2+y2=4与x2+(y+1)2=1围成的区域．标准答案：由对称性得知识点解析：暂无解析22、设函数f(t)在(0，+∞)内具有二阶连续导数，函数z=f()满足=0，若f(1)=0，fˊ(1)=1，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析23、(Ⅰ)当a，b为何值时，β不可由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)当a，b为何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，写出表达式．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设A=*，且α=为矩阵A的特征向量．(Ⅰ)求a，b的值及a对应的特征值λ．(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角阵．标准答案：(Ⅰ)由Aα=λα得解得a=3，b=1，λ=1．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f〞(χ)在χ＝0处连续，＝1，则()．A、f(0)是f(χ)的极大值B、f(0)是f(χ)的极小值C、(0，f(0))是曲线y＝f(χ)的拐点D、f(0)非f(χ)的极值，(0，f(0))也非y＝f(χ)的拐点标准答案：C知识点解析：由＝1得f〞(0)＝0由极限保号性，存在δ＞0当｜χ｜＜δ时，＞0．当χ∈(－δ，0)时，因为ln(1＋χ)＜0，所以f〞(χ)＜0；当χ∈(0，δ)时，因为ln(1＋χ)＞0，所以f〞(χ)＞0，于是(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点，选C．2、设y＝χ3＋3aχ2＋3bχ＋c在χ＝－1处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则()．A、a＝1，b＝1，c＝3B、a＝0，b＝－1，c＝3C、a＝－1，b＝1，c＝3D、a＝1，b＝1，c＝3标准答案：B知识点解析：y′＝3χ2＋6aχ＋3b，y〞＝6χ＋6a，则有解得a＝0，b＝－1，c＝3，选B．3、设z＝χy＋χF()，其中F为可微函数，则为()．A、z－χyB、z＋χyC、z－2χyD、z＋2χy标准答案：B知识点解析：由得＝χy＋χF－yF′＋χy＋yF′＝2χy＋χF＝2χy＋z－χy＝z＋χy，故选B．4、设D为xOy平面上的有界闭区域，z＝f(χ，y)在D上连续，在D内可偏导且满足＝－z，若f(χ，y)在D内没有零点，则f(χ，y)在D上()．A、最大值和最小值只能在边界上取到B、最大值和最小值只能在区域内部取到C、有最小值无最大值D、有最大值无最小值标准答案：A知识点解析：因为F(χ，y)在D上连续，所以F(χ，y)在D上一定取到最大值与最小值，不妨设F(χ，y)在D上的最大值M在D内的点(χ0，y0)处取到，即f(χ0，y0)＝M≠0，此时＝0，这与＝－z≠0矛盾，即f(χ，y)在D上的最大值M不可能在D内取到，同理f(χ，y)在D上的最小值m不可能在D内取到，选A．5、曲线y＝χ2与y＝所围成的图形绕χ轴旋转一周的旋转体的体积为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：6、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e-χ，则该微分方程为()．A、y〞′－y〞－y′＋y＝0B、y〞′＋y〞－y′－y＝0C、y〞′＋2y〞－y′－2y＝0D、y〞′－2y〞－y′＋2y＝0标准答案：A知识点解析：因为y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e-χ为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，所以其对应的特征方程的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝－1，其对应的特征方程为(λ－1)2(λ＋1)＝0，即λ3－λ2－λ＋1＝0则微分方程为y〞′－y〞－y′＋y＝0，故选A.7、设四阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3线性无关，而α4＝2α1－α2＋α3，则r(A*)为()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由α1，α2，α3线性无关，而α1＝2α1－α2＋α3得向量组的秩为3，于是r(A)＝3，故r(A*)＝1，故选B.8、对三阶矩阵A的伴随矩阵A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一2倍加到第三列得－E，且｜A｜＞0，则A等于()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由－E＝E13A*E23(－2)得A*＝－E13-1E23-1(－2)＝－E13E23(2)，因为｜A*｜＝｜A｜2＝1且｜A｜＝1，于是A*＝A-1，故A＝(A*)-1＝－E23-1(2)E23-1＝－E23(－2)E13＝－选A.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、sin(χt)2dt＝________．标准答案：知识点解析：．10、设y＝y(χ)由确定，则＝________.标准答案：知识点解析：当t＝0时，χ＝1.y＝＝2ln2－1eχsint－χ＋1＝0两边对t求导，得eχsint＝e；y＝∫0χ+1(1＋u)du两边对t求导，＝ln(t＋2)，于是＝ln2．故．11、＝________标准答案：知识点解析：因为ln(χ＋)为奇函数，所以．12、＝________标准答案：知识点解析：改变积分次序得13、y〞－2y′一3y＝eχ的通解为________．标准答案：知识点解析：特征方程为λ2－2λ－3＝0，特征值为λ1＝－1，λ2＝3，则方程y〞－2y′－3y＝0的通解为y＝C1e-χ＋C2e3χ．令原方程的特解为y0(χ)＝Aχeχ，代入原方程得A＝－，于是原方程的通解为y＝．14、设A为三阶实对称矩阵，α1＝(m，－m，1)T是方程组Aχ＝0的解，α2＝(m，1，1－m)T是方程组(A＋E)χ＝0的解，则m＝________．标准答案：1知识点解析：由AX＝0有非零解得，r(A)＜3，从而λ＝0为A的特征值，α1(m，－m，1)T为其对应的特征向量；由(A＋E)X＝0有非零解得r(A＋E)＜3，｜A＋E｜＝0，λ＝－1为A的另一个特征值，其对应的特征向量为α2＝(m，1，1－m)T，因为A为实对称矩阵，所以A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有，m＝1．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、证明：当χ<1且χ≠0时，．标准答案：当χ＜0时，令f(χ)＝χ＋ln(1－χ)－χln(1－χ)，显然f(0)＝0，因为f′(χ)＝1－＝－ln(1－χ)＜0所以f(χ)在(－∞，0)上单调减少，所以当χ＜0时，f(χ)＞f(0)＝0，即χ＋1n(1－χ)－χln(1－χ)＞0，于是.当0＜χ＜1时，令f(χ)＝χ＋ln(1－χ)－χln(1－χ)，且f(0)＝0，因为f′(χ)＝1－＝－ln(1－χ)＞0，所以f(χ)在(0，＋∞)内单调增加，于是f(χ)＞f(0)＝0，故.知识点解析：暂无解析16、计算标准答案：令χ＝tant，则.知识点解析：暂无解析17、设f〞(χ)∈C[a，b]，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．标准答案：令F(χ)＝∫aχf(t)dt，则F′＝f(χ)，且F〞′(χ∈)C[a，b]，由勒公式得.两式相减，得F(b)－F(a)＝(b－a)f．因为f〞(χ)∈C[a，b]，所以f〞(χ)∈C[ξ1，ξ2]，由闭区间上连续函数最值定理f〞(χ)在区间[ξ1，ξ2]上取得最小和最大值，分别记为m，M，则有m≤≤M再由闭区间上连续函数的介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得f〞(ξ)＝，从而有.知识点解析：暂无解析18、设f(χ)在R上可微且f(0)＝0，f′(lnχ)＝求∫f(χ)dχ．标准答案：令u＝lnχ，则f′(u)＝于是因为f(0)＝0，所以f(χ)＝当χ≤0时，∫f(χ)dχ＝χ2＋C1；当χ＞0时，∫f(χ)dχ＝4－2χ＋C2，注意到f(χ)练续，由C1＝4＋C2，得C2＝C1－4，故∫f(χ)dχ＝知识点解析：暂无解析19、设f(χ)在(0，＋∞)内一阶连续可微，且对χ∈(0，＋∞)满足∫01f(χt)dt＝2∫01f(t)dt＋χf(χ)＋χ3，又f(1)＝0，求f(χ).标准答案：令u＝χt，则原方程变换为∫0χf(u)du＝2∫0χf(t)dt＋χf(χ)＋χ3，两边对χ求导得f(χ)＝2f(χ)＋f(χ)＋χf′(χ)＋3χ2，整理得f′(χ)＋f(χ)＝－3χ.此微分方程的通解为f(χ)＝.由f(1)＝0，得C＝，所以f(χ)＝.知识点解析：暂无解析20、一个容器的内表面侧面由曲线χ＝(0≤χ≤2)绕χ轴旋转而成，外表面由曲线χ＝在点(2，)的切线位于点(2，)与χ轴交点之间的部分绕χ轴旋转而成，此容器材质的密度为μ．求此容器自身的质量M及其内表面的面积S．标准答案：1＝切线方程为y＝(χ－2)，与χ轴的交点坐标为(1，0)．切线旋转后的旋转体体积为π，曲线旋转后的旋转体的体积为．此容器的质量为．容器内表面积为知识点解析：暂无解析21、位于上半平面的上凹曲线y＝y(χ)过点(0，2)。在该点处的切线水平，曲线上任一点(χ，y)处的曲率与及1＋y′2之成反比，比例系数为k＝，求y＝y(χ).标准答案：根据题意得令y′＝p，则有解得，因为p(2)＝0，所以C1＝0故y′＝p＝±，进一步解得，因为y(0)＝2，所以C2＝0，故曲线方程为y＝＋2.知识点解析：暂无解析22、设A是n阶矩阵，证明：(Ⅰ)r(A)＝1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A＝αβT；(Ⅱ)r(A)＝1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．标准答案：(Ⅰ)若r(A)＝1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即显然α，β都不是零向量且A＝αβT；反之，若A＝αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)＝r(αβT)≤r(a)＝1，又因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)＝1．(Ⅱ)因为r(A)＝1，所以存在非零列向量α，β，使得A＝αβT显然tr(A)＝(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)＝k≠0．令AX＝λX，因为A2＝kA，所以λ2X＝kλX，或(λ2－Kλ)X＝0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ＝0或λ＝k．因为λ1＋λ2＋…λn＝tr(A)＝k，所以λ1＝k，λ2＝λ3＝…＝λn＝0，由r(OE－A)＝r(A)＝1，得A一定可以对角化.知识点解析：暂无解析23、设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A＋B)P正定的充分必要条件是r(P)＝m．标准答案：因为[PT(A+B)P]T＝PT(AT＋BT)(PT)T＝PT(A十B)P．所以PT(A＋b)P为实对称矩阵.设PT(A＋B)P正定，则PT(A＋B)P为m阶可逆矩阵，即，r[PT(A＋B)P]＝m，由矩阵秩的性质得r[pT(A＋B)P]≤r(P)．所以r(P)≥m，显然r(P)≤m，所以r(P)＝m．设r(P)＝m．对任意的X≠0，XT[PT)(A＋B)PX＝(PX)T(A＋B)(PX)．令PX＝y．显然Y≠0，因为若Y＝0，由r(P))＝m，得χ＝0，矛盾，所以Y≠0．于是XT[PT(A＋B)P]X＝YTAY＋YTBY．因为A，B都是正定矩阵，所以YTAY＞0且YTBY＞0，于是XT[PT(A＋B)P]X＞0，即PT(A＋B)P为正定矩阵．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设x→0时a2x+bx+c-cosx是x2的高阶无穷小量，其中a，b，c是常数，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：2、曲线渐近线的条数为()A、0条。B、1条。C、2条。D、3条。标准答案：C知识点解析：函数无定义的点只有x=0。由于，所以x=0为垂直渐近线。又故y=e(x+1)为曲线的斜渐近线。故选C。3、设Ii=，i=1，2，3，其中D1={(x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R。则下列关于I1，I2，I3大小关系正确的是()A、I1＜I2＜I3。B、I1＜I3＜I2。C、I2＜I3＜I1。D、I3＜I2＜I1。标准答案：B知识点解析：三个积分区域如下图所示：D1，D2均是以原点为圆心，半径分别为R和的圆；D3是边长为2R的正方形，所以D1D3D2。又因为被积函数连续，且恒正，所以I1＜I3＜I2，故选B。4、下列结论中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：5、设z(x，y)是方程=x2+2y满足条件z(x，x2)=1的解，则∫01z(1，y)dy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：z(x，y)==∫(x2+2y)dy=x2y+y2+C(x)，且已知z(x，x2)=1，于是有x2·x2+(x2)2+C(x)=1，故C(x)=1-2x4，所以z(x，y)=x2y+y2+1-2x4。代入所求积分得∫01z(1，y)dy=∫01(y+y2+1-2)dy故选A。6、设f(x)是(-∞+∞)上连续的偶函数，且｜f(x)｜≤m，则F(x)=∫0xf(t)dt是(-∞，+∞)上的()A、有界偶函数。B、无界偶函数。C、有界奇函数。D、无界奇函数。标准答案：A知识点解析：首先讨论F(x)的奇偶性：对任意的x∈(-∞+∞)，有令t=-u，则故F(x)是(-∞，+∞)上的偶函数。其次讨论F(x)的有界性：因F(x)是(-∞，+∞)的偶函数，可只讨论x≥0时，F(x)的有界性。由于所以F(x)是(-∞，+∞)上的有界函数。故选A。7、已知向量组α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，α1，α2，α3，α5线性无关，则r(α1，α2，α3，α4+α5)=()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：因为α1，α2，α3线性无关，所以可首先排除选项A和B，则r(α1，α2，α3，α4+α5)只可能为3或4。若r(α1，α2，α3，α4+α5)=3，则α4+α5可由α1，α2，α3线性表示，设α4+α5=k1α1+k2α2+k3α3，因为α1，α2，α3，α4线性相关，所以α4可由α1，α2，α3线性表示，设α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3，则α5=(k1-λ1)α1+(k2-λ2)α2+(k3-λ3)α3，这和α1，α2，α3，α5线性无关矛盾，故选D。8、设A为四阶实对称矩阵，且A2+2A-3E=O，若r(A-E)=1，则二次型xTAx在正交变换下的标准形为()A、y12+y22+y32-y42。B、y12+y22+y32-3y42。C、y12-3y22-3y32-3y42。D、y12+y22-3y32-3y42。标准答案：B知识点解析：由A2+2A-3E=O有(A-E)(A+3E)=O，从而r(A-E)+r(A+3E)≤4。又因为r(A-E)+r(A+3E)=r(E-A)+r(A+3E)≥r[(E-A)+(A+3E)]=r(4E)=4，所以r(A-E)+r(A+3E)=4，则r(A+3E)=3。于是齐次线性方程组(A-E)x=0与(A+3E)x=0分别有三个和一个线性无关的解，即λ=1与λ=-3分别是矩阵A的三重和一重特征值。故选B。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设y=f(x)在[1，3]上单调，导函数连续，反函数为x=g(y)，且f(1)=1，f(3)=2，∫13f(x)dx=，∫12g(y)dy=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：由y=f(x)且f(1)=1，f(3)=2可知，∫12g(y)dy=∫13xdf(x)=xf(x)｜13-∫13f(x)dx=。10、数列极限=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：11、设f(x，y)可微，f(x，x2)=1且。当x≠0时，f’y(x，x2)=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：f(x，x2)是二元函数f(x，y)与一元函数x=x，y=x2。复合而成的一元函数，由f(x，x2)=1及复合函数求导法则得f(x，x2)=f’x(x，x2)+f’y(x，x2)·(x2)’=x+f’y(x，x2)·2x=0，因此f’y(x，x2)=12、与曲线(y-2)2=x相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直的直线方程为＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：在曲线方程两边对x求导得2(y-2)y’=1，即。当y=3时，，即曲线在(1，3)处的法线斜率为-2，由。所以切点为，切线方程为13、曲线的渐近线为＿＿＿＿＿＿。标准答案：x=0和知识点解析：由于曲线y=x2(e1/x-1)只有间断点x=0，于是有因此有垂直渐近线x=0。又因为所以有斜渐近线此外，由可知没有水平渐近线。14、已知，A*是A的伴随矩阵，则(A*A2)-1=＿＿＿＿＿＿。标准答案：AA-1=E，AA*=A*A=｜A｜E。知识点解析：，由AA*=A*A=｜A｜E可知故三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、计算积分，并利用所得结果求的值。标准答案：令x=2t，则知识点解析：暂无解析16、在一个形状为旋转抛物面z=x2+y2的容器内，已经盛有8πcm3的水，现又倒入120πcm3的水，问水面比原来升高多少厘米?标准答案：设水面原来高度为h1，倒入水后高度为h2，注意到用平面z=t去截旋转抛物面得到的是圆心为(0，0)，半径为的圆，所以后对z积分较好，于是解得h1=4，h2=16，所以液面升高12cm。知识点解析：暂无解析17、要制造一个容积为4m3的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、高各为多少米时，用料最省?标准答案：设水箱的长、宽、高分别为x，y，z，则实际要求的是，在水箱容积xyz=4的约束条件下，水箱表面积S(x，y，z)=xy+2xz+2yz的最小值。作拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=xy+2xz+2yz-λ(xyz-4)，得方程组得到唯一解x=2，y=2，z=1。由于实际问题一定会存在最小值，所以该唯一解即为所求的长、宽、高。故长为2m，宽为2m，高为1m。知识点解析：暂无解析18、讨论函数的单调性、极值点、凹凸性、拐点和渐近线。标准答案：因为，所以f(x)有零点x=±1。对f(x)求导，得因此f’(x)有零点，且在x=±1处f’(x)不存在。再求f(x)的二阶导函数，得可知f(x)的二阶导函数没有零点，但在x=±1处f”(x)不存在。总结如下表：由上表可知，f(x)的单调增区间为(-∞，-1)、、(1，+∞)，单调减区间为。f(x)在处取极大值，在x=1处取极小值0。f(x)的凹区间为(-∞，-1)，凸区间为、(1，+∞)。f(x)的拐点为(-1，0)。故渐近线为。知识点解析：暂无解析19、设函数，数列{xn}满足x1=1且xn+1=f(xn)，(Ⅰ)求f(x)的极值；(Ⅱ)求。标准答案：(I)令，解得驻点为x=±1，又因f”(1)=2＞0，故x=1是极小值点，且f(1)=2；f”(-1)=-2＜0，故x=-1是极大值点，且f(-1)=-2。知识点解析：暂无解析20、设函数y=y(x)在R上具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数，(Ⅰ)将x=x(y)满足的微分方程变换成y=y(x)满足的微分方程；(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解。标准答案：(Ⅰ)将其代入中，得y”-y=sinx。(Ⅱ)微分方程y”-y=sinx对应的齐次微分方程的特征方程为λ2-1=0，解得λ=±1。故对应的齐次微分方程的通解为Y=C1e-x+C2ex，设特解为y*=asinx+bcosx，代入方程y”-y=sinx中，解得，b=0。所以非齐次微分方程的通解为y=C1e-x+C2ex-sinx，将初值条件y(0)=0，y’(0)=代入上式解得C1=-1，C2=1。所以y(x)=ex-e-x-sinx。知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上二阶可导，x=1是f(x)的极值点且。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f”(ξ)=0。标准答案：由于x=1是f(x)的极值点，所以f’(1)=0。因f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上二阶可导，所以由积分中值定理可知，存在η∈，使得又因f(x)在上连续，在上可导，所以由罗尔定理可知，存在，使得f’(ζ)=0。再由f’(x)在[ζ，1]上连续，在(ζ，1)上可导，且f’(ζ)=f’(1)=0可知，存在ξ∈(ζ，1)(0，1)，使得f”(ξ)=0。知识点解析：暂无解析22、已知四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，它的三个解向量为η1，η2，η3，且η1+2η2=(2，0，5，-1)T，η1+2η3=(4，3，-1，5)T，η3+2η1=(1，0，-1，2)T求方程组的通解。标准答案：由η1+2η2=(2，0，5，-1)T，η1+2η3=(4，3，-1，5)T，η3+2η1=(1，0，-1，2)T可得原方程所对的齐次线性方程组的解为η3-η1=(3，3，0，3)T，η2-η1=(2，，3，0)T，显然以上两个向量是线性无关的，而四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，故基础解系只含有两个向量，所以方程组的通解为其中c1，c2为任意常数。知识点解析：暂无解析23、在n阶方阵A=(aij)中，aij＞0且(i=1，2，…，n)，(Ⅰ)证明：无论n取何正整数，A的特征值总有一个是1；(Ⅱ)当Bm=Am(m是正整数)时，对于n=2的情况，试求。标准答案：(Ⅰ)由矩阵A的行和为1，可设α=(1，1，…，1)T，则有Aα=α，故A有特征值1。(Ⅱ)当n=2时，由aij＞0及，可设其中0＜a＜1，0＜b＜1。特征多项式为｜λE-A｜=(λ-1)(λ-1+a+b)，故特征根为1和1-a-b，且即(1，1)T和(a，-b)T分别是属于特征值为1和1-a-b的特征向量，所以有知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：3、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：4、设a1，a2，…，as均为n维列向量，A是m×n矩阵，则下列选项正确的是()．A、若a1，a2，…，as线性相关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性相关B、若a1，a2，…，as线性相关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性无关C、若a1，a2，…，as线性无关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性相关D、若a1，a2，…，as线性无关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性无关标准答案：A知识点解析：用秩的方法判断线性相关性．因为(Aa1，Aa2，…，Aas)=A(a1，a2，…，as)，所以r(Aa1，Aa2，…，Aas)≤r(a1，a2，…，as)．又若a1，a2，…，as线性相关，则r(a1，a2，…，as)＜s，从而r(Aa1，Aa2，…，Aas)＜s．所以Aa1，Aa2，…，Aas线性相关，故选(A)．5、设F(u，v)具有一阶连续偏导数，且z=z(x，y)由方程所确定．又设题中出现的分母不为零，则()A、0。B、2C、D、1标准答案：B知识点解析：6、设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是()．A、A的列向量线性无关B、A的列向量线性相关C、A的行向量线性无关D、A的行向量线性相关标准答案：A知识点解析：由解的判定定理知Ax=0仅有零解r(A)=r=n，即A的n个列向量线性无关，故应选(A)．7、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析8、标准答案：知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设A为n阶矩阵，｜A｜≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值______________．标准答案：(｜A｜/λ)2+1知识点解析：暂无解析10、标准答案：y=x+1知识点解析：11、标准答案：知识点解析：12、标准答案：3/2知识点解析：13、设y=y(x)是由方程x2一xy+y2=1所确定，则=_________.标准答案：知识点解析：由x2一zy+y2=1，有2x—zy’一y+2yy’=0，则14、微分方程的通解是______．标准答案：应填y—＝Cre－x．知识点解析：[分析]本方程为可分离变量方程．先分离变量，然后两边积分．[详解]原方程化为，两边积分得通解为lny＝lnx—x＋C，即y＝Cxe－x．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、设z=f(e2siny，x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求标准答案：=f1’(exsiny，x2+y2)exsiny+2xf2’(exsiny，x2+y2)=exsiny(f11’’excosy+2yf12’’)+excosrf1’+2x(f12’’excosy+2y22’’)=f11’’sinxcosx+2ex(ysiny+xcosy)f12’’+4xyf22’’+f1’excosy知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0．试证存在ξ，η∈(a，b)，使得标准答案：由题设，引入辅助函数，即g(x)=ez，则f(x)与g(x)在区间[a，b]上满足柯西中值定理的条件，所以知存在一点ηE(a，b)，使得又f(x)在区间[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，则存在一点ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)(2)将(2)式代入(1)式可得整理得知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、一书店预计一年内要销售某本书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货，每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少?标准答案：假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)有连续的导数，f(0)＝0．f(0)≠0，F(x)＝∫0x(x2－t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A、1．B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设f(x)＝3x3＋x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶n为A、0．B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：暂无解析3、设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是A、λ－1｜A｜n．B、λ－1｜A｜．C、λ｜A｜．D、λ｜A｜n．标准答案：B知识点解析：暂无解析4、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：5、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：6、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：7、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：8、设an＞0(n＝1，2，3，…)，Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an，则数列｛Sn｝有界是数列｛an｝收敛的()．A、充分必要条件B、充分非必要条件C、必要非充分条件D、非充分也非必要条件标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：A知识点解析：10、标准答案：E+(2n-1)A知识点解析：11、标准答案：利用参数方程的求导得切线斜率．知识点解析：暂无解析12、标准答案：4知识点解析：13、设1-(1+ax2)1/3与xln(1+x)是x=0处的等价无穷小，则a=__________．标准答案：-3知识点解析：因为1-(1+ax2)1/3～-(a/3)x2，xln(1+x)～x2，且1-(1+ax2)1/3～xln(1+x)，所以a=-3．14、(2006年试题，一)设矩阵单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E则｜B｜=_________．标准答案：由已知BA=B+2E有B(A—E)=2E，两边取行列式得｜B｜．｜A—B｜=4因为所以｜B｜=2知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是p1＝18—2Q1，p2＝12－Q2，其中p1和p2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元／吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是C＝2Q＋5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q＝Q1＋Q2．(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小．标准答案：(1)Q1＝4，Q1＝5，p1＝10万元／吨，p2＝7万元／吨；(2)Q1＝5，Q2＝4，p1＝p2＝8万元／吨，最大利润为49万元．知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：2、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：3、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：4、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：5、设f(x)在[a,b]上可导，且则]在(a，b)内必定()A、恒为正．B、恒为负．C、恒为零．D、变号．标准答案：C知识点解析：记，若在(a，b)内可取正值，由于F(a)=F(b)=0，故F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知F(x)在(a，b)内存在正的极大值，记该极大值点为x，于是F’(x0)=0，F(x0)＞0．即代入原始方程，得F(x0)应是极小值，矛盾．同理可知F(x)在(a，b)内也不可能取到负值．故应选C．6、定积分的值为A、B、0。C、D、标准答案：C知识点解析：用分段积分法并在[一1，0]与[0，1]上用推广的牛顿一莱布尼兹公式：故应选C．7、二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数f’(x0，y0)，fx’(x0，y0)存在是f(x，Y)在该点连续的A、充分条件而非必要条件．B、必要条件而非充分条件．C、充分必要条件．D、既非充分条件又非必要条件．标准答案：D知识点解析：暂无解析8、设当x→0时，sin(sin2x)ln(1＋x2)是比xsinxn高阶无穷小，而xsinxn是比(ex2－1)高阶无穷小．则正整数n＝()．A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：1/2知识点解析：10、标准答案：1知识点解析：11、标准答案：π/4知识点解析：12、标准答案：1,1,1知识点解析：13、标准答案：4知识点解析：暂无解析14、已知y1=e3x-xe2x,y2=ex-xe2x,y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件的解为y=__________．标准答案：e3x-ex-xe2x知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、设求标准答案：用拼接法．当x<0时当x>0时现令其中C0满足因此其中C是一个任意常数．知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算下列各式的近似值：标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、若y=f(x)有f’(x0)=1，则当△x→0时，该函数在x=x0。处的微分dy是△x的()A、高阶无穷小。B、低阶无穷小。C、同阶无穷小。D、等价无穷小。标准答案：D知识点解析：因为，而f’(x0)=1，所以函数在x=x0处的微分dy是△x的等价无穷小。故选D。2、已知函数=()A、B、C、f(0)。D、不存在。标准答案：D知识点解析：显然f(0)=0，所以f(x)在x=0处不连续，故不存在。故选D。(实际上，x=0是函数的跳跃间断点。)3、设，则x=0是f(x)的()A、可去间断点。B、跳跃间断点。C、无穷间断点。D、振荡间断点。标准答案：B知识点解析：所以x=0是f(x)的跳跃间断点。故选B。4、已知的导函数f’(x)在x=0处连续，则()A、a＞0。B、a＞1。C、a＞2。D、a＞3。标准答案：C知识点解析：由于函数是可导的，所以它是连续的，即成立，由于是有界的，所以只需a＞0即可。又因导函数在x=0处连续，而导函数为且当a＞2时，存在，且极限值为0，而此时导函数连续。故选C。5、函数f(x)=2x-x2-1()A、至多有两个零点。B、只有三个零点。C、没有零点。D、有无穷多个零点。标准答案：B知识点解析：显然f(0)=0，f(1)=0，此外f(4)=-1＜0,f(5)=6＞0，所以由零点定理，至少有一点x0∈(4，5)，使得f(x0)=0，即函数至少有三个零点。以下证明函数只有这三个零点(反证法)：假设函数f(x)有四个零点，设为x1＜x2＜x3＜x4，由罗尔定理有x1＜ξ1＜x2＜ξ2＜x3＜ξ3＜x4，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=0，再用罗尔定理有ξ1＜η1＜ξ2＜η2＜ξ3，使得f”(η1)=f”(η2)=0，再用罗尔定理有η1＜ζ＜η2，使得f(3)(ζ)=0，但f(3)(x)=2x(1n2)3＞0恒成立，这与f(3)(ζ)=0矛盾，故函数只有三个零点。故选B。6、设y=f(x)是[0，∞)上单调增加的连续函数，f(0)=0，记它的反函数为x=f-1(y)，a＞0，b＞0，令I=∫0af(x)dx+∫0b-1f(y)dy，则()A、I＜ab。B、I≤ab。C、I＞ab。D、I≥ab。标准答案：D知识点解析：令F(a)=∫0af(x)dx+∫0bf-1(y)dy-ab，则F’(a)=f(a)-b。设f(T)=b，则当0＜a＜T时，F(a)单调减少；当a＞T时，F(a)单调增加，故F(a)在a=T处取最小值0，所以F(a)≥0，即∫0af(x)dx+∫0bf-1(y)dy≥ab。故选D。7、设α1，α2，…，αn-1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn-1正交，则()A、α1，α2，…，αn-1，β1必线性相关。B、α1，α2，…，αn-1，β1，β2必线性无关。C、β1，β2必线性相关。D、β1，β2必线性无关。标准答案：C知识点解析：由n+1个n维向量必线性相关可知B选项错。若αi(i=1，2，…，n-1)是第i个分量为1，其余分量全为0的向量，β1是第n个分量为1，其余分量全为0的向量，β2是第n个分量为2，其余分量全为0的向量，则α1，α2，…，αn-1，β1线性无关，β2=2β1，所以选项A和D错误。下证C选项正确：因α1，α2，…，αn-1，β1，β2必线性相关，所以存在n+1个不全为零的常数k1，k2，…，kn-1，l1，l2，使k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1+l1β1+l2β2=0，又因为α1，α2，…，αn-1线性无关，所以l1，l2一定不全为零，否则α1，α2，…，αn-1线性相关，产生矛盾。在上式两端分别与β1，β2作内积，有(l1β1+l2β2，β1)=0，①(l1β1+l2β2，β2)=0，②联立两式，l1×①+l2×②可得(l1β1+l2β2，l1β1+l2β2)=0，从而可得l1β1+l2β2=0，故β1，β2必线性相关。故选C。8、已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2，则()A、a=-1。B、a=0。C、a=1。D、a＞1。标准答案：B知识点解析：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为由特征方程｜λE-A｜=0可得(λ-2)[λ2-2(1-a)λ-4a]=0，因秩为2，所以0是特征方程的单根，故a=0。故选B。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知函数y=｜ln｜x｜｜与直线y=kx有且只有两个交点，则k=＿＿＿＿＿＿。标准答案：或0知识点解析：首先画出函数y=｜ln｜x｜｜的图形，注意到函数y=｜ln｜x｜｜关于y轴对称，直线y=kx恒过原点(0，0)。当k=0时，直线y=kx和y=｜ln｜x｜｜恰好只有两个交点，分别是(-1，0)和(1，0)。当k≠0时，由于对称性，只需考虑x＞0的情况：注意到当0＜x＜1时，无论k取何值，二者总有一个交点，故只需当x＞1时，直线y=kx与曲线y=lnx有且只有一个交点，即可转化成当x＞1时，直线y=kx与曲线y=lnx相切的问题。假设切点为(t，lnt)，则过(0，0)点与y=lnx相切的直线为，注意到切点在直线上，故，解得t=e，所以。由对称性可知，当时也符合题意。综上所述，k=或0。10、设，则dz｜(1,0)=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：在两边取对数得到由一阶全微分形式的不变性，两边求全微分得到当x=1，y=0时，z=1，代入上式得到11、=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：令对该式两边取对数得因∫01ln(1+x)dx=∫12lntdt=2ln2-1，所以12、已知函数y=a｜x｜与y=x2所围成的图形的面积为9，则a=＿＿＿＿＿＿。标准答案：3知识点解析：若a＜0，函数y=a｜x｜与y=x2只有一个公共点(0，0)，此时不能围成平面图形。若a＞0，画出所围平面图形：联立解得交点为(-a，a2)，(0，0)，(a，a2)。结合函数并观察图形，可知两个函数所围的平面图形关于y轴对称，所以S=2∫0a(ax-x2)dx==9，故a=3。13、已知某微分方程的通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x+C3)，其中C1，C2，C3为任意常数，则原微分方程为＿＿＿＿＿＿。标准答案：y”’-3y”+7y’-5y=0知识点解析：由通解y=ex(C1cos2x+C2sin2x+C3)=ex(C1cos2x+C2sin2x)+C3ex可知，齐次线性微分方程所对应的特征方程的根为1，1±2i，所以特征方程为(λ-1)(λ-1-2i)(λ-1+2i)=0，即λ3-3λ2+7λ-5=0，所以原微分方程为y”’-3y”+7y’-5y=0。14、设n阶方阵A=(aij)的主对角线元素为2，当｜i-j｜=1时，aij=-1，其他元素为0，则｜A*｜=＿＿＿＿＿＿。标准答案：(n+1)n-1知识点解析：根据题意令按行展开，得Dn=2Dn-1-Dn-2，且D2=3，D1=2，故｜A｜=Dn=n+1≠0，对AA*=｜A｜E两边取行列式得｜AA*｜=｜A｜n，故｜A*｜=｜A｜n-1=(n+1)n-1。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设函数f(x)满足f(1)=0，f’(1)=2，求。标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算二重积分，其中D是曲线y=4x2和y=9x2在第一象限所围成的区域。标准答案：如右图所示，积分区域D是无界的，可表示为知识点解析：暂无解析17、一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线绕y轴的旋转面，容器的外高为10，比重为。把它铅直地浮在水中，再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少?(长度单位为厘米)标准答案：容器体积V=π∫01010ydy=500π，容器的容积是由抛物线(1≤y≤10)绕y轴旋转一周所得立体的体积，即V1=π∫11010(y-1)dy=405π，所以容器重量为。设注入液体的最大深度为h，则注入液体的重量为3π∫1h+110(y-1)dy=15πh2。此时排开水的体积恰好是容器的体积500π，而水的比重为1，所以有+15πh2=500π，解得h=5。知识点解析：暂无解析18、设y=f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f”(x)≠0，试证：(Ⅰ)对(-1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]成立；(Ⅱ)。标准答案：(Ⅰ)对(-1，1)内的任一x≠0，由拉格朗日中值定理知，存在θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]。因为f”(x)在(-1，1)内连续且f”(x)≠0，所以f”(x)在(-1，1)内不变号，即f’(x)单调，故θ(x)是唯一的。(Ⅱ)由泰勒公式知，存在ξ∈(0，x)，使得注意到当x→0时，ξ→0，所以知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)连续，且满足f(x)+∫0x(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)ex,求f(x)。标准答案：由积分方程f(x)+∫0x(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)ex可知f(0)=-12。由f(x)连续知上式中变上限积分可导，而初等函数6(x-2)ex是可导的，所以f(x)也可导。在方程两边对x求导得f’(x)+∫0xf(t)dt-2f(x)=6(x-1)ex，且f’(0)=-30。同理可知f(x)二次可导，上式两端对x求导得f”(x)-2f’(x)+f(x)=6xex。该二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ2-2λ+1=0，故特征根是1(二重)，于是对应的齐次方程的通解为F(x)=(C1+C2x)ex。因非齐次项Q(x)=6xex，可设非齐次方程的一个特解为f”(x)=(Ax+B)x2ex，代入f”(x)-2f’(x)+f(x)=6xex可求得A=1，B=0，从而原方程的解为f(x)=(C1+C2x+x3)ex。利用初值条件f(0)=-12，f’(0)=-30可得C1=-12，C2=-18，故f(x)=(x3-18x-12)ex。知识点解析：暂无解析20、求函数的麦克劳林展开式。标准答案：将f(x)分解成简单分式之和，因所以其可分解成，通分后，与原式比较可知，则知识点解析：暂无解析21、求位于两圆r=2sinθ和r=4sinθ之间的均匀薄片的质心。标准答案：设质心为，由两圆r=2sinθ与r=4sinθ围成的平面区域记为D，如图：可知D关于y轴对称，故，由于薄片是均匀的，所以设密度ρ=1，则知识点解析：暂无解析22、设向量组α1，α2，…，αm(m＞1)线性无关，且β=α1+α2+…+αm，证明向量组：β-α1，β-α2，…，β-αm线性无关。标准答案：设存在λ1，λ2，…，λm，使λ1(β-α1)+λ2(β-α2)+…+λm(β-αm)=0，即(λ2+λ3+…+λm)α1+(λ1+λ3+…+λm)α2+…+(λ1+λ2+…+λm-1)αm=0，由于α1，α2，…，αm线性无关，所以有该线性方程组的系数矩阵的行列式所以方程组只有零解，即λ1=λ2=…=λm=0，故向量组β-α1，β-α2，…，β-αm线性无关。知识点解析：暂无解析23、已知A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=-2α1+3α3。(Ⅰ)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求矩阵A的特征向量；(Ⅲ)求矩阵A*-6E的秩。标准答案：(Ⅰ)由已知条件可得A(α1，α2，α3)=(-α1-3α2-3α3，4α1+4α2+α3，-2α1+3α3)=(α1，α2，α3)记，P1=(α1，α2，α3)，由α1，α2，α3线性无关可知矩阵P1可逆，且P1-1AP1=B，所以A与B相似。矩阵B的特征多项式｜λE-B｜=(λ-1)(λ-2)(λ-3)，所以矩阵B的特征值是1，2，3，从而矩阵A的特征值也是1，2，3。(Ⅱ)由(λiE-B)x=0可得对应于特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3的一个特征向量分别为β1=(1，1，1)T，β2=(2，3，3)T，β3=(1，3，4)T。令P2=(β1，β2，β3)，则有P2-1BP2=，结合P1-1AP1=B，可得P1-1AP1=(P1P2)-1A(P1P2)=令P=P1P2，则P的列向量就是矩阵A属于特征值1，2，3的特征向量，而P=(α1，α2，α3)(β1，β2，β3)=(α1+α2+α3，2α1+3α2+3α3，α1+3α2+4α3)，所以矩阵A属于特征值1，2，3的特征向量分别为k1(α1+α2+α3)，k2(2α1+3α2+3α3)，k3(α1+3α2+4α3)，ki≠0(i=1，2，3)。(Ⅲ)因为矩阵A的特征值为1，2，3，所以由A*A=｜A｜E可知A*的特征值为6，3，2，则A*-6E的特征值为0，-3，-4，故秩r(A*-6E)=2。知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第8套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、曲线y＝的渐近线的条数为()A、2B、3C、0D、1标准答案：B知识点解析：显然，曲线有垂直渐近线χ＝1．即曲线当χ→＋∞或χ→－∞时分别有斜渐近线y＝－1．故选B．2、设f(χ)＝则在区间(－1，1)上()A、f(χ)与g(χ)都存在原函数B、f(χ)与g(χ)都不存在原函数C、f(χ)存在原函数，g(χ)不存在原函数D、f(χ)不存在原函数，g(χ)存在原函数标准答案：D知识点解析：g(χ)在区间(－1，1)上连续，所以在(－1，1)上存在原函数．不选B与C．将f(χ)在区间(－1，0)与(0，1)上分别积分，∫f(χ)dχ＝要使得在χ＝0处连续，则C2＝1＋C1，所以F(χ)＝容易验算，知F′-(0)＝0，F′+＝1．无论C1取何值，f(χ)在χ＝0处不可导，故f(χ)在包含χ＝0在内的区间上不存在原函数，不选A，故选D．3、设f(χ，y)为连续函数，变换二次积分I＝∫02πdχ∫0sinχf(χ，y)dy的次序为先χ后y，正确的是()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：I＝∫0πdχ∫0sinχf(χ，y)dy＋∫π2πdχ∫0sinχf(χ，y)dy，在π≤χ≤2π处，sinχ≤0，应将第2个积分化成从sinχ到0的积分，然后再交换次序．所以选A．4、以下关于二元函数的连续性的说法正确的是()A、f(χ，y)在点(χ0，y0)处连续，则f(χ0，y)在y0点连续，f(χ，y0)在χ0点连续B、f(χ，y)沿任意直线y＝kχ在某点χ0处连续，则f(χ，y)在点(χ0，y0)连续C、f(χ，y)在点(χ0，y0)处偏导数f′χ(χ0，y0)及f′y(χ0，y0)存在，则f(χ，y)在点(χ0，y0)处连续D、以上说法都不对标准答案：A知识点解析：由二元函数f(χ，y)在点(χ0，y0)极限存在及在该点连续的定义知5、在极坐标系(r，0)中，圆r＝1之外和圆r＝cosθ之内的公共部分的面积S＝()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：由条件知两圆r＝1与r＝cosθ的交点是：θ＝－与θ＝要，如图，故应选D．6、已知则A与B()A、等价、不相似、合同B、不等价、不相似、不合同C、等价、相似、不合同D、等价、相似、合同标准答案：A知识点解析：由于r(A)＝3，r(B)＝3，所以A与B等价．A与B均为实对称矩阵，若特征值相同，则A与B相似，否则A与B不相似．由于所以A的特征值为λA＝－1，3，1，B的特征值为λB＝2，1＋，1－，因此A与B不相似．由于A与B的正负惯性指数是相同的，正惯性指数为2，负惯性指数为1，所以A与B合同．综合得，选择A．7、二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1＋χ2)2＋(2χ1＋3χ2＋χ3)2－5(χ2＋χ3)2的规范形是()A、y22－y32B、y12＋y22－5y32C、y12＋y22－y32D、y12＋y22标准答案：A知识点解析：二次型的规范形中，平方项的系数只能是1，－1，0．故应当排除选项B．二次型f经整理为f(χ1，χ2，χ3)＝5χ12＋5χ22－4χ32＋14χ1χ2＋4χ1χ3－4χ2χ3．由于｜λE－A｜＝λ(λ＋6)(λ－12)，故矩阵A的特征值是12，－6，0，因此二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，故应选A．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设y＝y(χ)由方程χ＝所确定，则＝_______．标准答案：－2π．知识点解析：以χ＝0代入χ＝dt得：y(0)＝1．在所给方程两边对χ求导得：1＝(y′－1)sin2[(y－χ)｜．所以将χ＝0，y(0)＝1代入，得y′｜χ＝0＝2，y〞｜χ＝0＝－2π．9、设f(t)为连续函数，且∫0χtf(2χ－t)dt＝ln(1＋χ2)，f(1)＝1，则∫12f(χ)dχ＝_______．标准答案：知识点解析：令u＝2χ－t，即t＝2χ－u，原等式化为：两边对χ求导，得：∫χ2χf(u)du＋2χ[2f(2χ)－f(χ)]－2χf(2χ).2＋χf(χ)＝即：2∫χ2χf(u)du－χf(χ)＝令χ＝1，得2∫12f(u)du＝1＋，所以∫12f(u)du＝，10、微分方程满足y(1)＝－2的特解是_______．标准答案：2χ＋5y－y3＝0．知识点解析：将原方程变形为：＝y2，由通解公式得：χ＝，即χ＝y，以χ＝1，y(1)＝－2代人得C＝，得χ＝y()，即2χ＋5y－y3＝0．11、设f(χ)在χ＝0处连续，且＝2，则曲线y＝f(χ)在(0，f(0))处的切线方程为_______．标准答案：y＝－1·知识点解析：由极限和无穷小的关系，有：又由于f(χ)在χ＝0处连续，所以f(0)＝＝－1．f′(0)＝所以曲线y＝f(χ)在点(0，f(0))处的切线方程为：y－f(0)＝f′(0)(χ－0)，即y＝－1．12、＝_______．标准答案：知识点解析：交换积分次序：13、设α，β均为n维非零列向量，且αTβ≠0，设矩阵A＝αβT－E，且满足方程A2－3A＝4E，则αTβ＝_______．标准答案：5．知识点解析：αβT的特征值为0，0，…，0，αTβ，则A＝αβT－E的特征值为－1，－1，…，－1，αTβ－1．设Aη＝λη(η≠0)，则λ2－3λ＝4，解得λ＝－1或者λ＝4?又因为α，β均为n维非零列向量，且αTβ≠0，所以αTβ－1＝4，即αTβ＝5．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设＝a(a≠0)，求n及a的值．标准答案：由于分子的极限不为零，所以分母的极限也不能为零，故n＝2，此时a＝－＝－2e2知识点解析：暂无解析15、设函数f(χ)连续，＝a(a为常数)，又F(χ)＝∫f(χy)dy，求F′(χ)，并讨论F′(χ)的连续性．标准答案：由f(0)＝0，所以易知χ＝0是F′(χ)的分段点，先讨论F′(χ)在χ＝0处的连续性．由于所以F′(χ)在χ＝0处连续．当χ≠0时，因为f(χ)连续，所以变上限积分∫0χf(t)dt可微，从而也是连续的，于是F′(χ)是连续的．综上，F′(χ)在(－∞，＋∞)内连续．知识点解析：暂无解析16、设直线y＝kχ与曲线y＝围成的平面图形是D1，它们与直线χ＝1围成的图形是D2．(Ⅰ)求k的值，使D1与D2分别绕z轴旋转一周所成的旋转体体积V1与V2之和V达到最小，并求此最小值；(Ⅱ)求V达到最小时，D1与D2的面积之和S．标准答案：(Ⅰ)y＝kχ与y＝的交点为()，并且，即k≥1．又因为V()＞0，所以V在k＝时达到极小值，且为最小值，最小值为知识点解析：暂无解析17、设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)＜0．求证：存在ξ∈(0，1)，使得ξf′(ξ)＋(2－ξ)f(ξ)＝0．标准答案：令F(χ)＝χ2e-χf(χ)．由题意，显然F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导．因为f(0)f(1)＜0，所以由零点定理知，存在η∈(0，1)，使得f(η)＝0，从而有F(η)＝0，F(0)＝0．所以再由Rolle定理得，存在ξ∈(0，η)(0，1)，使得F′(ξ)＝02ξf(ξ)e-ξ－ξ2f(ξ)e-ξ＋ξ2e-ξf′(ξ)＝0知识点解析：暂无解析18、设f(χ，y)在点(0，0)处连续，且＝2，求，并讨论f(χ，y)在(0，0)处是否可微，若可微求出df(χ，y)｜(0，0)．标准答案：当(χ，y)→(0，0)时，－1～χ2＋y2，所以则由f(χ，y)在点(0，0)处的连续性即得f(0，0)＝f(χ，y)＝1，所以同理可得型＝0．又因为所以f(χ，y)在点(0，0)处可微且df(χ，y)｜(0，0)＝0．知识点解析：暂无解析19、计算二重积分dχdy，其中积分区域D是由直线χ＝1，y＝0及曲线y＝在第一象限内围成的区域．标准答案：利用极坐标计算该二重积分：dχdy＝r2drdθ．由于直线χ＝1在极坐标下的方程为r＝secθ，故对r积分时的上下限分别为与secθ．在直线χ＝1与曲线y＝的交点(1，1)处，0的取值为，故0的积分上下限分别为与0．对积分sec3θdθ运用分部积分法，得知识点解析：暂无解析20、已知z＝f()在χ＞0处有连续的二阶导数，且满足＝0，求f(u)的表达式．标准答案：由复合函数求导法则得令＝u即得2uf′(u)＋(u2＋1)f〞(u)＝0．这是一个可降阶的微分方程，令p＝f′(u)得2up＋(u2＋1)＝0，即p，两边积分得即ln(u＋1)＋ln｜C｜＝－ln｜p｜，也即p＝．于是，有f′(u)＝，可知f(u)＝du＋C2＝C1arct