新教材2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册同步练习：第九章 统计

单元素养评价（四）（第九章）

（120分钟150分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是

A.为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率

B.为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间

C.为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况

D.为了考察一片实验田某种水稻的穗长情况

【解析】选B.A做普查时数量太大，且该调查对调查结果准确性的要求

不高，适合采用抽样调查的方式;B班级人数有限，比较容易调查因而适

合普查;C数量大并且时间长，不适合普查;D普查时数量太大，要费太大

的人力物力，得不偿失，不适合普查.

2.某公司生产A,B,C三种不同型号的轿车,其产量之比为2：3：4,为

检验该公司的产品质量,用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样

本,若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆,则n=

A.96B.72C.48D.36

32

【解析】选B.由题意得-n-n=8,所以n=72.

99

【补偿训练】

某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法

抽取样本.某中学共有学生2000名，从中抽取了一个容量为200的样

本,其中男生103名，则该中学共有女生为

A.1030名B.97名

C.950名D.970名

【解析】选D.由题意，知该中学共有女生2OCX)”。一】咚970(名).

200

3.从某一总体中抽取一个个体数为200的样本,得到分组与频数如下：

[10,15),6;[15,20),8;[20,25),13;[25,30),35;[30,35),46;[35,40)

,34;[40,45),28;[45,50),15;[50,55),10;[55,60],5.则样本在

[35,60]上的频率是

A.0.69B.0.46

C.1D.不存在

【解析】选B.由题可知，样本在[35,60]上的频率应为

(34+28+15+10+5)4-200=0.46.

4.2019年高考某题的得分情况如下:

得分/分01234

百分率37.28.20.

8.66.0

/%022

其中众数是

A.37.0%B.20.2%C.0分D.4分

【解析】选C.众数出现的频率最大.

【补偿训练】

某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人,得95分的有1

人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各有1人,

则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

【解析】选C.因为得85分的人数最多，为4人，所以众数为85,中位数

1

为85,平均数为一(100+95+90X2+85X4+80+75)=87.

5.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选

项中不超过21%的为

A.网易与搜狗的访问量所占比例之和

B.腾讯和百度的访问量所占比例之和

C.淘宝与论坛的访问量所占比例之和

D.新浪与小说的访问量所占比例之和

【解析】选A.本题考查扇形统计图中部分占总体的百分比的大小.由访

问网站的扇形比例图得，网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%,不

超过21%;腾讯和百度的访问量所占比例之和为23%,超过21%;淘宝与

论坛的访问量所占比例之和为22%,超过21%;新浪与小说的访问量所占

比例之和为22%,超过21%.

2

6.若数据Xi,x2,­■•,Xn的平均数为北方差为S,则3xi+5,3x2+5,…，3x„+5

的平均数和标准差分别为

A.X,s

B.3%+5,s

C.3x+5,3s

D.3x+5,V9s2+30s+25

【解析】选C.因为Xi,X2,…，净的平均数为五

所以3x1+5,3x2+5,…，3xn+5的平均数为3x+5,

s'2二—[(3xi+5-3%-5)…+(3x+5-3x-5)2]

nn

=-X32[(X-Z)2+—+(x-x)2]=9s2.

nn

所以s'=3s.

7.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75.

后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得了80分却记成了50分,

乙实际得了70分却记成了100分,则更正后的平均分和方差分别为

A.70,75B.70,50

C.70,1.04D.60,25

【解析】选B.注意到平均数没有变化，只是方差变动.更正

-1

前,s2=—X[…+(50-70)2+(100-70)2+…]=75,更正

48

1

后，s'2=—X[•••+(80-70)2+(70-70)2+-]=50.

48

8.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内

没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不

超过7人”.根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,

一定符合该标志的是

A.甲地:总体均值为3,中位数为4

B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0

C.丙地：中位数为2,众数为3

D.丁地:总体均值为2,总体方差为3

【解析】选D.由于甲地总体均值为3,中位数为4,则可能某一天新增疑

似病例超过7人，则甲地不一定符合该标志；由于乙地总体均值为1,总

体方差大于0,则可能某一天新增疑似病例超过7人，则乙地不一定符

合该标志；由于丙地中位数为2,众数为3,则可能某一天新增疑似病例

超过7人，则丙地不一定符合该标志；对于丁地总体均值为2,假设某一

天新增疑似病例超过7人，则总体方差大于一X(8-2)2=3.6,但是已知

10

总体方差为3,则丁地一定符合该标志.

二、多选题(每小题5分，共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得

3分,有选错的得。分)

9.某地区某村前三年的经济收入分别为100万元,200万元,300万元,

其统计数据的中位数为x,平均数为y,经过今年政府新农村建设后，该

村经济收入在上年基础上翻番，则在这四年里收入的统计数据中，下列

说法不正确的是

A.中位数为x,平均数为1.5y

B.中位数为1.25x,平均数为y

C.中位数为1.25x,平均数为1.5y

D.中位数为1.5x,平均数为2y

【解析】选ABD.依题意，前三年经济收入的中位数x=200,平均数

100+200+300

y=■=200,第四年收入为600万元，故这四年经济收入的中位

3

200+300

数为-250=1.25x,

2

平均数为100+200+300+600=300=15y.

4

10.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5

分,分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图,例如图中甲的

数学抽象指标值为4,乙的数学抽象指标值为5,则下面叙述正确的是

数学抽象

——学生甲

—学生乙

数据分析逻辑推理

数学运算数学建模

直观想象

A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值

B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值

C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平

D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值

【解析】选AC.对于A,甲的逻辑推理能力指标值为4,优于乙的逻辑推

理能力指标值3,故A正确；对于B,甲的数学建模能力指标值为3,乙的

直观想象能力指标值为5,所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学

建模能力指标值，故B错误；对于C,甲的六维能力指标值的平均值为

123

-X(4+3+4+5+3+4)=—,乙的六维能力指标值的平均值为

66

123

-X(5+4+3+5+4+3)=4,—<4,故C正确；对于D,甲的数学运算能力指标值

66

为4,甲的直观想象能力指标值为5,所以甲的数学运算能力指标值不优

于甲的直观想象能力指标值，故D错误.

11.设矩形的长为a,宽为b,其比满足b:a=—^0.618,这种矩形给人

2

以美感,称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中.下面是某工

艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639

乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值0.618比较,

不正确的结论是

A.甲批次的总体平均数与标准值更接近

B.乙批次的总体平均数与标准值更接近

C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

【解析】选BCD.计算可得甲批次样本的平均数为0.617,乙批次样本的

平均数为0.613,由此估计两个批次的总体平均数分别为0.617,0.613,

则甲批次的总体平均数与标准值更接近.

12.对“小康县”的经济评价标准：

①年人均收入不小于7000元；

②年人均食品支出不大于收入的35%.

某县有40万人，调查数据如下：

年人均2468

0100001200016000

收入/元000000000000

人数/万

63556753

人

人数/万人

3

0二

9

二

5

3一

0，

品支出/元

则该县

A.达到标准①,未达到标准②

B.达到标准②,未达到标准①

C.是小康县

D.不是小康县

【解析】选AD.由图表可知：年人均收入为7050〉7000,达到了标准①;

年人均食品支出为2695,而年人均食品支出占收入的

2sgc

--X100%n38.2%>35%,未达到标准②,所以不是小康县.

7050

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如表（每名同学只参加一个小

组）（单位:人）

篮球组书画组乐器组

高一4530a

高二151020

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样,

从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人,

则a的值为.

12

【解析】由题意知,-----=-----，解得a=30.

45+15120+a

答案：30

14.某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数

为，20%分位数为.

分数54321

人数/人31213

【解析】这10人成绩的平均数为

111

—X(5X3+4X1+3X2+2X1+1X3)=—X(15+4+6+2+3)=—X30=3.因为

101010

1+1

10X20%=2,所以这10人成绩的20%分位数为一=1.

2

答案：31

【补偿训练】

12,13,25,26,28,31,32,40的25%分位数为,80%分位数

为.

【解析】因为8X25%=2,8X80%=6.4.所以25%分位数为

交上超二121二：1980%分位数为X7=32.

22

答案：1932

15.一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,X,5,10,其中xW5,已知

该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的标准差为.

2

2+T3

【解析】由题意，可得该组数据的众数为2,所以一=-X2=3,解得x=4,

故该组数据的平均数为—:----=4.所以该组数据的方差为

-X[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9,即标准差为3.

答案：3

16.某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出60名学生,并统计了他

们的物理成绩(成绩均为整数且满分为100分)，把其中不低于50分的

分成五段[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]后画出如图所

示的部分频率分布直方图，则物理成绩低于50分的学生人数与及格的

学生的物理平均成绩分别为.

频率/组距

0.015

0.005

5060708090100分数

【解析】因为各组的频率和等于1.

所以由频率分布直方图得低于50分的频率为1-(0.015X

2+0.03+0.025+0.005)X10=0.1.又因为抽出的学生共有60名，所以成

绩低于50分的人数为60X0.1=6.

由题意，得[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]四组的人数分别为

9,18,15,3.又四组的组中值分别为65,75,85,95,所以及格的学生的物

GT3aAt，人,,9X65+18X75+15X85+3X953495,,

理平均成绩约为----------------------=-----%77.7.

4545

答案：6,77.7

四、解答题(共70分)

17.(10分)某校高三年级在5月份进行了一次质量考试,考生成绩情况

如表所示：

[0,[400,[480,[550,

400)480)550)750]

文科考生6735196

理科考生53XyZ

已知用分层随机抽样的方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考

生进行质量分析,其中文科考生抽取了2名.

(1)求z的值.

⑵若不低于550分的6名文科考生的语文成绩分别为

111,120,125,128,132,134.计算这6名考生的语文成绩的方差.

【解析】(1)依题意幺2—5-2，得z=9.

6z

⑵这6名文科考生的语文成绩的平均分为

111+120+125+128+132+134…「

-----------------------------=125,

6

则这6名考生的语文成绩的方差为

1

s2=-X[(111-125)2+(120-125)2+(125-125)2+(128-125)2+(132-125)2

6

+(134-125)2]

=-X[(-14)2+(-5)2+02+32+72+92]=60.

6

18.(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,

随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药，这40位患者在服

用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h).试验的观测

结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.61.22.71.52.81.82.22.3

3.23.52.52.61.22.71.52.9

3.03.12.32.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.21.71.90.80.92.41.22.6

1.31.41.60.51.80.62.11.1

2.51.22.70.5

⑴分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？

⑵根据两组数据，分别计算第10百分位数，并据此判断哪种药的疗效

更好？

【解析】(1)设A药观测数据的平均数为五B药观测数据的平均数为歹,

由观测结果可得

—1.

X=—X(0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2

20

.7+1.5

+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4)=2.3,y=—X(3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2

+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5)=1.6.由

以上计算结果可得元＞歹，因此可看出A药的疗效更好.

(2)因为20X10%=2,所以第10百分位数为数据从小到大排列后，第2

项与第3项的平均数，所以A药的第10百分位数为1.2,B药的第10百

分位数为os+o6-()55,由此可看出A药的疗效更好.

2

19.(12分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量

如下表所示：

天数1112212

用水量/吨22384041445095

(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？

⑵在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？

⑶你认为应该用平均数和中位数中哪一个数来描述该公司每天的用

水量？

【解析】(1)在这10天中，该公司用水量的平均数

_-1

x=—x（22+38+40+2X41+2X44+50+2X95）=51（吨）.

10

41+44

⑵在这10天中，该公司每天用水量的中位数为----=42.5（吨）.

2

⑶平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，使平均数在估计总体

时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述

每天的用水量更合适.

20.（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将

其成绩（均为整数）分成六段［40,50）,［50,60）,…，［90,100］后画出如

图部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

⑴求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图.

⑵估计这次考试的及格率（60分及以上为及格），众数和中位数.（保留

整数）

【解析】（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频

率:1-（0.025+0.015X2+0.01+0.005）X10=0.3,

补全频率分布直方图如图所示：

⑵依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为

（0.015+0.03+0.025+0.005）X10=0.75,

所以抽样学生成绩的及格率是75%,

众数为最高小矩形底边的中点，是75；

由0.1+0.15+0.15=0.4,知中位数在［70,80）内，

设中位数为x,则（x-70）X0.03+0.4=0.5,解得xg73.3;

所以估计中位数是73分.

21.（12分）对参加某次数学竞赛的1000名选手的初赛成绩（满分：100

分）作统计，得到如图所示的频率分布直方图.

⑴根据直方图完成以下表格;

成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数

⑵求参赛选手初赛成绩的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间

的中点值作代表）；

⑶如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入

复赛选手的成绩？

【解析】（1）填表如下：

成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数50150350350100

(2)平均数为55X0.05+65X0.15+75X0.35+85X0.35+95X0.1=78,方

差s2=(-23)2X0.05+(-13)2X0.15+(-3)2X0.35+72X0.35+172X

0.1=101.

⑶进入复赛选手的成绩为8。+口|产X侬82（分），所以初赛成

绩为82分及其以上的选手均可进入复赛.

【补偿训练】

某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了以下频率分布

直方图，其中身高的变化范围是［96,106］（单位：厘米），样本数据分组

为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].

（1）求x的值.

⑵已知样本中身高小于100厘米的人数是36,求出样本量N的数值.

⑶根据频率分布直方图提供的数据及⑵中的条件，求出样本中身高

大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数.

【解析】(1)由题意，得(0.050+0.100+0.150+0.125+x)X2=1.解得

x=0.075.

⑵设样本中身高小于100厘米的频率为P1,

所以p尸(0.050+0.100)X2=0.300,

而pF—,所以N二竺二20.

NPi0.300

⑶样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为

p2=（0.100+0.150+0.125）X2=0.750,所以身高大于或等于98厘米并且

小于104厘米的人数为n=p2N=120X0.750=90.

22.（12分）共享单车入驻泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环

保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际,某机构为了了解共享单

车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围

内发放5000份调查问卷，回收到有效问卷3125份,现从中随机抽取

80份，分别对使用者的年龄段、26〜35岁使用者的使用频率、26〜35

岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：

表（一）

使用者25岁26〜36~45岁

年龄段以下