第01讲 集合与常用逻辑用语（原卷版）

第01讲集合与常用逻辑用语（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2024年天津卷，第1题,5分交集的概念与运算2024年天津卷，第2题,5分充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性2023年天津卷，第1题,5分并交补混合运算2023年天津卷，第2题,5分必要条件的判断与性质2022年天津卷，第1题,5分交集的概念及运算、交并补混合运算2022年天津卷，第2题,5分判断命题的充分与必要条件2021年天津卷，第1题,5分并交补混合运算2021年天津卷，第2题,5分判断命题的充分与必要条件2020年天津卷，第1题,5分并交补混合运算2020年天津卷，第2题,5分判断命题的充分与必要条件2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，充分条件与必要条件的判断，能够判断元素与集合、集合与集合的关系，能够判断命题的充分条件与必要条件2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质，会判断充分条件与必要条件3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题，会利用集合间的关系解决充分条件必要条件问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案，一般给出两命题，要求判断两个命题的充分条件与必要条件等。知识讲解知识点一.集合的含义与表示1.集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性2.常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N，表示正整数集，Z表示整数集，0表示有理数集，R表示实数集3.集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a∈M，或者a￠M，两者必居其一。4.集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合②)列举法:把集合中的元素--列举出来，写在大括号内表示集合③描述法:{xlx具有的性质}，其中x为集合的代表元素、④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合5.集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集②含有无限个元素的集合叫做无限集③不含有任何元素的集合叫做空集(Ø)知识点二.集合间的基本关系名称记号意义性质示意图子集A⊆B（或B⊇A)A中的任一元素都属于B(1)A⊆A(2)∅⊆A(3)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C(4)若A⊆B且B⊆A，则A=B或真子集A⊂≠B（或B⊃A⊆B，且B中至少有一元素不属于A（1）∅⊂≠A（A为非空子集）(2)若A⊂集合相等A=BA中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)A⊆B(2)B⊆A知识点三.子集与元素之间的关系已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2n个子集，它有2n−1个真子集，它有2知识点四.集合的基本运算集合的并交补运算：；；2.集合的包含关系:；；3.识记重要结论：A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔A⊇B;CUA∪B知识点五.命题、充分条件、必要条件与充要条件1、命题:可以判断真假的语句叫命题。逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。简单命题:不含逻辑联结词的命题。复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题常用小写的拉丁字母p，q，r，s，.表示命题2、充分条件、必要条件与充要条件(1)、一般地，如果已知p⟹q，那么就说:p是q的充分条件，q是p的必要条件;若p⟺q，则p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论g之间的关系3、从逻辑推理关系上看:①若p⟹q，则p是q充分条件，q是p的必要条件;②若p⟹q，但q⇏p，则p是q充分而不必要条件:③若p⇏q，但q⟹p，则p是q必要而不充分条件;④若p⟹q且q⟹p，则p是q的充要条件;⑤若p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件,4、从集合与集合之间的关系上看:已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}①A⊆B,则p是q充分条件;②若B⊆A,则p是q必要条件;③若A⊂≠④若B⊂≠⑤若A=B，则p是q的充要条件;⑥若A￠B且B￠A，则p是q的既不充分也不必要条件5、全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题(2)存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题p:∀x∈M,p(x)，它的否定¬p:∃xo∈M,¬p(xo).全称命题的否定是特称命题②特称命题p:∃xo∈M,p(xo),它的否定¬p:∀x∈M,¬p(x).特称命题的否定是全称命题考点一、元素与集合的关系1.（2022·全国·高考真题）设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UA．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M2.（2024·四川·模拟预测）已知全集U=−2,−1,0,1,2A．−1∈A,−1∉B B．2∈A,2∈BC．−2∉A,−2∉B D．0∉A,0∉B1.（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知A=xmx+1mx−1A．−12≤m<12 B．−12≤m≤122.（2024·河南信阳·模拟预测）已知非空集合A=xA．0,1 B．−C．−∞,0∪3.（2024·北京·三模）已知集合A=xlnx<1，若a∉AA．1e B．1 C．2 4.(2023·北京房山·二模）设集合A={(x,y)|x−y≥0,ax+y≥2,x−ay≤2}，则（

）A．当a=1 时，(1,1)∉A B．对任意实数a，C．当a<0时，(1,1)∉A D．对任意实数a，(1,1)∉A5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知集合A={x∣x>aa−1}，0∈A，则a的取值范围是6.（23-24高三上·上海普陀·期末）已知0∈2,x2−1，则实数考点二、集合中元素的特征1.（2023·全国·高考真题）已知等差数列an的公差为2π3，集合S=cosanA．－1 B．−12 C．0 2.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知集合A=0,1,a2,B=1,0,2a+3A．−1或3 B．0 C．3 D．−31.（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合A=1,3,a2，集合B=1,2+a，若A∪B=A，则2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合y|y=6A．2 B．4 C．6 D．83.（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成a,ba,1，又可表示成a2,a+b,0考点三、集合的基本关系1.（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合A={−3,0,3}和B=x|xA．A=B B．A⊇B C．A⊆B D．A∩B=∅2.（2024·辽宁·三模）若全集U=R，A=xx<2A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁UA1.（2024·重庆·三模）已知集合A={x|x2−1=0}，集合B=a+1,a−1,3，若A．−1 B．0 C．1 D．22.（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合A={x|bx=a,a,b∈R},B={b,3.（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知集合A=x∣x2−3x<0,B={x∣−2<x<2},C={x∣x<a}，且A∩B考点四、子集个数问题1.（2024·安徽·模拟预测）已知集合A=x∈N2A．4 B．7 C．8 D．162.（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知集合A=0,1,2,3，B=xy=A．4 B．8 C．15 D．161.（2024·安徽安庆·二模）若集合P=x∣−2≤x<m−m2,x∈Z，当A．8 B．7 C．6 D．42.（2024·湖北武汉·模拟预测）设集合A=eln2,lnA．2 B．4 C．8 D．163.（2024·福建泉州·模拟预测）设集合M=x∈Zx−2A．16 B．15 C．14 D．134、（2024·天津和平·一模）已知集合A=x∈N−2≤x<2A．1 B．2 C．3 D．4考点五、集合的并交补运算1.（2023·天津·高考真题）已知集合U=1,2,3,4,5,A=1,3A．1,3,5 B．1,3 C．1,2,4 D．1,2,4,52.（2024·天津·高考真题）集合A=1,2,3,4，B=2,3,4,5，则A．1,2,3,4 B．2,3,4 C．2,4 D．11.（2024·北京·高考真题）已知集合M={x|−3<x<1}，N={x|−1A．x−1≤x<1 B．C．x|−3<x<4 D．x2.（2024·全国·高考真题）已知集合A=x∣−5<x3A．{−1,0} B．{2,3} C．{−3,−1,0} D．{−1,0,2}3.（2024·全国·高考真题）已知集合A=1,2,3,4,5,9,B=xA．1,4,9 B．3,4,9 C．1,2,3 D．2,3,54.（2024·全国·高考真题）若集合A=1,2,3,4,5,9，B=xx+1∈AA．1,3,4 B．2,3,4 C．1,2,3,4 D．0,1,2,3,4,95.（2023·全国·高考真题）设全集U=Z,集合M={x∣x=3k+1,k∈Z},N={x∣x=3k+2,k∈Z}，∁A．{x|x=3k,k∈Z} B．{x∣x=3k−1,k∈Z}C．{x∣x=3k−2,k∈Z} D．∅6.（2023·全国·高考真题）设集合U=R，集合M=xx<1，N=xA．∁UM∪N C．∁UM∩N 7.（2023·全国·高考真题）设全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,4,N=A．2,3,5 B．1,3,4 C．1,2,4,5 D．2,3,4,5考点六、Venn图的运用1.（2024·湖南邵阳·三模）已知全集U=R，集合A=x−1≤x≤2，A．x−1≤x≤6 B．xx<−1 C．xx>6 D．2.（2024·湖北黄冈·二模）已知集合A=x∈N∣A．0,1 B．3 C．1,2 D．1,2,31.（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（

）A．∁UA∪B B．A∪∁UB 2.（2024·山西·三模）已知集合A，B均为集合U的子集，则∁UA．① B．② C．③ D．④3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若A=x∈Zx2−3x−4<0，A．−1,0,3 B．−2,−1,2C．−2,−1,2,3 D．−2,−1,34.（2024·广西柳州·三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（

）A．70% B．60% C．50% D．40%5.（2023·四川南充·一模）已知全集U=R，集合A=xlogA．

B．

C．

D．

考点七、充分条件与必要条件1.（2024·天津·高考真题）设a,b∈R，则“a3=bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.（2022·天津·高考真题）“x为整数”是“2x+1为整数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要1.（2024·全国·高考真题）设向量a=A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x=−3”是“C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x=−1+32.（2023·北京·高考真题）若xy≠0，则“x+y=0”是“yxA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.（2023·全国·高考真题）设甲：sin2α+sinA．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4.（2023·天津·高考真题）已知a,b∈R，“a2=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件5.（2023·全国·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，设甲：anA．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6.（2024·天津·模拟预测）已知p:x2+2x−3<0，q:x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点八、全称量词命题与存在量词命题、1.（2024·全国·高考真题）已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题2.（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（

）A．1>0且3>4 B．1>2或4>5C．∃x∈R，cosx>1 D．∀x∈R，1.（22-23高三上·天津滨海新·期中）若命题“∀x∈R，m≥sinx+2.（2022高三上·河南·专题练习）已知命题p:∀x∈R，ex+1+eA．真，¬p:∀x∈R，ex+1+e3−x<2C．真，¬p:∃x∈R，ex+1+e3−x<23.（22-23高三上·北京东城·开学考试）使得命题“∀x∈RA．(−3,0) B．(−3,0]C．(−3,1) D．(3,+4.（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题p:∀x∈−1,0,a≤12x−5x5.（2024·四川凉山·二模）已知命题“∀x∈R，sinA．−2,+∞ B．−2,+∞ C．−∞1．（2024·甘肃兰州·三模）设集合A={0,1,2},B={3,m}，若A∩B={2}，则A∪B=（

）A．{0,1,2,3} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{2,3}2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题p:∀x>0，A．∀x>0，x2C．∃x0>03．（2024·山东青岛·三模）已知命题p:∀x∈0,π2A．∃x∉0,π2C．∃x∉0,π24．（2024·江苏苏州·三模）已知集合A={x∣sinx>0},B={x||x−3∣<1}，则A．{x∣2<x<π} C．{x∣0<x<π} 5．（2024·安徽·三模）已知集合A=x−5≤x≤1，

A．x−2≤x≤1 B．C．x−5≤x≤−2 D．6．（23-24高三下·湖南岳阳·期中）已知集合A=xx>4，B＝A．4,6 B．4,7 C．4,5,6,7 D．5,67．（2024·河南·模拟预测）已知集合A=0,1,2，B=x∈ZA．0,1 B．−1,0,2 C．1,2 D．−1,1,21．（2025·甘肃张掖·模拟预测）设Sn为数列an的前n项和，q≠0,a1≠0，则“1−qSA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知非空集合A={xx<a},B=x1A．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．3．（2024·甘肃兰州·三模）已知a，b均为正实数，则“1a>1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合A=0,a2,B=1,a+1,a−1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024·湖南邵阳·三模）“0<a<1”是“函数fx=ax−a（a>0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要