江西省赣州市2025届高三数学上学期期末考试试题理

PAGEPAGE12江西省赣州市2025届高三数学上学期期末考试试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为A. B. C. D.2.已知函数，集合，（其中是的导数），则A. B. C. D.3.已知函数，则A.1 B.2 C. D.34.某产品在某零售摊位上的零售价（元）与每天的销售量（个）统计如下表：16171819503431据上表可得回来直线方程为，则上表中的的值为A.38 B.39 C.40 D.415.已知双曲线的离心率为，则实数的值为A.1 B. C. D.1或6.有以下四种变换方式：①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；②向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；④再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；其中能将函数的图像变为函数图像的是A.①③ B.②③ C.①④ D.②④7.实数，满意约束条件，则的最大值为A. B. C. D.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为A.5 B. C. D.9.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为A. B. C. D.10.若，，，其中为自然对数的底数，则A. B.C. D.11.已知梯形的上底长为1，下底长为4，对角线长为，长为，则的面积为A.1 B.2 C.3 D.412.过抛物线的焦点作两条相互垂直的弦，，且，则的值为A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则___________.14.在的绽开式中，的系数为__________________（用数字作答）.15.正方形的边长为2，以为起点作射线交边于点，则的概率为________________.16.在边长为1的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，半径分别为，，则的最小值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，满意，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面，平面平面.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分竞赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜.竞赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（2）假如乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）过平面上点作直线，的平行线分别交轴于点，且.（1）求点的轨迹方程；（2）若过点的直线与轨迹交于，两点，若，求直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）求函数的最小值；（2）求证：.（二）选考题请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，已知过点的直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线和曲线交于，两点，且，求实数的值.23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]设函数，.（1）若，解不等式：（2）假如随意，都存在，使得，求实数的取值范围.赣州市2024~2025学年度第一学期期末考试高三理科数学参考答案一.选择题题号123456789101112答案CCADDADCBAAB10.解：因为函数在上单调递增，所以；在单调递减，故，即，从而得，故.11.解：如图，过作，连接，则，所以，故.12.解：的焦点为，设的直线方程为，的直线方程为，由得，设，，则，，则，同理，，故.二.填空题13.2； 14.； 15.； 16..16.解：由已知得，，故最小值为.三.解答题17.解：（1）因为数列为等差数列，设其公差为，结合，，…………2分解得：……………………4分所以………………6分（2）………………8分………………10分所以………………12分18.（1）证明：分别取，的中点，，连结，，……1分因为，均为全等的等边三角形，故，且…………2分又因为平面平面且交于，平面平面且交于，故面，面………………3分从而有，又，进而得四边形为平行四边形………………4分得：，又……………………5分即：……………………6分（2）解：连结，由为等边三角形，故，结合面，故分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系………………7分又，所以，，则，，，，所以，，…………8分令平面的一个法向量为，所以取，，，所以平面的一个法向量为………………9分令平面的一个法向量为，所以，取，，，所以平面的一个法向量为………………10分令二面角为，由题意可知为锐角，则………………12分方法二：连结，过作，垂足为，过作，交于，则为二面角的平面角为因为平面平面，，，均为全等的等边三角形，∴，因为，所以，在中，，，由等面积法得，则，在和中，由得，在和中，由得，在中，二面角的余弦值为.19.解：（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事务，因为球的总分为16，即事务指的是甲的得分大于等于8………………1分则………………4分（2）假如乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分状况有：6分、7分、8分、9分、10分、11分等……………………5分…………………………6分……………………7分……………………8分………………9分………………10分……………………11分所以的分布列为：67891011所以的数学期望………………12分20.解：（1）设，明显不为原点，由题设，令，得…………1分再由，令，得…………2分又，即化简整理得：…………4分所以点的轨迹方程………………5分（2）由题设知直线的斜率明显存在，故设其方程为，，……………………7分则，……………………8分从而…………9分又……10分所以…………11分故直线的方程为……………………12分21.解：（1）因为，所以…………1分当时，，单调递减…………2分当时，，单调递增…………3分所以…………4分（2）证明：要证，只需证明：对于恒成立，令，则……5分当时，，则在上为增函数…………6分又因为，…………7分所以存在使得由得即即即………………9分所以当时，，单调递减当时，，单调递增……10分所以，令，则……………………11分所以在上单调递增，所以，所以，所以，即…………12分22.解：（1）由得即……2分由得则曲线的直角坐标方程为，即………………4分（2）把代入，得………………5分由得………………6分设点，对应的参数分别为，，则……7分因为，所以……8分当时，且（舍）当时，所以综上…………………………10分（2）方法二由得……………………5分由得………………6分设点，，则，…………7分因为，所以所以………………8分当时，且（舍）当时，综上………………10分23.解：（1）当时，…………2分∵，当时，，∴………