4.4 探索三角形相似的条件 同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

4.4探索三角形相似的条件两角分别相等的判定方法基础题目1.如图,△ADE∽△ACB,且∠ADE=∠C,则AD:AC等于()A.AE:ACB.DE:BCC.AE:BCD.DE:AB2下列说法中一定正确的是()A.两个等腰三角形相似B.分别有一个内角是30°的两个直角三角形相似C.两个直角三角形相似D.分别有一个锐角是30°的两个等腰三角形相似3.如图,在△ABC中,DE∥BC,，DE=4,则BC的长是()A.8B.10C.11D.124.如图,在△ABC纸片中,∠A=76°,∠B=34°,将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是()A.①②B.②④C.①③D.③④5.如图，E为平行四边形ABCD的边CB的延长线上一点,DE交AB于点F,则图中与△ADF相似的三角形共有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图,在△ABC中,D为BC上一点,∠BAD=∠C.(1)求证:△ABD∽△CBA;(2)若AB=8,BD=4,求CD的长.综合应用题7.若△ABC与△DEF相似,∠A=50°,∠B=70°,∠D=60°,则∠E的度数可以是()A.50°B.70°C.60°D.50°或70°8.如图,在△ABC中,AB<AC,将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F.下列结论：①△AFE∽△DFC;②DA平分∠BDE;③∠CDF=∠BAD.其中所有正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①③D.①②③9.如图,有一正方形ABCD,边长为2₂，E是边CD上的中点，对角线BD有一动点F,当△ABF与△DEF相似时,BF的值为.10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边BC,AC上的点,且∠ADE=∠B.求证:AB·CE=BD·CD.11.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.

创新拓展题12.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上(F不与C重合),且∠BEF=90°.(1)△ABE与△DEF相似吗?为什么?(2)当点E位于AD上何处时,△ABE,△BEF,△DEF这三个三角形都相似?(3)当△ABE,△BEF,△DEF,△CBF这四个三角形都相似时，求DFCF及AB两边成比例且夹角相等的判定方法基础题目1.在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠D=60°,∠E=80°,EB=FD,那么∠B的度数是()A.40°B.60°C.80°D.100°2.下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是()A.ABB.ABC.ABD.AB3.如图,在△ABC中,∠C=80°,AC=4,BC=6.将△ABC沿图中的虚线剪开，按照下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是()A.①②③B.①②④C.①②D.④4.如图,△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是()A.AB²=BC⋅BDB.AB²=AC⋅CDC.AB·AD=BD·BCD.AB·AD=AD·CD5.夹文件的一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态下的示意图，经测量知AE=AF=25mm,EB=FD=35mm,EF=20mm,则在闭合状态下,点B,D之间的距离是mm.6.如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,且CD²=AD⋅BD.(1)求证:△ACD∽△CBD;(2)求∠ACB的大小.综合应用题7.如图，在边长为1的小正方形的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于()A.293B.2638.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为1cm/s,连接PQ.设运动的时间为ts，其中0<t<4.当t为何值时,△APQ与△ABC相似?()A.3B259C209₉2599.如图,AB与CD相交于点O,且∠OAD=∠OCB,延长AD,CB交于点P,则图中的相似三角形的对数为.10.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,AE=ED,DF=1(1)求证:△ABE∽△DEF;(2)若正方形的边长为6，求BG的长.创新拓展题11.新考法·等比代换法如图①，四边形ABCD是正方形，点E是对角线AC上一点(点E不与点A,C重合),过点E作EF∥CD,交BC于点F,作EG∥BC,交CD于点G.(1)求证:四边形EFCG是正方形;(2)如图②，将四边形EFCG绕点C顺时针旋转α(0°<α<90°),连接AE,DG,求AEDG三边成比例的判定方法基础题目。1.△ABC和△A'B'C'符合下列条件,其中使△ABC与△A'B'C'不相似的是()A.∠A=∠A'=45°,∠B=26°,∠B'=109°B.AB=1,AC=1.5,BC=2,A'B'=12,A'C'=8,C.∠A=∠B',AB=1.5,AC1514₄,A'B'32D.BC=a,AC=b,AB=c,B'C'aₐ,A'C'b2.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为5cm,如果这两个三角形相似，那么△DEF的另两边长可能是()A.2cm,3cmB.4cm,6cmC.6cm,7cmD.6cm,8cm3.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，另一个直角三角形一条直角边与斜边的长分别为9和15，则这两个三角形()A.一定相似B.不一定相似C.一定不相似D.是否相似无法判定4.若△ABC的每条边长增加各自的10%得到△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比()A.增加了10%B.减少了10%C.增加了(1+10%)D.没有改变5.如图,△ABC与△DEF在7×5的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.综合应用题6定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”.如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个如图,四边形ABCD,四边形CDEF，四边形EFGH是三个相连的正方形,连接AC,AF,AG.若∠BGA=20°,则∠BFA的度数为.8.如图,AB:AD=BC:DE=AC:AE.(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)若AB=6,BD=3,AC=4,求CE的长.创新拓展题9.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P₁,P₂,P₃,P₄,P₅是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;(2)画一个三角形,它的三个顶点为P₁,P₂,P₃,P₄,P₅中的3个格点,并且与△ABC相似.(要求：不写作法与证明)

10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AC上.(1)已知AC=4,BC=2,∠CBD=∠A,求BD的长；(2)取AB,BD的中点E,F,连接CE,EF,FC,求证:△CEF∽△BAD.黄金分割基础题目1.神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的()A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割2.如图,点C是线段AB靠近点B的黄金分割点，则下列等式不正确的是()A.ACAB=C.AC=5−123.古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高之比约为0.618，著名的“断臂维纳斯”便是如此.若王老师身高165cm,肚脐到脚底的长度为100cm,为使王老师穿上高跟鞋以后更接近最美人体比例，选择高跟鞋的跟高约为()A.3cmB.5cmC.7cmD.10cm4已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20cm，则它的宽为(结果保留根号).5.一支铅笔长16cm，把它黄金分割后，将较长部分涂上橘红色，较短部分涂上浅蓝色，那么橘红色部分的长是cm，浅蓝色部分的长是cm.(结果保留根号)综合应用题6.新考问数学文化古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=A.10−45C.5−2527.如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求AM,DM的长.(2)点M是AD的黄金分割点吗?为什么?4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的判定方法1.B2.B3.D4.C5.B6.(1)【证明】∵∠BAD=∠C,∠B=∠B,∴△ABD∽△CBA.(2)【解】设DC=x.∵△ABD∽△CBA,∴∴解得x=12,即CD=12.7.D【点拨】由于对应关系没有确定，所以由已知可得∠E的对应角可能为∠A或∠B，然后根据相似三角形的性质得到∠E的度数.8.D【点拨】∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠E=∠C.∴∠B=∠ADB.∴∠ADE=∠ADB.∴DA平分∠BDE.∴②符合题意；∵∠AFE=∠DFC,∠E=∠C,∴△AFE∽△DFC.∴①符合题意；∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠FAE.∵△AFE∽△DFC,∴∠FAE=∠CDF.∴∠BAD=∠CDF.∴③符合题意；故选D.9.6或8【点拨】依题意可得AB=AD=CD=2∠BAD=90°,∠ABD=∠BDC,∴BD=√AB²+AD=6设BF=x,则DF=12-x.①当∠AFB=∠FED时,△ABF∽△FDE,∴DFBA=解得x=6.②当∠AFB=∠EFD时,△ABF∽△EDF,∴DFBF=解得x=8.综上所述，BF的值为6或8.10.【证明】∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠ADC为△ABD的外角,∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB.又∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠CDE.又∵∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE.∴———BD.∴AB·CE=BD·CD.11.(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC.∴∠AMB=∠EAF.又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°.∴∠B=∠AFE.∴△ABM∽△EFA.(2)【解】∵∠B=90°,AB=12,BM=5,AB=AD,∴AM=∵F是AM的中点,∴AF=∵△ABM∽△EFA,∴BMAF=∴AE=16.9.∴DE=AE-AD=4.9.12.【解】(1)△ABE与△DEF相似.理由如下:∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°.∵∠BEF=90°,∴∠DEF+∠AEB=∠ABE+∠AEB=90°.∴∠ABE=∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)当点E位于AD的中点处时,△ABE,△BEF,△DEF这三个三角形都相似.作EG⊥BF于G.∵△EBF∽△ABE,∴∠ABE=∠EBF.又∵∠A=90°,EG⊥BF,∴EG=EA.同理可得ED=EG.∴AE=ED,即E是AD的中点.(3)当△CBF∽△EBF∽△ABE∽△DEF时,∠CBF=∠EBF=∠ABE=∠DEF=30°.∴易得AE=由(2)知AD=2AE=∴∵易得DF∴DF=∵在矩形ABCD中,CD=AB,∴DF13∴第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法1.B2.A3.A4.A5.486.(1)【证明】∵CD是边AB上的高,∴∠ADC=∠CDB=90°.又‘∵CD²=AD⋅BD,∴∴△ACD∽△CBD,(2)【解】∵△ACD∽△CBD,∴∠A=∠BCD.在△ACD中,∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.7.A【点拨】连接AB,CD,如图.由网格图可知AG=2,BG=1,DH=2,CH=4,∴BGDH

又∵∠AGB=∠CHD=90°,∴△AGB∽△CHD.∴∠BAG=∠DCH.∵AG∥CH,∴∠GAC=∠HCA.∴∠BAO=∠DCO.又∵∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD.∴∴AO=∴AO=∵AC=∴AO=故选A.8.C【点拨】由勾股定理得AB=A当AQ:AC=AP:AB时,∵∠PAQ=∠BAC,∴△APQ∽△ABC.此时t:4=当AQ:AB=AP:AC时,∵∠PAQ=∠CAB,∴△APQ∽△ACB.此时t:5=(5-t):4,∴t=综上所述，当t209₉259.4【点拨】∵在△ABP与△CDP中,∠BAP=∠DCP,∠APB=∠CPD,∴△ABP∽△CDP.∠ABP=∠CDP,∴∠ADO=∠CBO,又∵∠OAD=∠OCB,∴△OAD∽△OCB.∴又∵∠AOC=∠DOB,∴△AOC∽△DOB.∵在△PAC与△PBD中,∠P=∠P,∴△PAC∽△PBD.综上所述，图中的相似三角形有4对：△ABP∽△CDP，△OAD∽△OCB,△PAC∽△PBD,△AOC∽△DOB.10.(1)【证明】∵四边形ABCD为正方形,∴AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°.又∵AE=ED,∴∵DF=∴AE∴△ABE∽△DEF.(2)【解】∵四边形ABCD为正方形,∴ED∥BG.∴∠DEF=∠CGF,∠EDF=∠GCF.∴△DEF∽△CGF.∴又∵DF=1∴CF=∴∴BG=BC+CG=6+9=15.11.(1)【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°,∠ACB=∠ACD=45°.又∵EG∥BC,EF∥CD,∴四边形EFCG是矩形.∴EF⊥BC,EG⊥CD.∴EF=EG(角平分线的性质).∴四边形EFCG是正方形.(2)【解】∵四边形ABCD,四边形EFCG都是正方形,∴易得AC∴∠ACE=∠DCG,∴△ACE∽△DCG.∴第3课时三边成比例的判定方法1,D2.B3.A4.D5.【解】相似，理由如下：∵AB=DE=1,EF=∴

∴∴△ABC∽△DEF.6.D【点拨】如图①,易得ABD如图②，易得ABD如图③，易得BCAB如图④，易得ABD如图⑤，易得ABBC∴符合条件的格点D的个数是5个.故选D.7