第8章 线性离散时间控制系统

第8章线性离散时间控制系统8.1信号采样与采样定理8.2信号保持器8.3离散系统的数学模型8.4离散系统的稳定性分析8.5离散系统的稳态误差

8.6离散系统的动态性能

8.7离散系统的校正

8.1信号采样与采样定理8.1.1概述离散时间系统(简称离散系统)是指系统中全部或一部分的环节或变量具有离散信号形式的系统。系统中的信号不全部为连续信号,在系统中必须有一处或多处信号是脉冲序列。如图8-1所示,利用采样开关,可以将连续的输入信号r(t)和反馈信号b(t)采样成为离散信号(脉冲信号)r*(t)和b*(t)。星号表示将连续信号离散化。因此,偏差信号也是离散型的时间函数,即图8-1离散系统框图

这里的采样开关不一定是实际的开关,也可以是控制程序。一般情况下,图8-1中两个采样开关的动作是同步的,所以图8-1所示的离散系统框图可以等效为图8-2。图8-2离散系统等效框图

一般情况下,采样开关每经过一定时间T就会重复闭合,每次闭合时间为τ,且τ<T,如图8-3(a)所示。由于数值τ远远小于T,所以大多数情况下可以忽略不计。经过周期为T的采样之后,就由连续信号e(t)得到了如图8-3(b)所示的离散信号e*(t)。图8-3连续信号与离散信号

在离散系统中,采样开关重复闭合的时间间隔T称为采样周期,且有

分别称为采样频率及采样角频率。

图8-4是一种典型离散控制系统的结构图。一方面,因为计算机控制器需要输入的信号是离散信号,所以需要把连续误差信号e(t)变换为离散信号e*(t),这就是采样过程,因此在控制器之前使用采样开关;另一方面,为了控制连续式的被控对象,需要在控制器之后使用保持器将脉冲控制信号u*(t)变换为连续信号uh(t)(时间和幅值均为连续的信号称为连续信号)。图8-4典型离散控制系统结构图

8.1.2采样过程

实现离散控制首先需要将连续信号变换为脉冲序列信号。把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器(或采样开关)。按一定的时间间隔对连续信号进行采样,将其转换为相应的脉冲序列的过程就是采样过程。

采样器用一个周期为T的开关来表示,每闭合一次就是采样一次,每次闭合持续的时间为τ。τ远小于采样周期T,也远小于系统连续部分的时间常数。因此,可近似认为τ趋近于0,即认为是瞬间采样完毕。

8.1.3采样定理

采样的目的是将连续信号转换为周期为T的脉冲信号,进而输入给计算机控制器。也就是说,采样后的离散信号必须能够保留有原连续信号的完整或近似完整的信息。因此,

周期T的设定非常重要。

采样定理(也叫Shannon定理)从理论上给出了必须以多快的采样周期(或多高的采样频率)对连续信号进行采样,才能保证采样后离散信号可以不失真地保留原连续信号的信息。换句话说,采样定理给出了对采样周期的限定条件,即采样周期要在多短时间之内,才能保证采样后的离散信号保留有采样之前的连续信号的尽量多的信息。图8-5连续信号及采样后离散信号的频谱

由图8-5(b)可知,离散信号相邻两频谱互不重叠的条件为

即采样开关的采样角频率必须要大于原连续信号最高角频率的2倍。

8.2信号保持器

8.2.1零阶保持器零阶保持器是一种按常值外推的保持器。它把前一时刻nT的脉冲值e(nT)一直保持到下一时刻(n+1)T到来之前。因为在一个采样区间内的值不变,其导数为零,因此称为零阶保持器。零阶保持器的输入信号e(nT)和输出信号eh(t)的关系如图8-6所示。

图8-6中,原连续信号为e(t),经过采样周期为T的采样后,得到离散的信号e(0)、e(T)、e(2T)等值(图8-6中带有箭头的有向线段)。离散信号经过零阶保持器处理后的连续信号为阶梯状的eh(t)。可见,零阶保持器的输出eh(t)与原信号e(t)是存在较大误差的。图8-6零阶保持器输入信号与输出信号的关系

下面推导零阶保持器的表达式。利用泰勒级数展开公式,可以得到

如果略去含Δt、(Δt)2等项,可得

这就是零阶保持器的公式。由式(8-11)可得零阶保持器输出信号的完整表达式为

事实上,如果在式(8-10)中还保留Δt项,就成为了一阶保持器。

1.零阶保持器的传递函数

对式(8-12)取拉普拉斯变换,得

则

所以,零阶保持器的传递函数为

令s=jω,可以得到零阶保持器的频率特性为

根据上式,可画出零阶保持器的幅频特性和相频特性∠Gh(jω),如图8-7所示。图8-7零阶保持器的频率特性

2.零阶保持器的特性

零阶保持器具有如下特性:

(1)由图8-7可知,零阶保持器幅频特性中,幅值随频率值的增大而迅速衰减,说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器。图8-8为理想的低通滤波器频率特性。零阶保持器与理想低通滤波器相比,在ω=ωs/2时,其幅值只有初值的63.7%。而且虽然零阶保持器是低通滤波器,但它除了允许主频谱分量通过外,还允许部分高频分量通过,这会在数字控制系统的输出中产生纹波。图8-8-理想滤波器的频率特性

(2)零阶保持器的输出信号是阶梯信号。由图8-9可见,如果把阶梯信号的各中点连接成曲线,可以得到与连续信号形状基本一致但在时间上落后T/2的响应曲线。这反映了零阶保持器的相位滞后特性。图8-9零阶保持器的相位滞后特性

(3)图8-9表明,零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t),其平均响应为e(t-T/2),表明输出比输入在时间上要滞后T/2,相当于给系统增加了一个时间为T/2的延迟环节,对系统的稳定性不利。

8.2.2一阶保持器

与零阶保持器按照常值外推不同,一阶保持器是按线性外推的,其外推公式为

一阶保持器复现原信号的准确度与零阶保持器相比有所提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高阶微分,一阶保持器的输出信号与原连续信号之间仍有不同。

由式(8-16)可知,一阶保持器的响应可以分解为阶跃响应和斜坡输入响应之和。将式(8-16)的微分形式变换成式(8-17)的差分形式,对应的传递函数为式(8-18)。

一阶保持器的频率特性如图8-10中实线所示。作为对比,图中的虚线为零阶保持器的频率特性。图8-10一阶保持器与零阶保持器的频率特性对比

8.3离散系统的数学模型

如果离散系统满足叠加原理,则称为线性离散系统,并且有如下关系式:

8.3.1差分方程

对于一般的线性定常离散系统,输出c(k)与输入r(k)的关系可以用下列差分方程描述:

上式也可表示为

线性定常离散系统也可以用如下n阶前向差分方程描述:

上式可表示为

图8-11所示离散系统,描述它的一阶微分方程为

即

将微分变换成差分,有

得到一阶差分方程为图8-11离散系统方框图

8.3.2差分方程求解

差分方程求解常用迭代法和Z变换法。迭代法是已知差分方程式,并给出输入和输出序列初值,则可以利用递推关系,一步步迭代推算出输出序列。

Z变换法是对差分方程两端取Z变换,将差分方程转化为以z为变量的代数方程,然后再进行Z反变换,求出各采样时刻的响应。

8.3.3脉冲传递函数

1.脉冲传递函数的定义

在线性离散系统中,零初始条件下系统的输出采样信号Z变换与输入采样信号Z变换之比,称为该系统的脉冲传递函数,也称为Z传递函数。即

实际上,多数离散系统的最终输出往往是连续信号,而不是离散信号。此时,可以在输出端虚设一个理想采样开关,如图8-12所示,并使它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工作。图8-12离散系统脉冲传递函数

2.脉冲传递函数的求法

(1)若已知系统的传递函数G(s),则脉冲传递函数G(z)为

(2)若已知系统的差分方程,就可以在零初始条件下,对差分方程两端进行Z变换,并整理成

例8-3求如下离散系统的脉冲传递函数

解对该差分方程在零初始条件下进行Z变换,有

则

3.开环脉冲传递函数

若离散函数的拉氏变换E*(s)与连续函数的拉氏变换G(s)相乘后再离散化,则E*(s)可以从离散符号中提出来,即

当开环离散系统由几个环节串联组成时,由于采样开关的数目和位置不同,其脉冲传递函数也是不同的。

下面讨论离散系统在开环状态下的脉冲传递函数。当有两个环节串联时,存在图8-13(a)和(b)所示的两种不同结构。

(1)串联环节之间无采样开关时,脉冲传递函数为

在这种情况下,必须将两个环节G1(s)与G2(s)串联之后作为一个整体,再求Z变换。

(2)串联环节之间有采样开关时,脉冲传递函数为

上式表明,由理想采样开关隔开的两个环节串联时的脉冲传递函数,等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积。图8-13环节串联的结构

(3)带有零阶保持器的开环脉冲传递函数。

因为零阶保持器是常用的保持器,在此我们给出带有零阶保持器的开环脉冲传递函数。设有零阶保持器的开环系统如图8-14(a)所示,可以变换为如图8-14(b)所示的等效开环系统。图8-14带有零阶保持器的开环脉冲传递函数

由图8-14(b)可得

则

于是,当有零阶保持器时,开环脉冲传递函数为

例8-4设离散系统为具有零阶保持器的开环系统,

求系统的脉冲传递函数G(z)。

4.闭环脉冲传递函数

在离散系统中,由于设置采样开关的位置不同,闭环系统的结构也是不一样的。图8-15是比较常见的系统框图。图中,在系统的输入端和输出端都虚设了采样开关。图8-15闭环系统方框图

闭环脉冲传递函数为

闭环误差脉冲传递函数为

式中,GH(z)为开环离散系统脉冲传递函数。因为两个串联的线性环节G(s)和H(s)之间有一边没有采样开关,因此它们必须相乘后再求Z变换,记作GH(z)。

类似于连续系统,令Φ(z)或Φe(z)的分母多项式为零,可以得到离散系统的特征方程为

采样开关在闭环系统中的位置不同时,离散系统结构图及其输出信号Z变换C(z)可参见表8-1

需要注意的是,闭环离散系统脉冲传递函数和误差脉冲传递函数不能直接从Φ(s)或Φe(s)求Z变换而得,即

这是因为连续系统的传递函数总是存在的。但是,离散化之后的离散系统却有可能不存在脉冲传递函数。如表8-1中序号1的结构图所示,因为响应

所以闭环脉冲传递函数可以表示为

但是,表8-1中序号5的结构图对应的响应为

8.3.4一种求取闭环脉冲传递函数的简易方法

闭环脉冲传递函数是分析和设计离散控制系统的有力工具。然而,求取离散控制系统的闭环脉冲传递函数要比求取连续系统的闭环传递函数难,这是因为采样开关在离散控制

系统中的位置是多种多样的。因此,离散控制系统闭环脉冲传递函数的求取不能像连续系统闭环传递函数那样有统一的求取方法。

一般情况下,求取闭环脉冲传递函数时,是根据系统中信号的传递关系逐步进行推导,这种方法存在非常明显的缺点,比较繁琐、费时。并且对于同一结构的系统,若是采样开关

的位置发生了变化,则必须从头推导其闭环脉冲传递函数。

(3)求取输出的Z变换C(z)。即将C*(s)表达式中的*号去掉,把s换成z即可。

(4)若R(s)与前向通道的第一个环节之间有采样开关隔离,则R(z)能够分离出来,这时可以写出系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)。否则就不存在闭环脉冲传递函数,只能求出C(z)。

例8-6求图8-16所示离散控制系统输出的Z变换C(z)。图8-16离散控制系统方框图

8.4离散系统的稳定性分析

8.4.1离散系统的稳定条件根据线性连续系统特征方程的根在s平面的分布位置,可以判别线性连续系统的稳定性。当系统稳定时,系统的所有特征根都要在s平面的左半平面。线性离散系统的数学模型是脉冲传递函数,因此需要在z平面对系统的稳定性进行分析。为了从连续系统的稳定性分析过渡过来,首先需要弄清s平面与z平面之间的相互关系。

1.s平面到z平面的映射

在Z变换定义中,复变量s和z的相互关系为

其中T为采样周期。

s域中的任意点可表示为s=σ+jω,映射到z域则为z=e

(σ+jω)T=eσTejωT。于是,s平面到z平面的映射关系为

由此可得如下结论:

(1)s平面虚轴(σ=0)对应z平面上以原点为中心的单位圆周,即z=1。

(2)s左半平面(σ<0)对应z平面上以原点为中心的单位圆内部,即|z|<1。

(3)s右半平面(σ>0)对应z平面上以原点为中心的单位圆外部,即|z|>1。

图8-17给出了s平面与z平面之间的相互关系。即s平面的稳定区域为左半平面,对应z平面的单位圆内部。图8-17s平面与z平面的映射关系

2.线性离散系统稳定的充要条件

在线性连续系统中,系统稳定的充要条件是以下几点之一:①系统齐次微分方程的解是收敛的;②系统特征方程式的根均具有负实部;③系统传递函数的极点均位于s左半平面。

现在我们分析线性离散系统稳定的充分必要条件。线性离散系统的特征方程为

8.4.2离散系统的劳斯稳定判据

线性连续系统中的劳斯判据是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统稳定性的,其实质是判别系统特征根是否都在s左半平面。而离散系统中需要判断的是系统特征根是否都存在于z平面的单位圆内。

式(8-34)说明,z平面单位圆内的部分对应左半w平面,w平面的虚轴对应z平面的单位圆上。如图8-18所示,经过这种变换后,就可以使用劳斯判据了。这种变换因为复变量z与w互为线性变换,所以叫作双线性变换。图8-18-双线性变换(s平面,z平面,w平面的对应关系)

例8-7设闭环离散系统如图8-19所示,其中采样周期T=0.1s,试求系统稳定时K的变化范围。图8-19闭环系统方框图

8.4.3离散系统的朱利稳定判据

朱利稳定判据(July判据)是直接在z平面内应用的稳定判据,类似于连续系统中的尔维茨判据。朱利判据是直接根据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数,判别其根是否位于z平面上的单位圆内,从而判断该离散系统的稳定性。

设离散系统的闭环特征方程为

特征方程的系数按照下述方法构造2n-3行、n+1列朱利阵列,如表8-2所示。

从第3行起,阵列中各元素的定义如下:

朱利稳定判据:特征方程D(z)=0的根,全部位于z平面单位圆内的充分必要条件是

及下列n-1个约束条件同时成立:

只有当上述诸条件均满足时,离散系统才是稳定的,否则系统不稳定。

列出如下朱利阵列:

因为n=4为偶数,且

故由朱利稳定判据知,该离散系统是稳定的。

8.4.4采样周期与开环增益对稳定性的影响

我们知道,连续系统的稳定性取决于系统的开环增益K、系统的零极点分布和传输延迟等因素。但是,影响离散系统稳定性的因素,除了上述因素外,还与采样周期T的取值有关。

显而易见,开环增益K与采样周期T对离散系统稳定性有如下影响:

(1)当采样周期T一定时,开环增益K增大会使离散系统的稳定性变差,甚至使系统变得不稳定。

(2)当开环增益K一定时,采样周期T越长,丢失的信息越多,对离散系统的稳定性及动态性能均不利,甚至会导致系统失去稳定。

8.5离散系统的稳态误差

线性连续系统计算稳态误差的方法有两种:一种是利用拉普拉斯变换终值定理计算稳态误差;另一种是从系统的误差传递函数出发,求出系统动态误差的稳态分量。这两种方法都可以推广到离散系统中来。这里仅利用Z变换的终值定理求取离散系统的稳态误差。

设单位负反馈离散系统如图8-20所示,系统的开环脉冲传递函数为G(z)。离散系统的稳态误差可以从输出信号在各采样时刻上的数值c(nT)(n=0,1,2,…,∞)和动态过程曲线c*(t)求取,也可以应用Z变换的终值定理来计算。图8-20单位负反馈系统框图

为了更详细地分析非线性系统的稳态误差,与线性连续系统稳态误差分析类似,我们引入系统型别这个概念。由于z=esT,原线性连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分系统型别的标准,可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型别,称v=0,1,2的系统分别为0型、Ⅰ型、Ⅱ型离散系统,如式(8-37)所示。

下面考查几种典型输入作用下不同型别离散系统的稳态误差。

1.单位阶跃输入时的稳态误差

(2)若G(z)有一个或一个以上z=1的极点,这样的系统相应地称为Ⅰ型或Ⅱ型及以上的离散系统。因为Kp=∞,所以e(∞)=0。

因此,在单位阶跃函数作用下,0型离散系统在采样瞬时存在位置误差。Ⅰ型或Ⅱ型及以上的离散系统,在采样瞬时没有位置误差,这与连续系统十分相似。可见,若需要系统对单位阶跃信号输入在采样时刻无稳态误差,至少需要Ⅰ型系统。

这里我们强调的离散系统稳态误差是指在采样时刻的瞬时稳态误差。而在采样时刻之间,系统的输出是否存在稳态误差,利用该方法还不可求得。

2.单位斜坡输入时的稳态误差

3.单位加速度输入时的稳态误差

8.6离散系统的动态性能

离散系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上单位圆内的分布,对系统的动态响应具有重要的影响。设闭环系统的脉冲传递函数为为分析简便,设式(8-41)无重极点,p1,p2,…,pn为n个互不相等的闭环极点。若闭环极点均位于z平面的单位圆内,则离散系统稳定。

对于单位阶跃输入,已知C(z)=Φ(z)R(z),其中

通过Z反变换导出输出信号的脉冲序列c*(t),得

式中,第一项为系统输出的稳态分量,若其值为1,则单位反馈离散系统在单位阶跃输入作用下的稳态误差为零;第二项为系统输出的动态分量。

容易看出,随着极点pi在z平面上位置的变化,它所对应的动态分量也就不同。下面分几种情况来讨论。

1.实轴上的闭环单极点

设pi为正实数,pi对应的动态分量为

(1)若闭环实数极点位于右半z平面,则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。实数极点位于单位圆内,脉冲序列收敛,且实数极点越接近原点,收敛越快;实数极点位于单位圆上,脉冲序列等幅变化;实数极点位于单位圆外,脉冲序列发散。

(2)若闭环实数极点位于左半z平面,则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。实数极点位于单位圆内,双向脉冲序列收敛;实数极点位于单位圆上,双向脉冲序列等幅变化;实数极点位于单位圆外,双向脉冲序列发散。

2.闭环共轭复数极点

设pk,pk+1=|pk|e±jθk为一对共轭复数极点,pk和pk+1对应的动态分量为

(1)若|pk|>1,闭环复数极点位于z平面上的单位圆外,动态响应为振荡脉冲序列。

(2)若|pk|=1,闭环复数极点位于z平面上的单位圆上,动态响应为等幅振荡脉冲序列。

(3)若|pk|<1,闭环复数极点位于z平面上的单位圆内,动态响应为振荡收敛脉冲序列,且|pk|越小,即复极点越靠近原点,振荡收敛得越快。

例8-9已知单位负反馈离散系统的闭环脉冲传递函数为

求其单位阶跃响应的离散值,并分析系统的动态性能。采样周期T=0.2s。

8.7离散系统的校正

8.7.1数字控制器的脉冲传递函数图8-21为线性离散系统,数字控制器D(s)串联引入后,输出新的脉冲序列u*(t)。因为D(s)前后都有采样开关,所以输入脉冲序列e*(t)与输出脉冲序列u*(t)的脉冲传递函数D(z)是可以分离出来的。在确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)时,假设其前后两个采样开关的动作是同步的,即认为计算过程很快,输出对输入没有明显的滞后。

在图8-21所示的线性离散系统中,设反馈通道的传递函数H(s)=1,则单位负反馈线性离散系统的闭环脉冲传递函数为

可以得到

误差脉冲传递函数为

可以得到图8-21加入数字控制器的离散系统

因此,数字控制器的脉冲传递函数D(z)可以表示为式(8-45)和式(8-47)。也就是说,可以根据线性离散系统连续部分的脉冲传递函数G(z)及系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)或Φe(z)确定。而数字控制器的一般形式为

式中,ai(i=1,2,…,n)及bi(i=1,2,…,m)为常系数,且n≥m。

8.7.2最少拍系统的脉冲传递函数

在离散控制过程中,通常把一个采样周期称为一拍。所谓最少拍系统,是指在典型输入作用下,能以有限的最少周期结束响