新高考数学二轮复习巩固练习04 数列的综合问题（解析版）

微专题04数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题【秒杀总结】1、数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.2、函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.3、证明数列SKIPIF1<0单调性的方法：根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系判断出数列的单调性（当SKIPIF1<0恒为正或者负时，可以考虑利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系判断数列单调性）.4、当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正确.比如求SKIPIF1<0，可以令SKIPIF1<0，将选项中的所有数字用SKIPIF1<0来表示，然后通过SKIPIF1<0来验证哪个选项正确.如果题目问的是SKIPIF1<0之类的偶数年份，最好是通过SKIPIF1<0这样的偶数项来验证.【典型例题】例1．（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为自然对数的底数），且对任意的SKIPIF1<0都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0须满足（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增.故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（当且仅当时SKIPIF1<0取等号）.故SKIPIF1<0（当且仅当时SKIPIF1<0取等号）.即SKIPIF1<0.要使对任意的SKIPIF1<0都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，显然SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，一定能满足题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，如图此时不满足题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，如图此时满足题意；综上，SKIPIF1<0.故选：C例2．（2023•新蔡县月考）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前60项和等于SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．1830 B．1820 C．1810 D．1800【解析】解：由SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0的前60项和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．例3．（2023•江苏模拟）若单调递增数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是．【解析】解：SKIPIF1<0单调递增数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由条件可以得出SKIPIF1<0，也就是隔3项成等差数列，公差为3．SKIPIF1<0只要保证SKIPIF1<0就可以保证整个数列单调递增．单调递增数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．例4．（广东省实验中学2023届高三考前热身训练数学试题）已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，平面内三个不共线的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一直线上，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期数列，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.例5．（江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的最大值为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0为变形为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是等比数列，首项为2，公比为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当n为奇数时，SKIPIF1<0恒成立，等价于SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当n为偶数时，SKIPIF1<0恒成立，等价于SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.例6．（江西省临川二中、临川二中实验学校2023届高三第二次模拟考试文科数学试题）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若对一切正整数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则满足条件的最小整数SKIPIF1<0为______.【答案】2020【解析】解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，等式两边同除SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，1为公差的等差数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0对一切正整数SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对一切正整数SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。所以满足条件的最小整数SKIPIF1<0为2020.故答案为：2020【过关测试】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．180 D．240【答案】D【解析】当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D2．（2023·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】令SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若对任意的正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则满足等式SKIPIF1<0的所有正整数SKIPIF1<0为（

）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4【答案】A【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，相减可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为3的等比数列，所以SKIPIF1<0．对任意正整数n，都有SKIPIF1<0成立，得SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0②，②－①×3得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，以下证明SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，综上可得，满足等式SKIPIF1<0的所有正整数SKIPIF1<0的取值为1或3．故选：A．4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为不大于x的最大整数.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有且仅有4个不同的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则m一共有（

）个不同的取值.A．120 B．126 C．210 D．252【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不全为0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0则，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，同理可以证明SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为有且仅有4个不同的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0中有且仅有4个变量取值为1，其余变量取值为0，又从SKIPIF1<0中任选4个变量有SKIPIF1<0种取法，故满足条件的SKIPIF1<0的个数为SKIPIF1<0，即210个，故选：C.5．（2023·北京朝阳·高三统考期末）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若存在常数c，对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则正数k的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0满足上式，故SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0趋近于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0趋近于SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0没有最大值，故不满足题意，舍去；所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可证对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，由题知，若存在常数c，对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0，以下进行证明：存在常数SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，结论成立假设SKIPIF1<0时结论成立，即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则存在常数SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立故正数k的最大值为SKIPIF1<0.故选：B.6．（2023·湖南长沙·统考一模）裴波那契数列SKIPIF1<0，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．卢卡斯数列SKIPIF1<0是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0为等比数列 B．数列SKIPIF1<0为等比数列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0不是等比数列，A错误；则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0不为等比数列，B错误；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等比数列，首项为2，公比为3，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上20个式子相加得：SKIPIF1<0，C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相加得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符和该式，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相加得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符号该式，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0，D正确.故选：D8．（2023·山西太原·高三统考期末）如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设SKIPIF1<0表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（

）234567…35791112…4710131619…5913172125…6111212631…71319253137……A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示第3行第18个数字，由数阵可知：第3行是以4为首项，以3为公差的等差数列，则第18个数字为SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示第6行第8个数字，由数阵可知：第6行是以7为首项，以6为公差的等差数列，则第8个数字为SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示第7行第7个数字，由数阵可知：第7行是以8为首项，以7为公差的等差数列，则第7个数字为SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示第12行第4个数字，由数阵可知：第12行是以13为首项，以12为公差的等差数列，则第4个数字为SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0正确，故选：SKIPIF1<0.9．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，设其公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B.二、多选题10．（2023·湖北·校联考模拟预测）数列SKIPIF1<0各项均为正数，其前n项和SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，下列四个结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0为等比数列 B．SKIPIF1<0为递减数列C．SKIPIF1<0中存在大于3的项 D．SKIPIF1<0中存在小于SKIPIF1<0的项【答案】BD【解析】对于A：假设数列SKIPIF1<0为等比数列，设其公比为q，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不合乎题意，故数列SKIPIF1<0不是等比数列，故A错；对于B：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为递减数列，故B对；对于C：由题意可知，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由B知数列SKIPIF1<0为递减数列，故C错；对于D：因为数列SKIPIF1<0各项均为正数，其前n项和SKIPIF1<0，所以随着n的增大，SKIPIF1<0递增.而SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0递减，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中必存在小于SKIPIF1<0的项故选：BD.11．（2023·全国·高三专题练习）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“差半递增”数列，则（

）A．正项递增数列均为“差半递增”数列B．若数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为“差半递增”数列C．若数列SKIPIF1<0为公差大于0的等差数列，则数列SKIPIF1<0为“差半递增”数列D．若数列SKIPIF1<0为“差半递增”数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】对于A，假设一个正项递增数列为：1,4,5，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不满足“差半递增”数列，A错误；对于B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，所以数列SKIPIF1<0为“差半递增”数列，B正确；对于C，设公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为“差半递增”数列，C正确；对于D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，公差为1，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0有最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D正确；故选:BCD.12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）以下为自然数从小到大依次排成的数阵：123456789101112131415SKIPIF1<0第n行有SKIPIF1<0个数，则（

）A．该数阵第n行第一个数为SKIPIF1<0B．该数阵第n行最后一个数为SKIPIF1<0C．该数阵前n行共有SKIPIF1<0个数D．该数阵前n行所有数的和为SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】对于A，该数阵每行第一个数分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…，归纳可得数阵第SKIPIF1<0行第一个数为SKIPIF1<0，故A正确；对于B，由A知，第SKIPIF1<0行的第一个数为SKIPIF1<0，故第SKIPIF1<0行的最后一个数为SKIPIF1<0，故B正确；对于C，数阵前SKIPIF1<0行共有SKIPIF1<0个数，故C正确；对于D，数列前SKIPIF1<0行总和为SKIPIF1<0，故D不正确故选：ABC13．（2023·山东德州·高三统考期末）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．数列SKIPIF1<0为等差数列 D．SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对于A选项，SKIPIF1<0，A对；对于B选项，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，对任意的SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，上述两个等式作差可得SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0中的奇数项成以SKIPIF1<0为首项，公差为SKIPIF1<0的等差数列，数列SKIPIF1<0中的偶数项成以SKIPIF1<0为首项，公差为SKIPIF1<0的等差数列，当SKIPIF1<0为奇数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0，B对；对于C选项，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0不是等差数列，C错；对于D选项，当SKIPIF1<0为奇数时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D对.故选：ABD.14．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则下列叙述正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，归纳可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选项A正确；SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选项D正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选项C错误；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选项B正确；故选：ABD.15．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】对于A:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0若SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递增.所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,同理得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0单调递减.则SKIPIF1<0,所以选项A正确.对于B：由前面得SKIPIF1<0．下面证明SKIPIF1<0．只需证明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0成立．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以选项B错误；对于C：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以函数SKIPIF1<0单调递减，所以随着SKIPIF1<0减小，从而SKIPIF1<0增大．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以C错误．对于D：一般地，证明：SKIPIF1<0．只需证明SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0成立．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以D正确．故选：SKIPIF1<0.三、填空题16．（2023·山西太原·高三统考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名的成果有110个.设SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，则SKIPIF1<0称为高斯函数，若用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的非负纯小数，如SKIPIF1<0，已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可得到规律：当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.17．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设SKIPIF1<0是一个“0，1数列”，定义数列SKIPIF1<0：数列SKIPIF1<0中每个0都变为“1，0，1”，SKIPIF1<0中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列SKIPIF1<0：1，0，则数列SKIPIF1<0：0，1，0，1，0，1.已知数列SKIPIF1<0：1，0，1，0，1，记数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，3，…，则数列SKIPIF1<0的所有项之和为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意，可知经过一次变换SKIPIF1<0，每个1变成3项，其中2个0，1个1；每个0变成3项，其中2个1，1个0，因为数列SKIPIF1<0：1，0，1，0，1，共有5项，3个1，2个0，所以SKIPIF1<0有SKIPIF1<0项，3个1变为6个0，3个1；2个0变为4个1，2个0；故数列SKIPIF1<0中有7个1，8个0；SKIPIF1<0有SKIPIF1<0项，7个1变为14个0，7个1；8个0变为16个1，8个0；故数列SKIPIF1<0中有23个1，22个0；SKIPIF1<0有SKIPIF1<0项，23个1变为46个0，23个1；22个0变为44个1，22个0；故数列SKIPIF1<0中有67个1，68个0；所以数列SKIPIF1<0的所有项之和为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其首项SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0是单调递增数列，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，不等式无解；又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0；又因为SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0利用对勾函数性质可知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上满足SKIPIF1<0恒成立，所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<019．（2023·全国·高三对口高考）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为SKIPIF1<0的长方形纸，对折1次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两种规格的图形，它们的面积之和SKIPIF1<0，对折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种规格的图形，它们的面积之和SKIPIF1<0，以此类推，对折SKIPIF1<0次，那么SKIPIF1<0________SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由对折2次共可以得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种规格的图形，所以对着三次的结果有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，共4种不同规格（单位SKIPIF1<0）；故对折4次可得到如下规格：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共5种不同规格；由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为SKIPIF1<0的等比数列，首项为SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0次对折共有SKIPIF1<0种规格，其面积均为SKIPIF1<0，则对于第SKIPIF1<0次对折后的图形的面积之和SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式作差得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．20．（2023·上海·高三专题练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是SKIPIF1<0，接下来的两项是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再接下来的三项是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：SKIPIF1<0且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______．【答案】440【解析】由题意可知：第一项SKIPIF1<0，第二项SKIPIF1<0，第三项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0项SKIPIF1<0，根据等比数列前SKIPIF1<0项和公式，求得每项和分别为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，每项含有的项数为：1，2，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，总共的项数为SKIPIF1<0，所有项数的和为SKIPIF1<0，由题意可知：SKIPIF1<0为2的整数幂，只需将SKIPIF1<0消去即可，则①SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，总共有SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，总共有SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，总共有SKIPIF1<0，不满足SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，总共有SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0该款软件的激活码440．故答案为：440.21．（202