量子力学考试试卷

2011—2012学年第二学期

《量子物理学》课程考试试卷（A卷）

专业：应物年级：09级考试方式：闭卷学分：4考试时间：110分钟

曲

浙

总阅

题

-1:四五六分卷

g

人

.雀

郢

.分

.

.

.题（每空2分，总分20分）

.

.1.根据德布罗意关系式，微观粒子都具有波粒二象性。其表示式为

S.

.——；鼠----------------

.3

.

_|2.粒子所带电荷为q,则其电荷流密度的公式表示为：Jq=

苞

.

.

.

.

.3.粒子的坐标与动量的对易关系为：［£,力」=

^.

.

阳.

.4.属于角动量平方算符2的本征值为：匕=

.

艇

.

.5.电子自旋算符的矩阵表示：$=

.

.

.

.

6.粒子数算符府=6%,^和。分别为产生算符和湮灭算符。在以1〃〉为基矢的占

£.

.

.有数表象中，有户________________

.

.

.

7.氢原子的状态波函数巴而来描述，其中的m为_______________量子数。

8.已知幺正变换矩阵S,则ss'=.

9.势垒贯穿效应中粒子的透射系数为D,则反射系数的表达式为：R

前简答题（每个5分，共计20分）

E分|1.波函数的统计解释

2.量子力学中守恒量概念，定态概念与它们的区别

3.电子自旋概念和自旋角动量的本征值

4.全同粒子的概念和全同性原理的涵义

得|三.证明题（10分）

厄米算符片的本征值为4,请证明2必为实数

）

（15分

算题

.计

四

<0

oo,x

中

能

粒子的

：（1）

，求

运动

«a中

,O<x

=<O

U（x）

势场

一维

子在

外一粒

a

co,x>

。

”（X）

函数

化波

归一

应的

2）相

级；（

.

S

<

轮

分）

题（15

计算

五.

粒子

此时

）,求

cos乙

v+；

n2fc

A（si

（x）=

为〃

状态

子的

0时粒

设f=

九

动能

）平均

；（2

量万

均动

1）平

的：（

(摄

怅，

)

螟

海

照

都

y

td

%

得六.计算题（20分）

分010

h

已知在和的共同表象中，算符乙矩阵表示为：L101

zaX正

010

求它们的本征值和归一化的本征函数。

2011—2012学年第二学期《量子物理学》

课程考试试卷（A卷）参考答案及评分标准

一、填空题（每空2分，共计20分）

1.如或力①;力左或〃/4

2.J=_/▽w）

2m

3.ih

4./（/+1）%2

打or

5.一

2|_10

6.

7.磁

8.1或/（I是单位矩阵）

9.1-D

二、简答题（20分）

1.答：量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数来描述，波函数的时空变化

规律由薛定四方程表示。波函数的统计统计解释为：物质波或薛定谡方程中所描

述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理量在空间分布的波动，只不过是刻

画粒子在空间的概率分布的概率波。因此，波函数”（r）也称为几率波幅。根据

波函数的统计解释，粒子在空间各点的概率之和为1,即：=称

为波函数的归一化条件。

2.答：定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征态。在定态下，切力学量

（不显含3但不管是不是守恒量）的平均值和测值概率都不随时间改变。守恒

量是指在任何态下，也即一切状态下（不管是否定态），力学量片的期望值与

测值概率不随时间变化。

3.答：电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性，所以也称为内禀角动量

与内禀磁矩。其性质类似于轨道角动量与轨道磁矩，自旋可以与之相互耦合。自

B卷第1页共4页

旋角动量s在空_间任何方向的投影只能取两个数值，=±tl4。

z2

4.答：将质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。全

同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改

变，它是量子力学的基本原理之一。全同粒子系的任何可观测量对于两个粒子交

换都是对称不变的。

三、证明题（10分）

证明：/I表示厄米算符户的本征值，设科表示其所属的本征函数，根据本征方

程：

Fl//-入w

上式左乘炉并对全空间积分得：入=W户wdT

取4的复共飘得：A：=（5

分）

由于算符户为厄米算符，因此由=户，代入上式中可得：

A"=Jw向w*di=声W*dt=^y/Fi/zdr=A

厄米算符户的本征值/l等于；l*,说明4为实数。（5

分）

定理得证。

四、计算题（15分）

解：（1）在势阱内部（0<x<a）,定态薛定丹方程为:

d22mE,、

江+卞甲=。

半,上面的方程化为："'+公犷=0

m为粒子质量。令k（5分）

方程的通解可以表示为：沙（x）=Asin（丘+S）：A与6为待定积分常数。因为

势垒无限高，从物理上考虑，粒子不能透过井壁。按照波函数的统计诠释，要求

B卷第2页共4页

在阱壁上及阱壁外波函数为0,特别是：

什（0）=0与材9）=0,此即为波函数的连续性条件。

将条件带入通解条件中得：sin5=0和sin（ka+3）=0

解得6=0与»，“=1,2,3,…

bmE7-2

将％=Jr-代入履=得到：E=E“==W，”=1,2,3,…（5

Vh22ma-

分）

（2）对应与能级纥的波函数记为：匕（x）

2

匕（x）=4sin（"与，利用归一化条件：「|〃（x）「dx=l

可得：归一化常数A=「；则得到归一化的波函数为：

,、（2.nnx

〃“（x）=\—sin（——）（5

Vaa

分）

五、计算题（15分）

解：利用三角函数公式：sin区=!©"一/湫），cos丘=,©心+"派）

2i2

2i2kx

可得到：/（X）=A（sinfcc+|cosfcr）=?侬必-e-e-^'+2e°）=

A1-1j」%-15-1>,1i

—（21方）2［（2左方）2eh+（2力力）28-（2万力）2eh-（2万方）2e+2（2万力）1eh

4

（5

分）

表明粒子所处的状态实际上是由5个平面波线性叠加而成的叠加态，根据态迭加

原理，此时粒子动量有5个可能取值，它们的取值及相应的几率分别是：

B卷第3页共4页

叫猫2

“==T«

2

a「2〃■力啜呼

=hk

Pl卬2=4

Pl=-hk

=郛/(5

P3=卬3=--yjljrti

4

Pa=-2M

叫"2

.P5=0w=----y127rh

44

叼=

分）

由此可得粒子动量与动能的平均值分别为：

55

i=\i=l

_T7555-%2同2_5新力2

7=茄=""29匕(5

8m|A|28加

分）

六、计算题（20分）

解：在2和乙的共同表象中，乙的本征方程为：=.0

'010'飞一

写成矩阵的形式有：正

101。2=4。2(5

010-3__，3_

分）

力

-Z0

正

h力

相应的久期方程为：=0；解得本征值丸=九0,-力。(5

正-A正

tl

0-2

正

B卷第4页共4页

分）

将每一个本征值带回到矩阵形式的算符本征方程中可得到相应的本征矢。

当义=力时:

料

可以得出：q=C3，。2=应。3。于是得到与本征值力相对应的乙的本征矢为:

1

3=方〉=>加

1

1

将上式归一化得，3=g即得：也=力〉n；

加(5

1

岩

分）

郑

2

同理可解得:|4=°〉n0

2

-五

1

乐1

词=>—(5

14=2

1

分）

2011—2012学年第二学期

《量子物理学》课程考试试卷（B卷）

专业：应物年级：09级考试方式：闭卷学分：4考试时间：110分钟

z-x

希

盘

随

想

料

卷第

页

上

B5/14页

、

-aK

%

得填空题(每空2分，总分20分)

分1.6t为产生算符、6为湮灭算符、1〃〉为占有数表象的基矢，则

aIn)=

总阅

题

一二四六分;卷

号5

人

雀a\n)-

分

2.一维线性谐振子的分立谱能量本征值为E=

3.坐标与动量的对易关系为：［必,可=

4.角动量的z分量算-符=-清d二的本征值为：_________________

d(p

5.电子自旋算符的矩阵表示：.$=

6.算符户为厄米算符，则其转置算符方=

7.氢原子的状态波函数力，加来描述，其中的n为______________量子数。

8.己知幺正变换矩阵S,则s's=..

9.一维线性谐振子的能量本征函数为”“(x),空间反演后的波函数”“(-X)与

B卷第6页共4页

（X）的关系式为：i//n（-x）=

二.简答题（每个5分，共计20分）

1.态迭加原理

2.量子力学中的不确定原理的物理意义

3.泡利不相容原理及其物理意义

4.波函数的标准条件及其意义

^"!三.证明题（io分）

E14是厄米算符户的本征值，请证明人必为实数

B卷第7页共4页

M］四.计算题(15分)

分00,y<0

|一粒子在--维势场U(y)=<0,0<y<6中运动，求：(1)粒子的能级;

E<x),y>b

(2)相应的归一化波函数”(y)。

哪

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

赭

五.计算题(15分)

在f=0时粒子的状态波函数为：〃(x)=A(gcos2履+sin?,

S求此时粒子的：(1)平均动量,；(2)平均动能亍。

，

版

)

遽

貂

照

Y料

WB卷第8页共4页

型

六.计算题（20分）

已知在於和.的共同表象中，算符4矩阵表示为：

-0-iC）■

人h

i。求它们的本征值和归一化的本征函数。

B卷第9页共4页

B卷第10页共4页

2011—2012学年第二学期《量子物理学》

课程考试试卷（B卷）参考答案及评分标准

一、填空题（每空2分，共计20分）

1.5AmM+1），4n\n-]^

2.（〃+,）方0,〃=0」,2,3一・・

2

3.-ih

4.mh,m=0,±1,±2,±3,±4,…

力「10'

5.一

2|_0-1

6.F

7.主

8.1或/（I是单位矩阵）

9.（-DV（x）

二、简答题（20分）

1.答：态迭加原理的表示式为：<//-+c2^2d----卜CM=E1cM“。式中

n

C],C2,…,C,为复数。态迭加原理表示如下:当玄，-2,…，心是体系的可能状态

时，他们的线性迭加〃也是体系的一个可能状态；当体系处于态材时，体系部

分地处于态必收,…"“中，相应的概率分别为L「，间2,…,除「。

2.答：当两个算符片和@不对易时，它们不能同时有确定值。如果[户,6]=从

（（为算符或普通的数），根据不确定性原理，其均方偏差与的乘积

（AF）2（AG）2>—,集中反映了量子力学规律的特点。不确定关系给我们指出

4

了使用经典粒子概念的一个限度。这个限度用Planck常量//来表征。当人-0

B卷第1页共4页

时，量子力学将回到经典力学，或者说量子效应可以忽略。

3.答：如果N个单粒子态落内,…，丸中有两个单粒子态相同，则Slater（斯莱

特）行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示不能有两个或两个以上的

费米子处于同•状态，这个结果称为泡利不相容原理。

4.答：波函数在变量变化的全部区域内通常应满足三个条件：单值、有限、连

续。由于粒子出现的概率卬=帆「应是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子

的概率在时刻t、在尸点有唯一确定的值。由于概率密度和概率流密度应当连续,

所以“必须在变量变化的全部区域内是有限的利连续的，并且有连续的微商（在

有限个点上，”和它的微商在保持平方可积的条件下可以趋于无穷大）。波函数

的标准条件对波函数的取值提出了要求，它在解量子力学问题中占有重要地位。

三、证明题（10分）

证明：/I表示厄米算符户的本征值，设科表示其所属的本征函数，根据本征方

程：

Fy/-

上式左乘”并对全空间积分得：九=J”户"dr

取4的复共飘得：汇=J”自*“dr（5

分）

由于算符户为厄米算符，因此户"=1，代入上式中可得：

2,=W"y/"dT==Z

厄米算符户的本征值/t等于万，说明4为实数。（5

分）

定理得证。

四、计算题（15分）

解：（1）在势阱内部（0<y<6）,定态薛定丹方程为:

d22mE

西"+『=。n

B卷第2页共4页

m为粒子质量。令k上面的方程化为：〃"+/〃=()(5分)

方程的通解可以表示为：勿(y)=4sin(6+3)；A与b为待定积分常数。因为

势垒无限高，从物理上考虑，粒子不能透过井壁。按照波函数的统计诠释，要求

在阱壁上及阱壁外波函数为0,特别是：

-(0)=0与=0，此即为波函数的连续性条件。

将条件带入通解条件中得：sinb=0和sin(妨+3)=0

解得5=0与kb=n兀，n=1,2,3,--•

将％=3华代入妨=”乃得到：E=E“=已注，”=1,2,3,…

(5

Vn'2mb~

分)

(2)对应与能级纭的波函数记为：匕(y)

2

〃“(>)=Asin(?^萨),利用归一化条件：£|^(y)|dy=1

可得：归一化常数A=J；则得到归一化的波函数为：

,、2.nnx

^,(y)=Jrsin(--)(5

Vbh

分)

五、计算题(15分)

I11

解：利用三角函数公式：sin—乙=—(e2—e2),cos2kx=-(ei2kx+e~i2kx)

22i2

可得到：

-(x)=A(|cos2kx+sin2g依)=~(e'2kr+e-i2kx-eikx-e-ikx+2e°)=

A1」&-1%,-*i,A--1*-1i,A-

—(2万力尸］(2左方)2eh+(2不力)2eh一(2万力)2ehP-(2万方)2e+2(2万方)2ehP

4

B卷第3页共4页

(5

分）

表明粒子所处的状态实际上是由5个平面波线性叠加而成的叠加态，根据态迭加

原理，此时粒子动量有5个可能取值，它们的取值及相应的几率分别是：

/=2匹

2J2〃■力

Pi=2hk卬2=

4

p2=-2hk

=郛|

p=hk<吗=--yjlTlh(5

34

p4=-hk

乃力141

.P5=0一4J24方

%二

4

4丁27■力

卬5=

2