(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(有答案解析)(1)-2

一、选择题1．已知点是的重心，，若则的最小值是（）A． B． C． D．2．过点的直线与函数的图象交于，两点，为坐标原点，则（）A． B． C．10 D．203．已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，﹣1），点N的坐标满足,则的最大值为（）A．2 B．1 C．0 D．－14．已知非零向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（）A． B． C． D．5．已知非零向量，夹角为，且，,则等于（）A． B． C． D．6．在矩形ABCD中，||＝6，||＝3.若点M是CD的中点，点N是BC的三等分点，且BN＝BC，则·＝（）A．6 B．4 C．3 D．27．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．在方向上的投影为8．在中，，，，的垂直平分线交于，则（）A． B． C． D．9．在中，，圆O是的内切圆，且与BC切于D点，设，，则（）A． B．C． D．10．已知向量，若，则与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．11．已知为等边三角形，则()A． B． C． D．12．在边长为2的菱形ABCD中，，点E是AB边上的中点，点F是BC边上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13．如图，正方形的边长为2，是以为直径的半圆弧上一点，则的最大值为______．14．在梯形中，，，，，动点P和Q分别在线段和上，且，，则的最大值为______.15．已知向量，，且，若，均为正数，则的最小值是__________.16．已知|，点在内，且，设，则等于．17．向量，，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量与共线，则________．18．已知向量，若与平行，则实数m等于______.19．如图，在四边形中，，，，，若M，N是线段上的动点，且，则的取值范围为_________．20．已知平面向量，满足，与的夹角为120°，则的最大值是_______.三、解答题21．在中，，，，D为边的中点，M为中线的中点.（1）求中线的长；（2）求与的夹角的余弦值.22．已知，，其中.（1）求向量与所成的夹角；（2）若与的模相等，求的值（为非零的常数）.23．设，.（1）若，求实数的值；（2）若，且，与的夹角为，求，的值.24．如图，在正中，，，分别是、边上一点，并且，设，与相交于．（1）试用，表示；（2）求的取值范围．25．已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ的余弦值.26．中，点、、.（1）若为中点，求直线所在直线方程；（2）若在线段上，且，求.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先根据重心得到，设，利用数量积计算，再利用重要不等式求解的最小值，即得结果.【详解】点是的重心，设D为BC边上的中点，则，因为设，则，即，故，即，当且仅当时等号成立，故的最小值是.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.2．D解析：D【分析】判断函数的图象关于点P对称，得出过点的直线与函数的图象交于A，B两点时，得出A，B两点关于点P对称，则有，再计算的值．【详解】，∴函数的图象关于点对称，∴过点的直线与函数的图象交于A，B两点，且A，B两点关于点对称，∴，则．故选D．【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．3．A解析：A【分析】根据题意可得，＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l0：2x﹣y＝0，然后把直线l0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置．【详解】根据题意可得，＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC阴影部分：做直线l0：2x﹣y＝0，然后把直线l0向可行域内平移，到点A时Z最大，而由可得A（1，0），此时Zmax＝2．故选：A．【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。4．B解析：B【解析】因为在方向上的投影与在方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为，则，又由且，所以，故选B.5．A解析：A【分析】根据数量积的运算，两边平方即可求解.【详解】,,，夹角为,,,解得：，故选：A【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.6．C解析：C【分析】根据向量的运算法则，求得，，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得，，所以.故选C．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．D解析：D【分析】利用，判断出A错误；由结合平面向量的基本定理，判断出选项B错误；以为原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出的值，判断出选项C错误；利用投影的定义计算出D正确．【详解】由题为中点，则，，所以选项A错误；由平面向量线性运算得，所以选项B错误；以为原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，，，，，，设，，，，，所以，，解：，，所以选项C错误；，，在方向上的投影为，故选：D．【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．8．C解析：C【分析】由的垂直平分线交于，且可得为等腰直角三角形，且，；进而由可求出的长，从而求出的值.【详解】解：因为的垂直平分线交于、，所以为等腰直角三角形，，，在中，，，，所以，所以，，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.9．B解析：B【分析】由题得三角形是直角三角形，设，设求出，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为，所以是直角三角形，设如图，设由题得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．A解析：A【分析】根据向量平行，由平面向量的坐标运算列方程求出k的值，再利用平面向量夹角公式求解即可.【详解】因为且，所以，，，故选：A.【点睛】本题主要考查向量平行的性质，考查了平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式的应用，属于基础题.11．B解析：B【分析】判断两向量夹角容易出错，是，而不是【详解】由图发现的夹角不是而是其补角，【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.12．D解析：D【分析】把用表示，由三点共线把用表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围．【详解】∵菱形ABCD边长为2，，，∴，，∵E是AB边上的中点，∴，点F是BC边上，设（），则，，∵，∴．故选：D.【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点引入参数：（），这样所求数量积就可表示为的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．二、填空题13．6【分析】先建立平面直角坐标系再表示出点的坐标接着表示出最后求求得最大值即可【详解】解：以点为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向建立平面直角坐标系如图则由图可知以为直径的圆的方程为：参数方向：因为解析：6【分析】先建立平面直角坐标系，再表示出点的坐标，接着表示出，，最后求求得最大值即可.【详解】解：以点为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，则，由图可知以为直径的圆的方程为：，参数方向：，因为是以为直径的半圆弧上一点，所以，（），所以，，则，当时，取得最大值.故答案为：6【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，是基础题14．【分析】由题可知据平面向量的混合运算法则可化简得到；设函数由对勾函数的性质推出在上的单调性求出最大值即可得解【详解】根据题意作出如下所示图形：∵∴又P和Q分别在线段和上∴解得设函数由对勾函数的性质可解析：【分析】由题可知，，据平面向量的混合运算法则可化简得到；设函数，，由对勾函数的性质推出在上的单调性，求出最大值即可得解.【详解】根据题意，作出如下所示图形：∵，，∴，又P和Q分别在线段和上，∴，解得..设函数，，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴，即的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．15．9【分析】根据可得然后根据利用基本不等式可求出最小值【详解】解：向量且又均为正数当且仅当即时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直和利用基本不等式求最值考查了方程思想和转化思想属于中档题解析：9【分析】根据，可得，然后根据利用基本不等式可求出最小值．【详解】解：向量，，且，，又，均为正数，，当且仅当，即时取等号，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了向量垂直和利用基本不等式求最值，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．16．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】方法一：,①又,②,③将②③代入①得：，所以，点在内，所以.方法二：以直线OA,OB分别为轴建立直角坐标系，则,设，又，得，即，解得.故答案为：3.17．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表解析：【分析】建立平面直角坐标系，从而得到的坐标，这样即可得出的坐标，根据与共线，可求出，从而求出的坐标，即得解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.18．【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与然后利用向量共线的坐标表示列式求解【详解】解：由向量和所以由与平行所以解得故答案为：【点睛】本题考查了平行向量与共线向量考查了平面向量的坐标运算属于基础题解析：【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与，然后利用向量共线的坐标表示列式求解．【详解】解：由向量和，所以，，由与平行，所以．解得．故答案为：．【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．19．【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示再求取值范围【详解】如图建立平面直角坐标系当时取得最小值当时取得最大值所以的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解解析：【分析】首先以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，再求取值范围.【详解】如图，建立平面直角坐标系，，，，，，，，，当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问题.20．【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以①且②③④因为联立①②③④令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最解析：【分析】设设，，则有，，，，联立四个方程，令，整理得到，从方程有根，判别式大于等于零求得结果.【详解】设，，由题意可知，则由与夹角为，所以，①且，②，③，④因为，联立①②③④，，令，即，，整理得，将其看作关于的方程，若方程有解，则有，整理得，解得，因为，所以的最大值是，故答案为：.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下：（1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积；（2）根据向量数量积运算法则求得其结果；（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.三、解答题21．（1）；（2）.【分析】（1）由于，进而根据向量的模的计算求解即可；（2）由于，，进而根据向量数量积得，故.【详解】解:（1）由已知，，又，所以，所以.（2）由（1）知，，所以，从而.，所以.解法2：（1）以点A为原点，为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建系，则，，，因为D为边的中点，所以，，所以.（2）因为M为中线的中点，由（1）知，，所以，所以，，所以.【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量，进而根据向量模的计算公式计算.22．（1）；（2）.【分析】（1）先求出，利用数量积运算法则可求得，从而证得结论；（2）利用向量坐标运算求得和，利用模长相等可求得，根据角的范围可确定最终取值.【详解】（1）由已知得：，则：，因此：，因此，向量与所成的夹角为；（2）由，，可得，，，，，整理可得：，即：，，，即，，因此：，即：.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，根据向量模长相等关系求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握向量的坐标运算，属于中档题.23．（1）；（2），或，.【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.【详解】