数学数列多选题知识点及练习题含答案

数学数列多选题知识点及练习题含答案一、数列多选题1．设数列的前项和为，若存在实数，使得对任意，都有，则称数列为“数列”.则以下结论正确的是（）A．若是等差数列，且，公差，则数列是“数列”B．若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”C．若，则数列是“数列”D．若，则数列是“数列【答案】BC【分析】写出等差数列的前项和结合“数列”的定义判断A；写出等比数列的前项和结合“数列”的定义判断B；利用裂项相消法求和判断C；当无限增大时，也无限增大判断D．【详解】在A中，若是等差数列，且，公差，则，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故A错误.在B中，因为是等比数列，且公比满足，所以，所以数列是“数列”，故B正确.在C中，因为，所以.所以数列是“数列”，故C正确.在D中，因为，所以，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．已知数列均为递增数列，的前n项和为的前n项和为且满足，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出范围；求出数列的前2n项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案.【详解】因为数列为递增数列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故A正确；因为为递增数列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故B正确；的前2n项和为=，因为，则，所以，则的2n项和为=，当n=1时，，所以，故D错误；当时假设当n=k时，，即，则当n=k+1时，所以对于任意，都有，即，故C正确故选：ABC【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（）A．－4 B．－2 C．0 D．2【答案】AB【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立，对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.4．（多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（）A．B．C．对任意正数，都存在正整数使得成立D．【答案】ABCD【分析】对于A，结合二次函数的特点可确定正误；对于B，将原式化简为，由得到结果；对于C，结合范围和A中结论可确定，由此判断得到结果；对于D，利用数学归纳法可证得结论.【详解】对于A，，若，则，又，可知，，又，，A正确；对于B，由已知得：，，B正确；对于C，由及A中结论得：，，，显然对任意的正数，在在正整数，使得，此时成立，C正确；对于D，（i）当时，由已知知：成立，（ii）假设当时，成立，则，又，即，，综上所述：当时，，D正确.故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.5．已知数列，满足，，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的有（）A．， B．，C．， D．，【答案】BD【分析】用累加法得到，代入，得，代入求出m可判断A；代入求最值可判断B；令解出m可判断C；裂项相消后可求出的范围可判断D.【详解】因为，所以以上各式累加得，所以，当时，成立，所以，由，得，对于A，，，当时，，得，A错误；对于B，，当且仅当取等号，因为，所以时，，所以B正确；对于C，令得，，解得，所以C错误；对于D，，，可以看出是关于递增的，所以时有最小值，所以，D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出，然后代入求出，考查了学生的推理能力、计算能力.6．在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【分析】计算可得，故选项正确；，，所以数列是等比数列，故选项正确；，所以数列是公差为的等差数列，故选项错误.【详解】为递增的等比数列，由得解得或∵为递增数列，∴∴，，故选项正确；∴，，∴，，∴数列是等比数列，故选项正确；所以,则，故选项正确.又，∴数列是公差为的等差数列，故选项错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：（1）定义法；（2）通项公式法（3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.7．斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即，记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】选项A分别求出可判断，选项B由，得，相加得可判断,选项C，由，，两式错位相减可判断.选项D.由可判断.【详解】因为，，所以，则A正确；由，得，相加得，所以，所以B正确；因为，，两式错位相减可得，所以，所以C错误；因为，所以，所以D错误.故选：AB.【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由，，两式错位相减可得，以及由递推关系可得，属于中档题.8．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C．数列中 D．数列的前项和为【答案】BCD【分析】由已知可得，结合等比数列的定义可判断B；可得，结合和的关系可求出的通项公式，即可判断A；由的通项公式，可判断C；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前项和公式即可判断D.【详解】因为，所以．又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；所以，则．当时，，但，故A错误；由当时，可得，故C正确；因为，所以所以数列的前项和为，故D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由可有目的性的构造为，进而得到，说明数列是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,二、平面向量多选题9．已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确；对于B选项，，由于为三等分点靠近点的点，，所以，故正确；对于C选项，，故C错误；对于D选项，，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.10．下列说法中错误的为A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．若，则在方向上的正射影的数量为D．三个不共线的向量，，，满足，则是的内心【答案】AC【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B，由，可知，不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C，利用向量投影的定义即可判断；对于D，由，点在角的平分线上，同理，点在角的平分线上，点在角的平分线上，进而得出点是的内心.【详解】对于A，已知，，且与的夹角为锐角，可得，且与不共线，，即有，且，解得且，则实数的取值范围是且，故A不正确；对于B，向量，，，，向量，不能作为平面内所