简单的三角恒等变换教案

5.5.2简单的三角恒等变换

学习目标核心素养

1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角

函数公式导出积化和差、和差化积公式.体会其中的三角1.通过公式的推导，

恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.（重点）培养逻辑推理素养.

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变2.借助三角恒等变换

换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化的简单应用，提升数

简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.（难学运算素养.

点、易错点）

自主预习。H!新加

ZIZHLJYLJXI丁AZXIZNHI

新知初探kl

半角公式

(l)sin^=±

a

(2)cos/=±

"、al—cosa

(3)tan/=±

1+cosa

.a.a八a

sin7smT-zcos^

aLLLsma

(4)tanT=-----=--------------

'/2aaa1+cosa

cosgcosycos.

l-cosa

sma

初试身手H

n

1.已知18（r<a<360。，则cos］的值等于（）

C[V1800<ct<360°,A90°<^<180°,

_a1+cosa

又coso2=2，•e,cosd=一

c3「3兀1

2.已知cosa=§,2兀）则sin5等于（）

A*B.—C.1

A[由题知为©律，J,sin^>0,

3＜则的值等于.

3.已知2兀＜。＜4兀，且sine=—『cos80,tan,

34

—3[由sin6=—亍cos9V0得cos。=一

.0^.03

八八

.6___S1_I17£7__z_s_i_n2^cos2^sm.-

•tan2=-e=~~瓦=l+cos。

cos]2cos2

合作探究。提素养

HEZUQTANJIUTISUYANG

化简求值问题

、卷型ly

【例1]⑴设5兀<。<6兀，cos*a,则sin号等于（）

/Ax..2-D.c

_y[T+a

J2

3兀

(2)已矢口兀<a<g,化简:

1+sina1-sina

y]1+cosa—yj1-cosa1+cos1—cosa

1-cosf

［思路点拨］(1)先确定:的范围，再由sin1=「一得算式求值.

(2)1+cos0=2cos2^,1—cosa=2sin2^,去根号,确定微的范围，化简.

(1)D［•5TI<O<6TI,..井月，3可，片月，司，

I-ckI-.a/-otI-.a

y]2cos/—y]2sm]y]2cos]+yj2sm]

../，囱•.a

•兀＜^。＜^2，・4，••cos2"^。'sin^0,

二.原式=

.a,a.aa

sin^+cos^sm^-cos^

小

「BHPfiIA

1.化简问题中的“三变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手

段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或

统一为切.

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升皋、降

嘉、配方、开方等.

2.利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系.

(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备.

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan；』二就"，涉

乙1-I-cosaJ:suia

力》A，\i、一f人r、»1241e1—cosaM1+cosa、、小

及半角公式的正、余弦值时，常利用sing=2，cos5=2计算.

(4)下结论：结合(2)求值.

n

提醒：已知cosa的值可求5的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号.

Q/□

1.已知cos。=一且180。<。<270。，求tan.

00C\

［解］:V180°<0<270°,.,.90°<2<135°,即］是第二象限角，tan/<0,

法二：•.•180。<。<270。，即。是第三象限角,

,...........—/9^4

sin0=—y]1—cos2^=一^\1~2^=一亍

.01-cos。1-(5)

・'tan2=sin/9=-_4=_2-

-5

三角恒等式的证明

、类型2

【例2】求证：1cos」q=；sin2a.

----a--tanT2

tan]

［思路点拨］法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明;

法二：cos2a不变，直接用二倍角正切公式变形.

[证明]法一：用正弦、余弦公式.

2

L、4cosa

左边二---------

a.a

cos/sm]

.aa

sm2cos/

.aa

cos9asm]cos/

cos2a

cos2-sincos2-sin2

.a

.aa

cos9asm:7cos77

2z.aa

=cosa=sin72cos72cosa

=；sinacosa=；sin2a=右边，

原式成立.

法二：用正切公式.

a-a

cos9~atan5]2tan]]]]

左边=22右

,*=T2cosct-7a=72Tcos«-tana=T2cosasina=74sin2a=

1—tan1—1tan

边，

・•.原式成立.

「战仆仆丛

三角恒等式证明的常用方法

(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；

(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；

(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之

间的差异，简言之，即化异求同；

(4)比较法：设法证明“左边一右边=0"或“左边/右边=1"；

(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已

知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.

2.求证:

_________2sinxcos%___________1+cos%

(sinx+cosx~l)(sinx—cosx+1)sinx,

___________2sinxcosx

［证明］左边=

2sin^cos1-2sin百(2si苣cos楙+2sin]

2sinxcosx

A,2%•

4sinc°s2—sin

sinx

2si若

XQx

cos2o2cos2o1i+cosx，、工

====右.

.xc.%xsinx

sm12smlcos,

所以原等式成立.

恒等变换与三角函数图象性质的综合

、类型3

［例3］已矢口函数段）=Scos（2%一g一2sinXCOSX.

（1）求兀0的最小正周期.

兀兀［

（2）求证：当不w_|时'於）》一亍

[角星](l)/(x)=#cos[2x—9一2sinxcosx=?cos2x+/sin2x—sin2x=/sin2x

+坐cos2x=sin(2x+§,所以7=夸=兀.

7T7T7T

(2)证明：令t=2%+y,因为一aWxWa，

­兀,一।兀"5兀

所以—o3b

因为y=sinf在一茅1上单调递增，在3，知上单调递减,

所以/尤）2sin（一即=一看得证.

成什r＞泣

三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的

和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin0x+Ocos0x+左的形式，借助辅助

角公式化为y=Asin（（yx+°）+%（或y=Acos（0x+°）+Z）的形式，将a）x-\-（p看作一

个整体研究函数的性质.

金塞顺原.

3.已知函数於）=［§sin（2x一袭）+2sin2（x—合）（xGR）.

（1）求函数人x）的最小正周期；

（2）求使函数人x）取得最大值的x的集合.

［解］（1），.D=V^sin（2x—J+2sin2，一朗

+1-cos

⑵当人X）取得最大值时，

（71、

sinl2%—1=1,

7T7TSjT

有2x—w=2foi+],即x=br+五（左@Z）,

所求x的集合为口x=E+含左©Z.

三角函数在实际问题中的应用

”型4y

［探究问题］

1.用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注

意什么？

提示：通常选角作为自变量，求定义域时栗注意实际意义和正弦、余弦函数

有界性的影响.

2.建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？

提示：化成y=Asin(0x+e)+b的形式.

［例4］如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方

形，应怎样截取，才能使△Q43的周长最大?

［思路点拨］|设NA03=a|一|建立周长/(a)|一|求』的最大值

［解］设NA03=a,△043的周长为/,贝|A3=Rsina,OB=Reosa,

：.l=OA+AB+OB

=R+Hsina+Rcosa

=H(sin«+cosa)+R

=巾Rsin,+m+R

••八兀.兀［兀3兀

・0＜a＜］,・・［＜。十区＜彳，

：.l的最大值为y/iR+R=W+1)7?,

兀

7T

即当a=a时，△045的周长最大.

［母题探究1

1.在例4条件下，求长方形面积的最大值.

［解］如图所示，设乙4。8=｛。£(0,和，则AB=Hsin

a,OA=Rcosa.

DoA

设矩形ABCD的面积为S,则S=2OAAB,

:・S=2Hcosa-Rsina=7?2-2sinacosa=R2sin2a.

2a^(0,兀).

兀

因此，当2a=2-

兀c

即Ct=W时，5max=7?2.

、历

这时点A,D到点。的距离为

矩形ABCD的面积最大值为R2.0

2.若例4中的木料改为圆心角为冷的扇形，并将此木料截成

矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值.

[解]如图，作NPOQ的平分线分别交EEGH于点、M,N,连接OE,

设/MOE=a,a£(0,在

RtAMOE中，ME=Rsina,OM=Rcosa,o

在RtAONH中，受导=tan\,

(JNo

得ON=^3NH=\[3Rsina,

则MN=OM~ON=R(cosa一事sina),

设矩形EFGH的面弄只为S,

则S=2ME-MN=27?2sina(cosa-/sina)

=7?2(sin2a+小cos2a—A/3)=27?2sin^2a—yj^R2,

由ael0,gI,则QV2Q+§V}~,

所以当2。+三=]

即a=]2时，Smax=(2—

Wir6iA

应用三角函数解实际问题的方法及注意事项

(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，

将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.

(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数

量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.

提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.

匚课堂小结~j

1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的

理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程

中记忆公式和运用公式.

2.研究形如次x)=asinx+Ocosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一

个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为

广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数。、6应熟

练掌握.例如sinx±cosx=gsin(x土争；sin小cosx=2sin(x土等.

当堂达标。国以基

DANGTAZGDABIAOGUSHUAZGJI

1.思考辨析

a/I+cosa

(l)cos2=^2,()

(2)存在a£R,使得cos]=]cosQ.()

n1.

(3)对于任意a@R,sin]=]sina都不成立.()

(4)若a是第一象限角，则tan)

jrnjr

[提示](1)X.只有当一Z),即一兀+4EWaW;i+

,a/1+cosa

4%兀(左£Z)时，cos2=\----2-----

(2)。.当cosa=—4+1时，上式成立，但一般情况下不成立.

(3)><.当4=2也(左弓2)时，上式成立，但一般情况下不成立.

aCL1—cosa

(4)，若a是第一象限角，则E是第一、三象限角，此时tan1=

1+cosa

成立.

［