2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1 C．x2+3x+2＝（x+1）（x+2） D．（a+2）2＝a2+4a+43．（2分）已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（）A．8 B．7 C．5 D．64．（2分）如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是（）A．节省材料，节约成本 B．保持对称 C．利用三角形的稳定性 D．美观漂亮5．（2分）下列运算结果为a6的是（）A．a3•a2 B．a9﹣a3 C．（a2）3 D．a18÷a36．（2分）如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，是（）A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧 C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧7．（2分）如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上；②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB＝OC．以上结论正确的有（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③8．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，△BMD和△CNE的面积之和（）A．保持不变 B．先变小后变大 C．先变大后变小 D．一直变大二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）如果等腰三角形一边长为3，另一边长为10，那么它的周长是．10．（2分）已知一正多边形的每个外角是36°，则该正多边形是边形．11．（2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则表示△ABC重心的点是．12．（2分）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为．13．（2分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠COD＝°．14．（2分）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作（3，3，3，3，3，3）；3个正三角形和两个正方形，记作（3，3，3，4，4）；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案．15．（2分）如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝17，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于．16．（2分）新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元、重m千克，B礼物单价（a+1）元，重（m﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差元，通过称重其他盲盒，大家发现：称重情况重量大于小林的盲盒的与小林的盲盒一样重重量介于小林和小李之间的与小李的盲盒一样重重量小于小李的盲盒的盲盒个数05094若这些礼物共花费2018元，则a＝元．三、解答题（共68分，其中17-18题每题8分，19-20题每题5分，21题6分，22-23题每题5分，24-25题每题6分，26-27题每题7分）17．（8分）因式分解：（1）3x2+6x+3；（2）a3﹣9a．18．（8分）计算：（1）a3•a+（﹣a2）3÷a2；（2）[（m+n）（m﹣n）+（﹣n）2]÷2m．19．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．20．（5分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．21．（6分）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a和线段b．求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，BC边上的中线为b．作法：如图2，①作射线BM，并在射线BM上截取BC＝a；②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D；③以D为圆心，b为半径作弧，交PQ于A；④连接AB和AC．则△ABC为所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC＝a，AD＝b．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴AB＝AC（）（填依据）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D，∴＝．∴AD为BC边上的中线，且AD＝b．22．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的长．23．（5分）课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n边形的一个顶点作对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题．从而得到n边形的内角和等于（n﹣2）•180°，现在再提供两种添辅助线的方案，请你选择其中一种，再次证明n边形内角和定理．方案一方案二如图，P为n边形A1A2……An内一点，连接PA1，PA2，……，PAn，那么n边形被分成了个三角形，由此推理n边形的内角和定理．如图，P为n边形A1A2……An边A1A2上的任意一点，连接PA3，PA4，……，PAn，那么n边形被分成了个三角形，由此推理n边形的内角和定理．证明：证明：24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2），（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中A1的坐标为；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等（A、D不重合），写出所有符合条件的点D坐标．25．（6分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的，例如，当x﹣1＝±l，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝1对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（I）多项式x2﹣6x+10关于x＝对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝4对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2+4x+4）关于x＝对称．26．（7分）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB'，作CE∥AB交直线AB'于点E．（1）如图，若AB＞AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB，AE，CE之间的数量关系，并证明；（2）若AB＜AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段AB，AE，CE之间新的数量关系（不需证明）．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1；P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2．例如，点（﹣2，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：（1）点（3，4）的一次反射点为，二次反射点为；（2）当点A在第三象限时，点M（﹣4，1），N（3，﹣1），Q（﹣1，﹣5）中可以是点A的二次反射点的是；（3）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，∠A1OA2＝50°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数；（4）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置．

2022-2023学年北京市汇文中学教育集团八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1．（2分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1 C．x2+3x+2＝（x+1）（x+2） D．（a+2）2＝a2+4a+4【分析】利用因式分解的定义，将多项式和的形式化为积的形式，即可得到结果．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、是因式分解，故本选项符合题意；D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．3．（2分）已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（）A．8 B．7 C．5 D．6【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，求出x的取值范围，进而得到x的最大值．【解答】解：∵4﹣3＝1，4+3＝7，∴1＜x＜7，∵x为整数，∴x的最大值为6．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的三边的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）三角形的两边差小于第三边．4．（2分）如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是（）A．节省材料，节约成本 B．保持对称 C．利用三角形的稳定性 D．美观漂亮【分析】桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，故主要是利用了三角形的稳定性．【解答】解：桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，这样做的数学依据是三角形的稳定性．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性．5．（2分）下列运算结果为a6的是（）A．a3•a2 B．a9﹣a3 C．（a2）3 D．a18÷a3【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；B．a9与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；D．a18÷a3＝a15，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．6．（2分）如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，是（）A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧 C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．【解答】解：由作图可知作图步骤为：①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．④过点N作射线CP．根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2分）如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上；②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB＝OC．以上结论正确的有（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE，OE＝OF，则OD＝OF，于是根据角平分线的性质定理的逆定理可对①进行判断；同时可对②进行判断；由于不能确定∠ABC＝∠ACB，则不能确定∠OBE＝∠OCE，则可对③进行判断．【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，∵BO平分∠DBC，OD⊥BD，OE⊥BC，∴OD＝OE，同理可得OE＝OF，∴OD＝OF，∴点O在∠A的平分线上，所以①正确；OD＝OE＝OF，所以②正确；∵不能确定∠ABC＝∠ACB，∴不能确定∠OBE＝∠OCE，∴不能确定OB＝OC，所以③错误．故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线的性质定理的逆定理．8．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，△BMD和△CNE的面积之和（）A．保持不变 B．先变小后变大 C．先变大后变小 D．一直变大【分析】妨设BC＝2a，∠B＝∠C＝α，BM＝m，则CN＝a﹣m，根据二次函数即可解决问题．【解答】解：不妨设BC＝2a，∠B＝∠C＝α，BM＝m，则CN＝a﹣m，则有S阴＝•m•mtanα+（a﹣m）•（a﹣m）tanα＝tanα（m2+a2﹣2am+m2）＝tanα（2m2﹣2am+a2），∴S阴的值先变小后变大，故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键根据二次函数的性质得出面积改变规律．二、填空题（每小题2分，共16分）9．（2分）如果等腰三角形一边长为3，另一边长为10，那么它的周长是23．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：分两种情况：当腰为3时，3+3＜10，所以不能构成三角形；当腰为10时，3+10＞10，所以能构成三角形，周长是：3+10+10＝23．故答案为：23．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．10．（2分）已知一正多边形的每个外角是36°，则该正多边形是十边形．【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成36°n，列方程可求解．【解答】解：设所求正n边形是n边形，则36°n＝360°，解得n＝10．故正多边形是十边形．故答案为：十．【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．11．（2分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则表示△ABC重心的点是点D．【分析】利用三角形重心的定义进行判断．【解答】解：根据图形，点D为AB和BC边上的中线的交点，所以点D为△ABC重心．故答案为点D．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．12．（2分）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为．【分析】求出左边场地的面积为a2+b2+2ab，由题意可求右边场地的宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b），按此计算便可．【解答】解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝（a+b）＝，故答案为：．【点评】本题考查整式的除法；熟练掌握整式的除法运算法则，准确计算是解题的关键．13．（2分）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠COD＝25°．【分析】由等腰三角形的性质分别求出∠COD，∠DEC的度数，由外角的性质可求解．【解答】解：设∠COD＝x，∵OC＝CD＝DE，∴∠COD＝∠CDO＝x，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠COD+∠CDO＝2x，∴∠DEC＝2x，∵∠BDE＝∠DEC+∠COD＝3x，∴3x＝75°，∴x＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14．（2分）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个既不留空隙，又不相互重叠的平面图形，我们称之为镶嵌．用一种或几种正多边形镶嵌平面有多种方案，如：6个正三角形，记作（3，3，3，3，3，3）；3个正三角形和两个正方形，记作（3，3，3，4，4）；请你写出一种同时使用正三角形和正六边形的镶嵌方案（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．【分析】一种正多边形组成镶嵌，看一个内角度数为360°的约数即可；两种正多边形能否组成镶嵌，要看同一顶点处的几个角之和能否为360°，找到这样的正多边形或组合即可．【解答】解：正三角形的一个内角度数为60°，正六边形的一个内角度数为120°，那么4个正三角形，一个正六边形能组成镶嵌，记做（3，3，3，3，6），故答案为：（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．【点评】此题考查了平面镶嵌，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；两种或两种以上的正多边形能组成镶嵌，同一顶点处的几个角之和为360°．15．（2分）如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝17，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于17．【分析】作BE⊥AC于E，交AD于P，根据等边三角形的性质得到AD⊥BC，求得点B，C关于AD为对称，得到BP＝CP，根据垂线段最短得出CP+EP＝BP+EP＝BE＝AD，即可得到结论．【解答】解：BE⊥AC于E，交AD于P，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B，C关于AD为对称，∴BP＝CP，根据垂线段最短得出：CP+EP＝BP+EP＝BE，即此时CP+EP的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BE，∴BE＝AD＝17，即CP+EP的最小值为17，故答案为：17．【点评】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．16．（2分）新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元、重m千克，B礼物单价（a+1）元，重（m﹣1）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，则两个盲盒的总价钱相差1元，通过称重其他盲盒，大家发现：称重情况重量大于小林的盲盒的与小林的盲盒一样重重量介于小林和小李之间的与小李的盲盒一样重重量小于小李的盲盒的盲盒个数05094若这些礼物共花费2018元，则a＝50元．【分析】根据小林的盲盒比小李的盲盒重1千克可判断两个盲盒的总价钱相差1元，再根据重量小于小李的盲盒的为4盒可以得出结论：小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可．，【解答】解：∵A礼物重m千克，B礼物重（m﹣1）千克，∴A礼物比B礼物重1千克，∵每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物；或小李的盲盒中为2件B礼物，小林的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物；∴不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差a+1﹣a＝1（元），由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，不可能为2件B礼物，∴小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，∴重量小于小李的盲盒为2件B礼物，∵与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒，∴2件B礼物的有4盒，1件A礼物和1件B礼物有10盒，2件A礼物有6盒，∴2×4（a+1）+10×a+10（a+1）+2×6a＝2018，解得a＝50，故答案为：1，50．【点评】本题主要考查数据的收集与整理，能根据一直数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物时解答此题的关键．三、解答题（共68分，其中17-18题每题8分，19-20题每题5分，21题6分，22-23题每题5分，24-25题每题6分，26-27题每题7分）17．（8分）因式分解：（1）3x2+6x+3；（2）a3﹣9a．【分析】（1）先提公因式，再用公式法因式分解即可；（2）先提公因式，再用公式法因式分解即可．【解答】解：（1）3x2+6x+3＝3（x2+2x+1）＝3（x+1）2；（2）a3﹣9a＝a（a2﹣9）＝a（a﹣3）（a+3）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．18．（8分）计算：（1）a3•a+（﹣a2）3÷a2；（2）[（m+n）（m﹣n）+（﹣n）2]÷2m．【分析】（1）根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方即可得出答案；（2）根据平方差公式和整式的除法计算即可．【解答】解：（1）a3•a+（﹣a2）3÷a2＝a4+（﹣a6）÷a2＝a4﹣a4＝0；（2）[（m+n）（m﹣n）+（﹣n）2]÷2m＝（m2﹣n2+n2）÷2m＝m2÷2m＝m．【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方，平方差公式是解题的关键．19．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．20．（5分）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．【分析】要证明BC＝DE，只要证明三角形ABC和ADE全等即可．两三角形中已知的条件有AB＝AD，AC＝AE，只要再得出两对应边的夹角相等即可．我们发现∠ABC和∠DAE都是由一个相等的角加上∠DAC，因此∠ABC＝∠DAE，这样就构成了两三角形全等的条件（SAS），两三角形就全等了．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC．即：∠BAC＝∠DAE．在△ABC与又△ADE中，，∴△ABC≌△ADE．∴BC＝DE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法．21．（6分）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a和线段b．求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，BC边上的中线为b．作法：如图2，①作射线BM，并在射线BM上截取BC＝a；②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D；③以D为圆心，b为半径作弧，交PQ于A；④连接AB和AC．则△ABC为所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC＝a，AD＝b．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴AB＝AC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）（填依据）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D，∴BD＝DC．∴AD为BC边上的中线，且AD＝b．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用线段的承载着平分线的性质，等腰三角形的性质解决问题即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：由作图可知BC＝a，AD＝b．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴AB＝AC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D，∴BD＝DC，∴AD为BC边上的中线，且AD＝b．故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，BD，DC．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的长．【分析】在Rt△ABC中利用∠C＝90°，∠A＝30°易求∠ABC＝60°，再利用角平分线性质可求∠ABD＝∠DBC＝30°，从而可得∠ABD＝∠A，进而可求BD，在Rt△BDC中，利用30°的角所对的边等于斜边的一半可求CD．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠A，∴BD＝AD＝10，又∵∠DBC＝30°，∴DC＝BD＝5．即DC的长是5．【点评】本题考查了含有30°角的直角三角形、角平分线的性质．解题的关键是得出BD＝AD＝10．23．（5分）课本上介绍了求多边形的内角和的方法是过n边形的一个顶点作对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题．从而得到n边形的内角和等于（n﹣2）•180°，现在再提供两种添辅助线的方案，请你选择其中一种，再次证明n边形内角和定理．方案一方案二如图，P为n边形A1A2……An内一点，连接PA1，PA2，……，PAn，那么n边形被分成了n个三角形，由此推理n边形的内角和定理．如图，P为n边形A1A2……An边A1A2上的任意一点，连接PA3，PA4，……，PAn，那么n边形被分成了（n﹣1）个三角形，由此推理n边形的内角和定理．证明：证明：【分析】在n边形内任取一点O，并把O与各顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的角和为n•180°，再减去以点O为顶点的一个周角，就可以得到n边形的内角和为（n﹣2）•180°；连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形．【解答】证明：方法①在n边形内任取一点O，并把O与各顶点连接起来，共构成n个三角形，这n个三角形的角和为n•180°，再减去以点O为顶点的一个周角，就可以得到n边形的内角和为（n﹣2）•180°．故答案为：n；方法②在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°，以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n﹣1）•180°﹣180°＝（n﹣2）•180°．故答案为：（n﹣1）．【点评】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决．24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2），（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中A1的坐标为（2，﹣3）；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等（A、D不重合），写出所有符合条件的点D坐标．【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，进而可以得A1的坐标；（2）根据网格利用全等三角形的判定即可写出所有符合条件的点D坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；A1的坐标为（2，﹣3）；故答案为：（2，﹣3）；（2）所有符合条件的点D坐标为：（0，3）或（0，﹣1）或（2，﹣1）．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．25．（6分）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的，例如，当x﹣1＝±l，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝1对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（I）多项式x2﹣6x+10关于x＝3对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝4对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2+4x+4）关于x＝﹣3对称．【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；（2）求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴x＝4即可；（3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1，则多项式关于x＝3对称．故答案为：3；（2）∵x2+2bx+3＝（x+b）2+3﹣b2，∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝﹣b对称，∴﹣b＝4，∴b＝﹣4；（3）原式＝（x+4）2（x+2）2＝[（x+4）（x+2）]2＝（x2+6x+8）2＝[（x+3）2﹣1]2，∴关于x＝﹣3对称．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．26．（7分）在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB'，作CE∥AB交直线AB'于点E．（1）如图，若AB＞AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB，AE，CE之间的数量关系，并证明；（2）若AB＜AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段AB，AE，CE之间新的数量关系（不需证明）．【分析】（1）①依照题意补全图形；②由“ASA”可证△BDF≌△CDE，可得CE＝BF，DF＝ED，由“AAS”可证△ADG≌△ADH，可得DG＝DH，AG＝AH，由HL可证Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF＝EH，可得结论；（2）分两种情况讨论，由“ASA”可证△BDF≌△CDE，可得CE＝BF，DF＝ED，由“AAS”可证△ADG≌△ADH，可得DG＝DH，AG＝AH，由HL可证Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF＝EH，可得结论．【解答】解：（1）①补全图形如图所示：②AB＝AE+CE，理由如下：如图，连接ED，并延长交