第7章 非线性系统的分析

第7章非线性系统的分析7.1非线性系统概述7.2相平面分析法7.3描述函数分析法

7.1非线性系统概述

7.1.1非线性系统的描述与特点当控制系统中包含有一个或多个具有非线性特性的环节时,该系统被称为非线性系统。

1.非线性系统的描述描述非线性系统的数学模型为非线性微分方程。对于输入为r(t),输出为c(t)的非线性系统,其形式为式中,f(·)和g(·)均为非线性函数。

描述非线性系统的非线性微分方程是不满足线性叠加原理的。例如:

第一个方程中含有输出量c(t)的平方项,第二个方程中存在输出量的正弦函数,第三个方程中含有变量及其导数的乘积。因此,这三个方程均为非线性方程,它们代表的系统都是

非线性系统。

在描述非线性系统时,我们也同样使用结构图。如果一个非线性系统的线性部分和非线性环节可以分离为如图7-1所示的结构形式,则称之为具有基本形式的非线性系统。在

图7-1中,线性部分仍然利用传递函数G(s)来表示。图7-1基本形式的非线性系统

2.系统的动态响应

线性系统的动态响应过程是由系统的结构和参数决定的,而与系统输入信号的大小无关,与系统的初始状态也无关。因此,如果系统在某初始条件下的响应为衰减振荡,则该系统在相同输入形式、不同输入幅值和初始条件下的响应均为衰减振荡形式,只是响应曲线的幅值和起始相位有所变化,但不改变它的基本形状特征。

而非线性系统的动态响应除了与非线性系统的结构和参数有关外,还与系统的输入信号大小和系统的初始状态有密切关系。因此,同一非线性系统对于同一输入信号,可能会表现为在某一初始条件下的动态响应为单调衰减,而在另一初始条件下的动态响应为振荡。这是与线性系统的动态响应所不同的。

3.系统的稳定性

与系统的动态响应类似,线性系统的稳定性是系统的固有特性,仅与系统的结构和参数有关,而与系统输入信号的大小和初始状态无关。而非线性系统的稳定性,除了与系统的结构、参数有关外,还与系统的初始状态及输入信号大小有直接关系。

对于某个非线性系统,可能在某个初始条件下稳定,而在另一个初始条件下该非线性系统就不稳定;也可能在某个输入信号下稳定,而仅将输入信号幅值变化一下之后,该非线性系统就不稳定。

此外,同一个非线性系统可能存在多个平衡点(或称为奇点),各平衡点的稳定性也可以不同。平衡点就是系统能够处于“相对稳定”的某些特殊状态,但与系统的稳定性不是一个概念。

在例7-1中,x0=1和x0=0均为非线性系统的平衡状态。但是平衡状态x0=1是不稳定的,这是因为如果x值稍有偏离,系统就不能恢复至原平衡状态,如果稍微偏大就会发散出去,如果稍微偏小就会趋近于零。而对于另一个平衡状态x0=0,即使在一定范围的扰动下(只要初始状态x0<1),系统也是稳定的。

4.系统的自持振荡(自激振荡)

对于线性系统的单位阶跃输入,当线性系统处于临界稳定状态时,将产生周期性的等幅振荡。而一旦系统参数发生微小变化,临界稳定状态就无法维持,要么发散(不稳定),要么衰减至某一数值(稳定)。

而在非线性系统中,其响应除了稳定和不稳定这两种形式外,还存在一种特殊的运动状态,就是系统可能发生自持振荡(或自激振荡)。自持振荡是指在没有外界周期信号的作用下,系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。与线性系统的临界稳定不同,自持振荡是稳定的周期运动,它是由非线性系统的结构和参数所确定的一种振荡状态,并且还可能产生不止一种振幅和频率的振荡。

5.跳跃谐振和多值响应

在线性系统中,当输入为正弦信号时,系统的稳态输出是同频率的正弦信号,仅仅是幅值和相位与输入不同。因此,利用正弦输入信号可以分析线性系统的频率特性。

非线性系统在正弦信号作用下的输出响应一般不是正弦信号,但仍是周期信号。有时输出信号的频率也表现为输入频率的倍频、分频等,也可能存在跳跃谐振或多值响应。这

些是线性系统的频率特性所不存在的。

7.1.2典型的非线性特性

1.死区(不灵敏区)特性

其特点是当输入信号x在零值附近存在小范围变化时,系统没有输出。只有当输入信号x大于某一数值时,系统才有输出,且输出y与输入x呈线性比例关系。死区特性一般

是由测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区所造成的。

对于输入为x,输出为y的非线性系统,死区特性如图7-2所示。图7-2死区特性

死区特性的数学描述为

由于死区的存在,降低了系统的灵敏度,增大了系统的稳态误差,因此降低了系统的控制精度。但是,如果干扰信号落在死区段内,系统正好可以对干扰信号不响应,则可以大大提高系统的抗干扰能力。

2.饱和特性

其特点是当输入信号超出其线性范围后,输出信号不再随输入信号的改变而变化(保持恒定)。最典型的饱和特性就是放大器的饱和输出。有时从系统的安全性考虑,常常会加入各种机械限幅和限位装置,这些也属于饱和特性。

对于输入为x,输出为y的非线性系统,饱和特性如图7-3所示。图7-3饱和特性

饱和特性的数学描述为

因为在输入值x较大时输出y并不变化,所以饱和特性将使系统的开环增益有所降低,对系统的稳定性有利,但也会降低系统的快速性和稳态跟踪精度。

3.间隙特性(回环特性)

这类特性中最典型的是齿轮传动中的间隙,表现在主动齿轮和负载齿轮之间在啮合时存在间隙。当主动齿轮改变转动方向后,只有消除了齿轮之间的间隙,负载齿轮才能够开始反向转动。

其特点是在当前输入下,输出向一个方向运动,若输入信号改变方向,则需要输入信号变化一段范围后,输出才会反方向运行。间隙特性如图7-4所示。图7-4间隙特性

从图中可以得到间隙特性的数学描述为

一般情况下,间隙的存在会使系统输出的相位滞后,降低系统的稳定裕量,并且使控制系统的动态特性变差,甚至使系统振荡。间隙的存在同样会使系统的稳态误差增大,使稳态特性变差。

从动力学特性来看,间隙的作用相当于一个延时环节。从稳态性能来看,间隙相当于引入了一个死区特性。

4.继电器特性

继电器、接触器和可控硅等电气元件的特性通常都表现为继电器特性。理想继电器特性如图7-5(a)所示。理想继电器特性与上面介绍的几种非线性特性相结合,可以产生出死

区继电器特性、回环继电器特性和死区加回环继电器特性,分别如图7-5(b)、(c)、(d)所示。图7-5几种继电器特性

(1)理想继电器特性:

(2)死区继电器特性:

(3)回环继电器特性:

(4)死区加回环继电器特性:

7.1.3非线性系统的分析方法

1.线性化近似法

如果某些系统的非线性特性不严重,就可以考虑直接进行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每个区域进行分段线性化。

2.相平面分析法

相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和二阶非线性微分方程。

3.描述函数分析法

描述函数分析法简称描述函数法,是线性系统频率特性分析法在非线性系统上的应用推广。利用描述函数法可以在频域内分析非线性系统的稳定性和自持振荡特性。在使用描

述函数法时,非线性系统中的线性部分和非线性环节都要满足一定的假设条件。

4.其他方法

李雅普诺夫法适用于所有的非线性系统。但是,对大多数非线性系统而言,寻找李雅普诺夫函数相当困难。该方法将在现代控制理论的课程中讲述。

7.2相平面分析法

7.2.1相平面的基本概念

设二阶非线性系统的微分方程为

1.相平面和相轨迹

前面已经设定我们称以x1(或x)为横坐标、以x2(或)为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。

图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。图7-6某非线性系统的相平面图

2.相轨迹方程

定义两个相变量之后,就可以将一个二阶微分方程改写成两个一阶微分方程组。式(7-12)的一般形式为

整理可得

求解式(7-16),可得相轨迹方程为

式(7-17)表示相平面(以x1为横轴,x2为纵轴)上的一条曲线,即相轨迹。由于相平面的横、纵坐标分别为(x1,x2),因此式(7-16)也表示相轨迹上任意一点的斜率,称为相轨迹的斜率方程。

3.相轨迹的性质

(1)一般情况下,不同初始状态下的相轨迹不可相交。这是因为由式(7-16)可得相轨迹上的任意一点(x10,x20)处的斜率为

只要该斜率值唯一,在点(x10,x20)处就不会有两条不同的曲线相交,因为两条相交曲线的斜率是不同的。

(2)如果式(7-18)的结果不唯一,会是什么情况呢?答案只能是在点(x10,x20)处满足

此时,两个相变量x1、x2对时间的变化率均为零,可见系统处于平衡状态。相应的状态点(x10,x20)称为系统的平衡点。平衡点处相轨迹的斜率满足

(3)如图7-7所示,无论系统的相轨迹形状如何,在相平面的上半平面,因为所以x值必定递增,相轨迹总是沿着横轴(x轴)正方向移动;而在相平面的下半平面,因为是

所以相轨迹总是沿着横轴负方向移动。因此,相轨迹总的方向是顺时针方向。而在穿越横轴时,因为纵坐标,所以相轨迹垂直穿过横轴。图7-7-不同状态时的相轨迹

7.2.2线性系统的相轨迹

在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程为

也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是不变的。此外,式(7-21)的特征方程为

系统的特征根为

对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。

1.ξ=0(无阻尼状态)

当ξ=0时,由式(7-25)得到系统特征根为一对纯虚根±jωn,阶跃输入的响应曲线为等幅振荡。将ξ=0代入式(7-23),可得相轨迹方程为

对式(7-26)分离变量,得到

积分后得到

式中,A为由初始条件决定的积分常数。

初始条件不同时,式(7-27)表示的相轨迹是一簇同心椭圆,如图7-8(c)所示。图7-8(a)为特征根±jωn,图7-8(b)为对应的单位阶跃响应曲线。在图7-8(c)所示相轨迹中,每一个椭圆对应一个初始状态不同的等幅振荡,围绕着原点。此时原点为平衡点(奇点),这类奇点称为中心点。图7-8无阻尼二阶线性系统的特征根、阶跃响应与相轨迹

2.0<ξ<1(欠阻尼状态)

当0<ξ<1时,系统的特征根为一对具有负实部的共轭复根

系统迹呈对数螺旋线收敛于平衡点(0,0),这样的平衡点(奇点)称为稳定焦点。欠阻尼状态对应的特征根、阶跃响应和相轨迹如图7-9所示。图7-9欠阻尼二阶线性系统的特征根、阶跃响应与相轨迹

3.ξ>1(过阻尼状态)

当阻尼比ξ>1时,系统特征根为两个不相等的负实根,如图7-10(a)所示。系统的单位阶跃响应曲线如图7-10(b)所示,系统稳定。不同初始状态的相轨迹为趋向于平衡点(0,0)的抛物线,这种平衡点(奇点)称为稳定节点,相轨迹如图7-10(c)所示。图7-10过阻尼二阶线性系统的特征根、阶跃响应与相轨迹

4.-1<ξ<0

控制系统的稳定性是讨论系统输入为零、初始偏差不为零时的稳定状态。当-1<ξ<0时,系统的特征根为一对具有正实部的共轭复根,如图7-11(a)所示。系统的零输入响应是发散振荡的,系统不稳定。而在不同初始条件下出发的相轨迹,从平衡点呈对数螺旋线发散出去,这种奇点(0,0)称为不稳定焦点,相轨迹如图7-11(b)所示。图7-11阻尼比-1<ξ<0时二阶线性系统的特征根与相轨迹

5.ξ<-1

当阻尼比ξ<-1时,系统的特征根为两个正实根,如图7-12(a)所示。系统的零输入响应曲线是单调发散的,系统不稳定。不同初始状态的相轨迹为由平衡点出发的发散的抛物线,这种奇点(0,0)称为不稳定节点,相轨迹如图7-12(b)所示。图7-12阻尼比ξ<-1时二阶线性系统的特征根与相轨迹

6.正反馈系统

当系统为正反馈时,特征根为一正一负两个实根,如图7-13(a)所示。系统的零输入响应是单调发散的,系统不稳定。系统的相轨迹是一簇双曲线,呈鞍形,这种奇点称为鞍点,对应的相轨迹如图7-13(b)所示。图7-13正反馈时二阶线性系统的特征根与相轨迹

7.2.3非线性系统的相轨迹

1.解析法

解析法的基本思路是先对式(7-16)两边积分,求相轨迹的解,再利用相轨迹的解绘制相轨迹。因此,解析法一般适用于较为简单的微分方程。

例7-3绘制图7-14所示系统在β=0,β<0,β>0时输出c(t)的相轨迹图。假设输入信号r=0。图7-14系统结构图

解解题思路是先将该系统的非线性环节和线性部分根据系统结构图分别列出各自的关系式,之后再结合起来获得非线性系统的相轨迹方程。

(1)该系统的非线性环节为理想继电器特性,即

(2)该系统线性部分的传递函数为

可以得到

(3)结合上面的步骤(1)与步骤(2),将式(7-29)代入式(7-28),可得

因为r(t)=0,所以得到

从式(7-31)可以看出,相轨迹方程的切换条件为c+βc·=0,称为相轨迹的开关曲线。

(1)当β=0时,开关曲线为c=0,即纵轴c·。相轨迹由位于纵轴两侧的曲线在开关曲线(纵轴)上进行切换,对应的运动是周期运动,相轨迹如图7-15所示。

图7-15β=0时的相轨迹

(2)当β<0时,开关曲线c+βc·=0位于第一、三象限,相轨迹由两簇抛物线组成。每当在开关曲线处切换时,相轨迹是沿着抛物线发散的,如图7-16所示的粗线。图7-16β<0时的相轨迹

(3)当β>0时,开关曲线c+βc·=0位于第二、四象限,相轨迹仍由两簇抛物线组成。但每次切换时,相轨迹是沿着抛物线收敛的,如图7-17所示的粗线。图7-17-β>0时的相轨迹

2.等倾线法

等倾线法的基本思路是先确定相轨迹的等倾线(即等斜率线),就得到了相轨迹的切线方向,进而从初始条件出发沿着切线方向逐步绘制相轨迹。

对于非线性系统

我们已经知道相轨迹的斜率方程为

若取斜率为常数α,则式(7-32)为

即

对于给定的α值,式(7-34)描述了相平面(x,x·)上的一条曲线。相轨迹与该曲线相交时总是具有相同的斜率α,所以,式(7-34)称为等倾线方程。图7-18为利用等倾线法绘制相轨迹的示意图。图7-18利用等倾线法绘制相轨迹

具体步骤如下:

(1)对于给定的斜率α,通过式(7-34)求解等倾线方程,在相平面上得到一条等倾线(图7-18中的等倾线为直线)。给定不同的值α,可在相平面上绘制若干条不同的等倾线。我们可以先绘制一些比较稀疏的等倾线。

(2)从起始点A(所在等倾直线表示相轨迹在该点的切线斜率为α1)出发,作一条斜率为(α1+α2)/2的直线,与对应斜率为α2的等倾线相交于B点。

(3)从B点出发重复步骤(2)画出直线至C点,依次类推,得到D、E、F、G点。

(4)用一条光滑曲线连接A、B、C、D、E、F、G等各点,最终绘制出从A出发的相轨迹曲线。

根据表7-1,取不同的α,分别绘制等倾线。图7-19为绘制完成的一组等倾线以及一条相轨迹。图7-19例7-4的一条相轨迹

7.2.4非线性系统的相平面分析

如图7-20所示,非线性系统一般由非线性环节和线性部分组成。例7-3已经简单说明了非线性系统相平面分析的一般步骤。首先,分别由非线性环节的特性和线性部分的传递函数求得系统中的各种关系式;然后,根据非线性系统的整体特性将整个相平面划分成若干区域,采用解析法、等倾线法等绘制各区域的相轨迹。不同区域相轨迹在开关曲线上发生变化,构成整个系统的相轨迹。图7-20非线性系统的一般结构

例7-5图7-21所示为带死区继电器特性的非线性系统。设系统在零初始条件下施加阶跃信号r(t)=R·1(t),试分析系统的动态特性和稳态特性。图7-21非线性系统

该非线性系统的相轨迹如图7-22所示。从系统的相轨迹看,在-e0<e<e0之间存在死区。还可以看出,在阶跃输入作用下,不同初始状态的相轨迹均为收敛的,因此系统是稳定的。但是,由于存在死区,系统将存在稳态误差。图7-22非线性系统相轨迹图

7.3描述函数分析法

7.3.1描述函数的定义描述函数分析法是将线性系统的频率分析法(Nyquist稳定判据)延伸到非线性系统的一种尝试,简称描述函数法。它的基本思路是:当系统线性环节在正弦信号作用下的输出也可以用正弦函数来近似。此时,非线性环节的输入输出关系被称为描述函数。利用描述函数,我们就可以借用线性系统的频率特性分析法来分析非线性系统。

如图7-23所示,我们通常将非线性系统简化为一个非线性环节和一个线性部分串联的结构。图7-23非线性系统结构图

这里,非线性系统需要满足如下假设条件:

①非线性环节的输入x(t)为正弦信号;

②非线性环节的特性应该是奇对称的;

③非线性系统的线性部分必须具有较好的低通滤波特性。

从式(7-43)可以看出,非线性环节的输出信号y(t)中含有基波及各种高次谐波。通常,谐波的次数越高,其对应的傅里叶系数越小,即相应的谐波分量幅值就越小。如果系统的线性部分G(s)具有良好的低通滤波特性,则非线性环节的高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到很小,甚至可以忽略不计。因此,如果前面提出的假设条件③满足的话,就可以对非线性环节只考虑一次谐波。

如果前面提出的假设条件②也满足的话,那么非线性环节就表现为斜对称,由式(7-44)可得直流分量A0=0,则式(7-43)改写为

设非线性环节的输入为正弦信号x(t)=Asinωt,定义非线性环节输出的一次谐波分量与输入正弦信号的复数比为非线性环节的描述函数,记为N(A,ω),即

7.3.2典型非线性环节的描述函数

1.死区非线性环节

当正弦信号x=Asinωt输入给死区非线性环节时,我们需要求解输出值y(ωt)。求解过程可以利用图7-24表示。

图7-24死区特性及输入/输出波形

具体步骤如下:

(1)在左上角绘制死区非线性特性图y=f(x)。

(2)在其下方绘制输入信号x=Asinωt。需要注意的是,由于死区非线性特性的横轴是x,而输入信号x=Asinωt的纵轴是x,因此输入信号图需要顺时针旋转90°以保证上下两个图的x轴一致。

(3)在死区非线性特性图的右侧绘制一个空的坐标系,它是输出信号图。其纵轴是非线性环节的输出量y,横轴是ωt。

(4)当输入信号随着时间由0逐渐变大时,对应死区非线性特性,可以逐步绘制出输出信号图。

例如,由死区非线性特性图可知,当0<x<Δ时,y=0。由输入信号图x=Asinωt可知,当0<ωt<ωt1时,x<Δ。所以,在输出信号图中,当0<ωt<ωt1时,y=0。以此类推,即可得到输出信号图。

按照以上步骤得到的输出表达式为

由图7-24可以看出输出波形是奇对称的,所以

由式(7-46)可得死区特性的描述函数为

2.理想继电器非线性环节

求取理想继电器特性的输出方程的过程如图7-25所示。当输入为正弦信号x=Asinωt时,其输出表达式为图7-25理想继电器特性及输入/输出波形

7.3.3描述函数分析法

如前所述,如果非线性系统中的线性部分具有良好的低通滤波特性,那么非线性环节的输入输出特性可以用描述函数N(A)来表示,如图7-26所示。这样,非线性系统就可以近似为线性系统,也可以利用线性系统的频率特性分析法来分析非线性系统的稳定性、自持振荡产生的条件、自持振荡的幅值和频率以及如何消除自持振荡。图7-26非线性系统结构图

1.非线性系统的稳定性分析

判断线性系统稳定性的频率特性分析法是Nyquist稳定判据,也就是分析开环频率特性曲线与(-1,j0)点之间的关系。描述函数分析法就是将线性系统频率特性分析法推广到图7-26所示的非线性系统。

系统的输入是正弦信号r(t)=Asinωt,其闭环系统频率特性为

系统的特征方程为

即

由此得到非线性系统的稳定性Nyquist判据:当线性部分G(jω)为最小相位系统时,有:图7-27-非线性系统的频率特性稳定性分析(描述函数分析法)

2.自持振荡

自持振荡是非线性系统的特性,是指在没有外界周期变化输入信号的作用下,系统能够产生具有固定频率和振幅的稳定的等幅振荡运动。我们先分析等幅振荡产生的条件,之

后再分析这种振荡是否稳定。

如果式(7-56)有多组解,则系统存在多个不同振幅的等幅振荡。如图7-28所示,曲G(jω)有两个交点P和Q,因此存在两个等幅运动。而图7-27(c)中,交点只有一个,因此只存在一个等幅运动。在交点处G(jω)的频率ω即为振荡频率,交点处的A值即为振荡幅值。

我们也可以直接利用式(7-54),即

求取ω和A。

等幅振荡与自持振荡是不同的,自持振荡是指稳定