2022年上海市高考数学总复习：立体几何（附答案解析）

2022年上海市高考数学总复习：立体几何

1.如图，在四棱锥尸-ABCO中，底面ABCO为正方形，布_1_底面48C。，PA=AB,E为

尸8的中点，尸为线段BC上的动点.

(I)求证：平面4EF_L平面P8C；

(II)求二面角P-DC-E的余弦值.

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2.如图，在四棱锥S-A8CO中，底面ABC。为矩形，△SAD为等腰直角三角形，SA=SD

=2A/2,AB=2,户是BC的中点，二面角S-AO-B的大小等于120°.

(1)在AO上是否存在点E,使得平面SEF_L平面A8CQ,若存在，求出点E的位置;

若不存在，请说明理由；

(2)求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.

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3.如图，三棱锥E-8。中，△ECO为正三角形，平面ECO平面。CD,BC=DC=^BD

=2,M,N分别是线段£。和8。的中点.

(I)求点C到平面BOE的距离；

(II)求直线EN与平面MCB所成角的正弦值.

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4.如图，在三楂柱48C-48cl中，平面平面ABC,/XABC和△Ah4C都是正

三角形，。是4B的中点

(1)求证：BG〃平面Ai£>C；

(2)求直线48与平面OCG所成角的正切值.

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5.如图，在等腰直角三角形4。尸中，已知A=%,AO=3,B,C分别是A尸，。尸上的点,

E是C。的中点，KBC//AD.现将△PBC沿BC折起，使得点P在平面A8C。上的射影

为点A.

(1)若8,。分别是4P、OP的中点，求证：平面用C_L平面PCD

(2)请判断是否存在一种折法,使得直线PR与平面ARCD所成角的余弦值是直线PR

与平面外上所成角的正弦值的"倍？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由.

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6.在直三棱柱ABC-43cl中，N84C=90°,AC=AB=AA\=2f设点M,N,P分别是

AB,BC,0Ci的中点.

(I)证明：A4i〃平面PMN；

(ID若。为A4i上的动点，试判断三棱锥P-QMN的体积是否为定值？并说明理由.

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7.在多面体ABCCMiBi中，四边形A8814为菱形，BC//B\C\,BC=\B\C\,A\C\=A\A,

ABLBiC,N3]6A=60°,平面A83|Ai_L平面ABC.

(1)在棱人5上是否存在点0,使得48_1_平面8|。。？若存在，请给予证明；若不存在,

请说明理由.

(2)求二面角G-AC-B的正弦值.

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8.在四棱锥P-ABC。中，侧面以。_1_底面ABC。，PA=AD=DC=f),AC=6或，A8=3,

CD〃平面BAB,ZP4D=60°.

(I)求证：平面PCZXL平面PBC：

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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9.如图，己知四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且平面SAOJ_平面ABCD,M,

N分别为棱4。，BC的中点，SA=SD,SA.LSD,P,Q为侧棱SO上的三:等分点（点尸

靠近点S）.

（1）求证：PN〃平面MQC：

（2）求多面体MPQCN的体积.

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10.如图，四边形M4BC中，ZXABC是等腰直角三角形，ACA.BC,/XMAC是边长为2的

正三角形，以4c为折痕，将AMAC向上折叠到△D4C的位置，使点。在平面ABC内

的射影在A8上，再将△MAC向下折叠到△E4C的位置，使平面£AC_L平面A8C,形成

几何体DABCE.

(1)点F在BC上,若。尸〃平面E4C,求点尸的位置；

(2)求直线48与平面E8C所成角的余弦值.

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11.如图，直三棱柱BC/中，。为EH的中点，AB=BF,BF_CF,AB=BF=CF=

2.

(I)求证：AF-LBH；

(ID求平面AOC与平面ABC所成角的余弦值.

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12.在如图所示的几何体中，四边形48co是菱形，NB4D=120°,AE_L平面ABC。，AE

//CF.

(1)求证：。尸〃平面ABE；

(2)若AO=AE=2Cr=2,求该几何体的表面积.

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13.如图，在四棱锥P-ABCD中，△附。是等边三角形，平面以DJ■平面ABCD,底面

ABCD是直角梯形，AD//BC,已知AD=2BC=4,ZBAD=60°.

(I)若E为雨的中点，求证：BE〃平面PCQ：

(II)求二面角B-PC-D的正弦值.

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14.已知在平行四边形4BC。中，A£>=2,AB=y/3,ZADC=如图，DE//CF,且OE

=3,CF=4,ZDCF=且平面ABC。J_平面。E/.

(I)求证：ACJ•平面CDEF；

(II)求二面角。-AE-C的余弦值.

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15.如图，已知四棱锥P-ABC。中，AD//BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=W，

ZADC=60°.

(1)求证：BPLCD；

(2)若BP=VL求直线PC与平面出。所成角的正弦值.

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16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△%。是等边三角形，平面％D_L平面ABCD,底面

是直角梯形，AD//BC,已知4D=28c=4,ZBAD=60°.

(I)若E为的中点，求证：BE〃平面PCQ；

(II)求四棱锥P-ABCD的体积.

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17.如图，在直三棱柱ABC-46cl中，AB=BC=AA\fABA.BC,。为A8的中点，上为

BC上一点,满足CE=2E3.

(1)求证：4c〃平面BiDE：

(2)求二面角Bi-A\C-Ci的余弦值.

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18.已知在平行四边形ABC。中：40=2,AB=V3,NAOC=*如图，DE//CF,且OE

=3,CF=4,ZDCF=p且平面48CD_L平面CQEF.

(I)求证：AC_L平面CDEF；

(II)求四棱锥尸-4BCD的体积.

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19.如图所示，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形,AB=AE=BC=1AD=1,

BC//AD,AE_L平面ABC。，ZBAD=90°,N为OE的中点.

(1)求证：NC〃平面EAB；

(2)求二面角A・CN・D的余弦值.

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20.如图，在多面体4BCOE/中，四边形ABC。、四边形ACFE均为菱形，ZBAD=ZEAC

=120°.

(1)求证：平面8。尸"L平面ACFE；

(2)若BE=DE,求二面角C-3尸-E的余弦值.

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21.如图所示，在三棱锥ABC。中，AB=BC=BD=2,4。=2』，NCBA=NCBD=^,点

E,尸分别为A。，80的中点.

(I)求证：平面ACOJ_平面BCE；

(II)求四面体CDE/的体积.

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22.如图，在棱长为3的正方体中，过顶点作平面a交A4于E点，交BBi于F点、,使

得4E=1,BF={.

(I)求证：AC〃平面a；

(II)求点。到平面a的距离.

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23.已知△ABC,AB=BC,NCE4=60°,沿着边C8把△ABC进行翻折，使平面48c与

平面£>BC垂直，△D8C可由△ABC翻折得到.回答下列问题.

（I）直线AC与平面A8。所成角的余弦值；

（II）二面角A-BD-C的余弦值.

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24.如图，四棱锥P-ABCD,底面四边形ABCO为梯形，且满足AD=1,AB=CD=3,BC

=4且PD_L底面A8CD.设平面力。与平面PBC的交钱为/.

(I)求/与平面POC所成的角；

(II)己知PO=1,求平面砂18与平面PDC所成的锐二面角的余弦值.

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25.如图，在三棱台ABC-A'B'C中，已知平面ABB'A'J_平面ABC,AC1BC,Z

CBA=*四边形AB5'A'是等腰梯形，AB-2A'B'-2BB',E,尸分别为AB,A'

c的中点.

(1)求证：EF1AC；

(2)求直线"与平面ACC'4'所成角的正弦值.

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26.如图，△ABC为正三角形，半圆。以线段8C为直径，。是能上的动点(不包括点8,

C),平面平面BCD.

(1)是否存在点。，使得BQ_L4C?若存在，求出点。的位置；若不存在，请说明理由.

(2)若NC5O=30°,求二面角AO-C的余弦值.

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27.如图，△48C是正三角形，D,E,产分别是线段AB,BC,AC的中点，现将AA。产和

△CE户分别沿着。尸，E尸折起，使得4。两点在P点重合，得到四棱锥尸-B£7%>.

(1)证明：平面PB尸_L平面BEFDx

(2)设正三角形A8C的边长为4,求三棱锥尸的体积.

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28.如图，在四棱锥尸-A8CO中，底面A8CO为正方形，△以。为等边三角形，平面BAD

_L平面PCD.

(I)证明：直线CZ)_L平面以

(II)若A3=2,。为线段P3的中点，求三棱锥。PCD的体积.

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29.如图，在四棱锥P-ABC。中，AD//BC,ADLAB,并且BC=2AD=2AB=2,PM=察

点P在平面ABCD内的投影恰为BD的中点M.

(I)证明：BP_L平面尸8；

(II)求点A到平面PCO的距离.

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30.如图，在四棱锥P-A8CD中，已知以，平面ABCD,且四边形A8C。为直角梯形，Z

ABC-zlBAD=^AD-2,AB-BC-X.

(1)当四棱锥P-ABC。的体积为1时，求异面直线AC与PD所成角的大小；

(2)求证：CD_L平面以C.

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31.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=BD=2,4。=2百，NCBA=4CBD=

点E,尸分别为4。，8力的中点.

(I)求证：E尸〃平面A8C；

(II)求平面BCE与平面AC尸所成锐二面角的余弦值.

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32.如图，在四棱锥P-48CO中，AD//BC,ADA.AB,并且BC=2AO=2AB,点P在平

面ABCD内的投影恰为BD的中点M.

(I)证明：。。，平面必。：

(II)若PM=A。，求直线以与。所成角的余弦值.

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33.如图，在三棱锥P-4BC1中，B4_L底面ABC,△ABC是边长为2的正三角形，侧棱尸B

与底面所成的角为

4

(1)求三棱锥P-ABC的体积V;

(2)若。为P8的中点，求异面直线以与CO所成角的大小.

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34.如图1,在三棱柱ABC-4及。中，已知AB=AC=\fAA\=2,且44_1_平

面43C,过4,Ci，B三点作平面截此三棱柱，械得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.

（I）求异面直线8。与A4i所成角的大小（结果用反三角函数表示）;

（2）求四棱锥B-ACGAi的体积和表面积.

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35.如图，在矩形ABC。中，将△ACO沿对角线AC折起，使点。到达点E的位置，且AE

.LBE.

(1)求证：平面平面4BC；

Q1r

(2)若BC=3,三棱锥8-4EC的体积为:，求点上到平面4BC的距离.

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36.如图，在直三棱柱ABC-A151cl中，△A8C是正三角形，点。在棱上，且58[=

3B\D,点E为aCi的中点.

(1)证明：平面41。£\1_平面8。。由1；

(2)若BBT=3A,48=2,求点C到平面4OE的距离.

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37.如图所示，在直三棱柱ABC-AdiG中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA

=CB=CCi=2.点D,功分别是棱AC,ACi的中点.

(1)求证：D,B,Bi，D\四点共面；

(2)求直线BC\与平面DBBiDi所成角的大小.

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38.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABCD是等腰梯形,A8〃。,CD=2AB=4,AD=瓜

△SCD是等腰宜角三角形，SC=SD,SA=3.

(I)证明：平面SCO_L平面4BCZ)；

(II)若平面SAD与平面SCB的交线为I,求二面角C-1-D的余弦值.

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39.如图，在矩形ABC。中，将△AC。沿对角线AC折起，使点。到达点E的位置，且AE

-LBE.

(1)求证：平面A8E_L平面4BC：

(2)若石8=夕，三棱锥B-AEC的体积为三一,求二面角E-AC-8的余弦值.

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40.如图，在三棱柱ABC-A由1。中，P,Q分别是AAi，CB上一点，且AP=2%],CQ

=2QB.

(1)证明：AQ〃平面CPBi；

(2)若三棱柱A8C-48C1为直三棱柱，且A4i=3,BC=BA=V15,AC=26求点

B到平面CPBT的距离.

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41.如图，在四棱锥尸-A8CD中，底面48C。是正方形，AB=2,PO_L平面4BCD,PB

与底面488所成的角为45°,过AD的平面分别与PC交于点E,F.

(I)求证：EF±DC；

2V2IPEI

(II)若二面角P-4O-E所成角的余弦值为亍’求函的值.

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42.在四棱柱/WCO-44iCi£>i中，四边形48co是平行四边形，AA\=AC=\,ZABC=

30°,BC=2,平面ANWAiJL平面4BCD,M,N分别为4C，的中点.

(I)求证：MN〃平面AiBCi；

(II)若cosN4CB=*,求二面角C-MN-。的余弦值.

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43.如图所示，三棱柱ABC-AIBCI中，平面4CCi4_L平面ABC,AA|_LAC,AA\=AB=

BC=2,D,Di分别为AC,AiG的中点，且NR4C=30°.

(I)求证：O£>i_L8C；

(II)求二面角Bi-DA\-Ci的余弦值.

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44.如图，四棱锥P-A8CO的底面为正方形，PC=PA=^PD=V5AD.E,尸分别是出,

P。的中点.

(1)证明：E/_L平面PCD；

(II)求二面角A-CE-F的余弦值.

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45.如图，在四棱锥尸-ABCD中，等边三角形以。所在平面与梯形ABC。所在平面垂直,

且CD//AB,AD=BD=2,DC=y8=V2,点G为4PAD的重心，AC与BD交于点M.

(1)求证：GM〃平面尸8；

(2)求点C到平面P8。的距离.

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46.如图，直三棱柱4BiCi-4BC中，AB=AC=1,Z.BAC=44=4,点M为线段4A

的中点.

（1）求直三棱柱A\B\C\-ABC的体积;

（2）求异面直线8W与小。所成的角的大小.（结果用反三角表示）

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47.如图，已知直角梯形A8CD,BC//AD,BC=CD=2,AO=4,/BCD=90。，点E为

AD的中点，观将三角形ABE沿BE折叠，得到四棱锥4-BCDE,其中NAED=120°,

点M为Ab的中点.

(1)求证：AB〃平面EMC；

(2)若点N为8C的中点，求四面体WMNB的体积.

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48.如图，在三棱锥P-48C中，△ABC为正三角形，点。，E分别为AC,外的中点，其

中PA=PB=442,PC=AC=4.

(1)证明：平面BOE_L平面ABC：

V6

(2)若点〜是线段AC上异于点D的一点，直线AE与平面BEF所成角的正弦值为:

4

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49.如图，在四棱锥尸-A8CD中，四边形ABC。是梯形，AB//CD,AB_L8C,且%=P。

=BC=CD=T,AB=2,PC-V5.

(1)证明：8。_1_平面附。；

(2)求直线AO与平面PBC所成角的正弦值.

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50.在四棱锥P-45c。中，PA=PC=2,底面ABC。是菱形，AB=2g,NABC=60°.

(I)求证：ACA.PB,

(II)求四棱锥P-ABC。的体积.

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2022年上海市高考数学总复习：立体几何

参考答案与试题解析

1.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为正方形，B4_L底面A8CD,PA=AB,E为

PB的中点，产为线段BC上的动点.

(I)求证：平面4E/LL平面P8G

(II)求二面角P-DC-E的余弦值.

【解答】(I)证明：因为以=4B,E为PB中点、,所以4/工LP8,

因为出，平面A8C。，所以以J_BC,

由8C_LA8,所以8C_L平面阴B,所以3C_LAE,又AE_LPB,BCC\PB=B,

所以AE_L平面尸8C,

平面A£EL平面P8C.

(H)解：法1：取雨中点G,连结GE,GD,由GE〃A8,CO〃AB,

所以G七〃C£>,故GEu平面EDC,

因为以JL平面ABC。，所以以_LCD,

由AOJLCO,所以COJ•平面B4。，所以CO_LPD,GD1CD,

所以NPOG为二面角的平面角，

在△以。中，PG=1,PD=2yf2,GD=底所以cos/POG=

法2：以A为原点,AB,A。，AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

可得P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),E(1,0,1),

设平面PCD的一个法向量为n=(X1，yi，Z]),

平面ECO的一个法向量为就=(X2,”，Z2),

U=0,m=(o,L2),

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所以c°se=4M=零，

|时|n|10

3x/l0

即二面角尸-00£：的余弦值为17「.

2.如图，在四棱锥S-ABCO中，底面A8CD为矩形，/XSAD为等腰直角三角形，SA=SD

=2V2,4B=2,尸是8c的中点，二面角S-AO-8的大小等于120°.

（1）在4。上是否存在点E,使得平面SERL平面ABCD,若存在，求出点E的位置；

若不存在，请说明理由；

（2）求直线SA与平面S5c所成角的正弦值.

【解答】解：（1）在线段A。上存在点E满足题意，且E为AD的中点.

如图，连接EF,SE,SF,

•・•四边形A3C。是矩形，・・・43_LAO,

又E、”分别是人。、8C的中点，

：.EF//AB,ADLEF,

•・•△SAD为等腰直角三角形，SA=SD,E为A。的中点，

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：.SELAD,

•：SEC\EF=E,SE、E产u平面SE产，

，A£>_L平面SEF,

•・・AOu平面ABCD,・,・平面S£F_L平面ABCD,

故A。上存在中点E,使得平I!SEF_L平面ABC。.

.•・/SEP为二面角S-4。-3的平面角，即NSE尸=120°.

以E为原点,EA,石户所在的直线分别为％、y轴，作&J_平面ABC。，建立如图所示的

空间直角坐标系，

在等腰RtZXSAO中，SA=SD=2V2,AAD=4,SE=2,

：.S(0,-I,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),

：.SA=(2,1,-V3),SB=(2,3,-V3),SC=(-2,3,-V3),

设平面瓯的法向量煽=G,y,z),则巧理=°,即产+3y—V5j=0,

U.SC=0l-2x+3y-V3z=0

令y=l,则x=0,z=V3,An=(0>1,V3),

设直线SA与平面SBC所成角为仇

eTT昌盛1-3J2

则sin8=|cosVS4n>\=\-^-^\=\-==—\=

\SA-|n|V4+1+3X2'

故直线SA与平面SBC所成角的正弦值为”.

3.如图，三棱锥E-8CO中，△£07)为正三角形，平面ECZXL平面8CQ,BC=DC=^BD

=2,M,N分别是线段和8。的中点.

(I)求点C到平面七的距离；

(II)求直线EN与平面MC8所成角的正弦值.

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£

【解答】解：（I）'・•平面上CD_L平面8CO,且△EC。为正三角形，8=2,

点E到平面BCD的距离为代，

•・・8C=DC=¥BO=2,•••△88是等腰直角三角形，

S〉BCD=如UDC=2.

在△8OE中，BE=BD=2V2,D£=2,

:.S&BDE尸ax2xy/7=y/7.

设C到平面BDE的距离为d,

,**VE-BCD=VC-BDE^

.\!XV3X2=1XJXV7,解得

2\[21

故点C到平面BDE的距离为7-.

（ID以。为原点，CD、所在的直线分别为x、），轴，作Cz_L平面38,建立如图

所示的空间直角坐标系，

…36「

则B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,—),E(1,0,V3),N(1,

22

1,0),

TT3T

:,EN=(0,1,-V3),CM=(-,0,—),CB=(0,2,0),

22

(tr(3y[3

>5=0,即尹+^z=0,

n•CB=0(2y=0

令x=L则y=0,z=—V3,=(1»0>—V3),

设直线EN与平面MBC所成角为仇

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-»tENn33

则sin0=|cos<EN,n>|=|—~~-1=亍万=五，

|EN|-|n|NX/，

3

故直线EN与平面MBC所成角的正弦值为：

4.如图，在三棱柱ABC-AiBiG中，平面AiACG_L平面ABC,△ABC和△4AC都是正

三角形，。是AB的中点

（1）求证：8G〃平面4OC；

（2）求直线AB与平面。。。所成角的正切值.

【解答】（1）证明：连接4G，交4C于E,连接OE,

•・•四边形AiACG是平行四边形，

・•・£：是AC1的中点，

•・•£）是A3的中点,：.DE//BC\t

•・・。氏平面4。（7,BGC平面AiOC,

・・・BC〃平面4DC.

（2）解：取AC的中点0,连接AiO,BO,

•••△4BC和△AiAC都是正三角形,：.A\O±ACtBOA.AC,

■:平面A\ACC\1平面ABC,平面AiACGn平面ABC=AC,

・・・4O_L平面ABC,，AiO_LB。，

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以。为原点，OB、OC、OA\所在直线分别为x、y、2轴建立如图所示的空间直角坐标系,

—V31

设4c=2,则A（0,-1,0）,B（V3,0,0）,C（0,1,0）,D（―,-一0）,C\（0,

22

2,V3),

35

X✓X

TLTV3O1=(J

一-

••AB=(V3,1,0),CD=(—，—27V-2Z

2

3

✓T-O

cf-y

1n=

即2

Z)*

设平面DCC\的法向量为n=(x,y,1T'TD15

nDg=

X+-

2

令x=3,则y=V5,z=・1,An=(3,V3,-1),

设直线A8与平面DCCi所成的角为。,则sin。=|cos<AB,n>\=|一一\=|-y.==|=

\AB\\n\2XV9+3+1

2/3

/.tan0=2\/3,

故直线AB与平面DCCi所成角的正切值为26.

5.如图，在等腰直角三角形AOP中，己知AO=3,B,C分别是AP,OP上的点,

七是CO的中点，KBC//AD.现将△PBC沿8c折起，使得点尸在平面A8CO上的射影

（1）若B,C分别是AP、。P的中点，求证：平面以CJ_平面PCD

（2）请判断是否存在一种折法，使得直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB

与平面所成角的正弦值的等倍？若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由.

【解答】（1）证明：•・•点尸在平面A8CO上的射影为点A,

，用J_平面ABCO,

•••CDu平面ABC。，・••用_LCD,

•・•等腰RtZXAOP,且。为。尸的中点,

/.AC±CD,

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・.・B4nAe=A,BA、ACu平面BAG

...CD_L平面PAC,

又CQu平面PC。，・•・平面B4C_L平面PCD

(2)解：•••m_1平面”。，

・・・NA8P为直线尸8与平面4BCD所成的角，设其大小为a,则cosa=嚣

过点8作3M_LAE,交4E于点M,连接PM,

•・•雨_L平面48cO,：,PALBM,

又AEGB4=A,AE.%u平面抬E,

・・・80_1_平面PAE,

NBPM为直线PB与平面PAE所成的角，设其大小为p,则sinp二墨,

•・•直线尸8与平面48。所成凭的余弦值是直线PB与平面以E所成角的正弦值的拶倍,

:.cosa=^|^sinp,即AB=专%M,

设A8=l(0</<3),则BM=言r,DE=1cD=|PD=冬，

设NA8M=NQAE=0,

DE—

在△4QE中，由正弦定理知,

sinz.DAEsinZ.AED

得sink占。s。,

sindsin(—■-。)

*.*sin20+cos20=I»且(0,—

2

・c6—t

..COS0=1,^=>

J2产-121+36

，3M=1«6T),

j2t2-12t+36

又BM=

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・•・rJ6二？=高,化简整理得，2?+/-3=0,解得/=1或一，(舍负)，

，2^-12£+36V262

故当AB=l时，直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB与平面PAE所成角的

正弦值的手倍.

6.在直三棱柱A5C-4B[C]中，N8AC=90°,AC=AB=AA\=2t设点M,N,P分别是

AB,BC,BiCj的中点.

(I)证明：〃平面PMN；

(ID若。为A4i上的动点，试判断三棱锥P-QMN的体积是否为定值？并说明理由.

【解答】(I)证明：1点M,N,P分别是A8,BC,5C1的中点，，PN〃CCi,

又・.・M〃CCi，・"Ai〃PN,

•・・44|《平面尸的，PNu平面PMN,

，A4i〃平面PMN；

(II)解：如图，连接4MAP,

根据等体积法可知，Vp-QMN=VQ-PMN，

由(I)可知，A41〃平面PMN,

又。为A4上的动点，AV0-PMN=VA-PMN=Vp-AMN，

S4AMN=2X1X1=2，

即Vp-QMN=VQ-PMN=VA-PMN=Vp-AMN=1X2X|=

・•・若。为AAl上的动点，则三棱锥P-QMN的体积定值点

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1

7.在多面体ABCCiAiBi中，四边形ABBiAi为菱形，BC//B\C\,BC=^B\C\,AiG=44,

ABLBiC,ZB\BA=60°,平面ABBMi1•平面ABC.

(1)在棱A5上是否存在点O,使得AB_L平面8iOC?若存在，请给予证明：若不存在,

请说明理由.

(2)求二面角G・4C・8的正弦值.

【解答】解：(1)在棱AB上存在点O(。为棱AB的中点)，使得A8_1_平面810c.

理由如下：

连接43，•・•四边形为菱形，且NB]8A=60°,

•••△A8]8是等边三角形，

又。为48的中点，：.BiO±AB,

VA51S1C,B\OQB\C=BitBQu平面BiOC,BiCu平面BiOC,

・"B_L平面BiOC.

(2)由(1)知，AB_L平面BOC,・・・AB_LOC,

又平面ABBA_L平面ABC,平面ABB\A\n平面A8C=48,

・・・OC_L平面A8814，OCLBQ,

以O为坐标原点，OB,OC,所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

取81cl的中点£连接CE,由题意知几何体ABC-是三棱柱，

取中点D,连接DE,则OCIIDEII

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设/Vh=2,则O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),B\(0,0,V5),Al(-

2,0,V3),

：.OCX=0%]+B工i+A，i=OBX+20A+2OC=(0,0,V3)+2(-1,0,0)+2(0,

1,0)=(-2,2,V3),

ACi(-2,2,V3),AC=(1,1,0),ACX=(-1,2,V3),

设平面ACCi的法向量瓶=(x.y,z),

则pg=>+y=。，取L],得薪=(],・],V3),

m-AC1=-x+2y+V3z=0

平面48。的一个法向量％=(0,0,1),

设一面角Ci-AC-A的平面角为a

则8,9=黯=强疝0=)T

Vio

・•・二面角Ci-AC-B的正弦值为《一.

8.在四棱锥尸-ABCO中，侧面秒1O_L底面4BCO,PA=AD=DC=6,AC=6a,AB=3,

CO〃平面雨&ZMD=60°.

(I)求证：平面PC£>_L平面P8C；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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D

B

222

【解答】解：（I）证明：*：AD=DC=6,AC=6V2,：.AD+DC=ACf：.ADA.DC,

•・•侧面底面ABCD,侧面外。0底面ABCD=AD,

・・・CO_L平面BA。，:POu平面力。，：.CDLPD,

取PC和OC的中点分别为M和N,连接MMBM,

则MN〃2。，:,CDLMN,

•.•CO〃平面必从C。〃平面ABCQ,平面以80平面48co=48,

:.CD〃AB,

•・・48=NO=3,・•・四边形A8NZ）为平行四边形，

：.BN//AD,:・CDLBN,

•:BNCMN=N,，CD_L平面8MN,

•・,5Mu平面5MM:.CD工BM,

•••8_1_平面以。，且孙u平面雨。，

：,ABLPA,即△网8为直角三角形，PB=&2+32=3后

•:PB=BC,且M是PC的中点，工PC工BM,

VFCflCD=C,平面PC。，

•；BMu平面PBC,，平面PCD_L平面PBC.

（II）在△%。中，=40=6,ZMD=60°,

•••△布。为等边三角形，PD=6,

取AD的中点。，连接P0,，尸。_LAO,且尸。=V62-32=3显,

•・•平面B4OJ•平面4BC。，平面外。n平面A8CO=4D,・・.PO_L平面ABC。，

过点P作PHJLBC,交BC于点H,连接OH,

则NPHO即为三面角P-BC-O的平面角，

•:PD=CD=6,CD±PD,•••△PDC为等腰直角三角形，

PC=VCD2+PD2=V62+62=6A/2,

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•・•由（I）知PB=BC=3>/5,M为尸。的中点，・・・BM_LPC,

在RtZXBMC中，BM=y/BCz-MC2=J（3图z_©⑨2=3同

在△PBC中，S^PBC=^xBMxPC=^PHBC,

解得PH=等，

,i•“sP0373/IO

则m倒11/p"°=而=返=',

-s-

•••氐△尸"。中，NPHO为锐角,

/.cosZPHO=洛

4

V6

・・・二面角P-8C-。的余弦值为了.

4

9.如图，已知四棱锥S-A8CO的底面是边长为2的正方形，且平面SADJ•平面ABCD,M,

N分别为棱40,BC的中点，SA=SD,SALSD,P,Q为侧棱上的三等分点（点P

靠近点S）.

（1）求证：PN〃平面MQC；

（2）求多面