2022-2023学年北京市东城区汇文中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市东城区汇文中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（）A．20° B．30° C．40° D．60°2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度得到的抛物线为（）A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+33．（2分）将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x+3）2＝1 B．（x﹣6）2＝1 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣6）2＝44．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，下列说法中正确的是（）A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．Δ≥05．（2分）下列所给方程中，没有实数根的是（）A．x2+2x＝0 B．5x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2﹣4x+1＝0 D．4x2﹣3x+2＝06．（2分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4 B．8 C． D．7．（2分）下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8．（2分）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）在半径为3cm的圆中，150°的圆心角所对弧的弧长是cm．10．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则BH的长度为．11．（2分）若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2上，则y1，y2的大小关系为：y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．12．（2分）关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为．13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为．14．（2分）据了解，2022年9月，某展览中心参观人数为12.5万人，比7月份的参观人数增加了2.5万人，设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为．15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：x…01234…y…−3−4−305…直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标．16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④m+9a＝0；⑤若此抛物线经过点C（t，n）．则t﹣4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（总分68）17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．18．下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，△ABC．求作：直线BD，使得BD∥AC．作法：如图2，①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；②以点O为圆心，OA长为半径作圆；③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D；④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD，∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，∴＝．∴∠DBA＝∠CAB（）（填推理的依据）．∴BD∥AC．19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象（不需要列表）；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣2，求k的取值范围．21．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．22．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：（1）圆心D的坐标为；（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．23．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．24．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣3x+108（20＜x＜36）．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），（1）求出p与x的关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．27．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，点A关于直线BC的对称点为F，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．（1）如图1，当AE＜EC时，写出∠ADE与∠BFG的大小关系；（2）如图1，当AE＜EC时，用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；（3）如图2．当AE＞EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CG，AC之间的数量关系（不需证明）．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．已知点N（3，0），A（1，0），B（0，3），C（1，﹣1）．（1）①在点A，B，C中，线段ON的“分点”是；②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的值；（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．

2022-2023学年北京市东城区汇文中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图，点A、B、C为⊙O上的点，∠AOB＝60°，则∠ACB＝（）A．20° B．30° C．40° D．60°【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠AOB，∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度得到的抛物线为（）A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+3【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度得到的抛物线为y＝2x2+3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．3．（2分）将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x+3）2＝1 B．（x﹣6）2＝1 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣6）2＝4【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程作边写成完全平方形式即可．【解答】解：移项得x2﹣6x＝﹣5，配方得x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4．故选：C．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的示意图如图所示，下列说法中正确的是（）A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．Δ≥0【分析】根据图象可知对称轴大于0，开口向下，与y轴交于负半轴，与x轴无交点，据此即可求解．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，即b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∵抛物线与x轴无交点，∴Δ＜0，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．5．（2分）下列所给方程中，没有实数根的是（）A．x2+2x＝0 B．5x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2﹣4x+1＝0 D．4x2﹣3x+2＝0【分析】求出各选项方程根的判别式的值，判断出正负即可确定一元二次方程是否有实数根．【解答】解：A．x2+2x＝0，∵b2﹣4ac＝4＞0，∴方程有实数根，故本选项不符合题意；B.5x2﹣4x﹣2＝0，∵b2﹣4ac＝16+40＝56＞0，∴方程有实数根，故本选项不符合题意；C.3x2﹣4x+1＝0，∵b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，∴方程有实数根，故本选项不符合题意；D.4x2﹣3x+2＝0，∵b2﹣4ac＝9﹣32＝﹣23＜0，∴方程没有实数根，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了根的判别式，熟记“当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根”是解本题的关键．6．（2分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4 B．8 C． D．【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．【解答】解：如图，连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD＝4．故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．7．（2分）下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．【解答】解：A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合题意；C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．8．（2分）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC＝AP＝x，再根据勾股定理可计算出OC＝，然后根据三角形面积公式得到y＝x•（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC＝AP＝x，在Rt△AOC中，OA＝1，OC＝＝＝，所以y＝OC•AP＝x•（0≤x≤2），所以y与x的函数关系的图象为A选项．故选：A．排除法：很显然，并非二次函数，排除B选项；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP＝x＝0，S△PAO＝0；当P点与B点重合时，此时AP＝x＝2，S△PAO＝0；当AP＝x＝1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO＝；排除B、C、D选项，故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）在半径为3cm的圆中，150°的圆心角所对弧的弧长是πcm．【分析】根据弧长公式进行计算即可求解．【解答】解：半径为3cm的圆中，150°的圆心角所对弧的弧长是．故答案为：．【点评】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．10．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则BH的长度为2．【分析】根据垂径定理得到CH＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3，进而得出答案．【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴CH＝DH＝CD＝4，∠OHC＝90°，∵直径AB＝10，∴OB＝OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝＝3，∴BH＝OB﹣OH＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理与勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OH的长是解题的关键．11．（2分）若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2上，则y1，y2的大小关系为：y1＜y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y值越大，从而求解．【解答】解：由y＝x2可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，∵|﹣1|＜|3|，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．12．（2分）关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为﹣5．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程．【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为40°．【分析】连接OA、OB，先根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形内角和可计算出∠P的度数．【解答】解：连接OA、OB，如图，∵∠ACB＝70°，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．14．（2分）据了解，2022年9月，某展览中心参观人数为12.5万人，比7月份的参观人数增加了2.5万人，设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（12.5﹣2.5）（1+x）2＝12.5．【分析】利用某展览中心2022年9月参观人数＝某展览中心2022年7月参观人数×（1+参观人数的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得（12.5﹣2.5）（1+x）2＝12.5，故答案为：（12.5﹣2.5）（1+x）2＝12.5．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：x…01234…y…−3−4−305…直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0）．【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，再利用抛物线的对称性写出点（3，0）关于直线x＝1的对称点即可．【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），即该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．故答案为：（﹣1，0），（3，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象与x轴的交点为二次函数图象的上的对称点．也考查了二次函数的性质．16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④m+9a＝0；⑤若此抛物线经过点C（t，n）．则t﹣4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是③④．【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，对称轴，判断①，由抛物线的对称性及经过点B（5，0）可判断②，由对称轴为x＝2，得出b＝﹣4a，即可判断③，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断④，点C对称点横坐标为4﹣t可判断⑤．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，①错误．∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），∴对称轴为x＝2∵抛物线过点B（5，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故③正确∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a∵A（2，m）为抛物线顶点，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即m+9a＝0，④正确，∵点C（t，n）在抛物线上，∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，⑤错误．故答案为：③④．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．三、解答题（总分68）17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，则x+1＝0或x﹣5＝0，∴x＝﹣1或x＝5．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18．下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，△ABC．求作：直线BD，使得BD∥AC．作法：如图2，①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；②以点O为圆心，OA长为半径作圆；③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交于点D；④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD，∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，∴＝．∴∠DBA＝∠CAB（在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）．∴BD∥AC．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据圆周角定理和平行线的判定证明即可．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：连接AD，∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，∴＝．∴∠DBA＝∠CAB（在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）．∴BD∥AC．故答案为：．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象（不需要列表）；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；（2）先列表，然后描点、连线即可；（3）由函数图象过点（0，﹣3）和（2，﹣3），根据函数图象求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）列表得：x…﹣10123…y＝x2﹣2x﹣3…0﹣3﹣4﹣30…函数图象如下图所示：（3）由函数图象可知，当y1＜y2时，m＜0或m＞2．【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣2，求k的取值范围．【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出x1＝2，x2＝k+3，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．【解答】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0，∴a＝1，b＝﹣（k+5），c＝6+2k，∵b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4×1×（6+2k）＝k2+10k+25﹣24﹣8k＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣（k+5）x+6+2k＝0，∵Δ＝（k+1）2，∴，解得x1＝2，x2＝k+3，∵此方程恰有一个根小于﹣2，∴k+3＜﹣2，解得k＜﹣5．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．21．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率＝小刚获胜的概率即可．【解答】解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．【点评】此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：（1）圆心D的坐标为（﹣2，0）；（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．【分析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，可知点D的坐标为（﹣2，0）．（2）连接AC、AD和CD，根据勾股定理的逆定理求出∠CDA＝90°，根据弧长公式和圆的周长求出答案即可．【解答】解：（1）分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是圆心D，如图，D点正好在x轴上，D点的坐标是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）；（2）连接AC、AD、CD，⊙D的半径长＝，∵AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．设圆锥的底面圆的半径长为r，则，解得：，所以该圆锥底面圆的半径长为．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，垂径定理，圆锥的计算，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能求出D点的坐标和求出∠CDA＝90°是解此题的关键．23．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的弦相等，即可证明；（2）连接OB，勾股定理求得OD，继而得出AD，根据三角形面积公式进行计算即可求解．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴，∴AB＝AC；（2）解：连接OB，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝8，在Rt△OBD中，BO＝10，BD＝8，∴OD＝＝6，∴AD＝AO+OD＝10+6＝16，∴S△ABC＝BC•AD＝×16×16＝128．【点评】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．24．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣3x+108（20＜x＜36）．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），（1）求出p与x的关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意得出每天获得的利润p＝（﹣3x+108）（x﹣20）；（2）对（1）中所求式子进行变形，p＝﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润p最大时的销售价格．【解答】解：（1）根据题意得：p＝（﹣3x+108）（x﹣20）＝﹣3x2+168x﹣2160．（2）p＝﹣3x2+168x﹣2160＝﹣3（x﹣28）2+192．∵a＝﹣3＜0，∴当x＝28时，利润最大＝192元；答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．【点评】本题主要考查二次函数的应用的知识点；解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解题的关键．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为8；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1，求a的值和h的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令y＝0，求出x1与x2，进而求解．（2）由当x1＜xD＜x2时，yD总满足y2＜yD＜y1可得当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解．【解答】解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，故答案为：8．②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，∴点A坐标为（h，﹣8a），∴|﹣8a|＝4，解得a＝或a＝﹣，当a＝时，如图，当抛物线开口向上，∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，∴点A坐标为（h，﹣4），把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，当﹣2h+1≤﹣4时，解得h≥，∵0＜h＜，∴≤h＜．当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣h）2+4，令﹣2x+1＝﹣（x﹣h）2+4，整理得x2﹣（2h+4）x+h2﹣6＝0，∴Δ＝（﹣2h﹣4）2﹣4（h2﹣6）＞0，整理得h＜﹣，与题干不符，舍去；综上，h的取值范围为≤h＜．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．27．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，点A关于直线BC的对称点为F，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．（1）如图1，当AE＜EC时，写出∠ADE与∠BFG的大小关系；（2）如图1，当AE＜EC时，用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；（3）如图2．当AE＞EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CG，AC之间的数量关系（不需证明）．【分析】（1）在EC上截取EM＝AE，可证明得∠ADE＝∠F，进而证明△ABM≌△BFG，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AM＝BG，即可得出结论；（3）由（1）可知，△ABM≌△BFG，得出BG＝AM，再证CM＝CG，由三角形中位线定理得BM＝2DE，然后在RtBCM中，由勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）∠ADE＝∠BFG，理由如下：如图1，在AC上截取EM＝AE，连接BM，∵FH⊥DE，∴∠FHE＝∠GHE＝90°，∵∠ACB＝∠ECG＝90°，在四边形BDHF中，∠ABC+∠DHF＝180°，∴∠F+∠BDH＝180°，∵∠DEC+∠DEA＝180°，∴∠DEA＝∠HGC