人教版数学 第十二章 全等三角形 知识点梳理及同步训练

人教版数学《第十二章全等三角形》知识点梳理及同步训练

知识梳理

全等三角形概念

1.全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

2.全等形的性质：(1)形状相同.(2)大小相等.

3.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

4.全等三角形的表示：

(1)两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重

合的角叫做对应角.

(2)如图，以4£。和"田叮'全等，记作AA6V生AA'R。'.通常对应顶点字母写在

对应位置上.

二.全等三角形的性质：

1.全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.

2.全等三角形的周长、面积相等.

三.全等的变换

1.全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换.

平移、翻折(对称)、旋转变换都是全等变换.

2.全等三角形基本图形

翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素

ADBD

旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素

C

平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素

四.两个三角形全等的条件

1.全等三角形的判定1—一边边边公理

三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.

“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）.

2.全等三角形的判定2——边角边公理

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.

3.全等三角形的判定3——角边角公理

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写为“角边角”或“ASA”.

4.全等三角形的判定4——角角边推论

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简称“角角边”或“AAS”.

5.直角三角形全等的判定一一斜边直角边公理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边直角边”或“HL”.

判定直角三角形全等的方法：

①一般三角形全等的判定方法都适用；

②斜边-直角边公理

五.判定三角形全等方法的选择：

1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因

此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2.要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3.要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

具体选择方法如下：

(1)已知两边对应相等

①证第三边相等，再用SSS证全等

②证已知边的夹角相等，再用SAS证全等

③找直角，再用HL证全等

(2)已知一角及其邻边相等

①证已知角的另一邻边相等，再用SAS证全等

②证已知边的另一邻角相等，再用ASA证全等

③证已知边的对角相等，再用AAS证全等

(3)已知一角及其对边相等

证另一角相等，再用AAS证全等

(4)已知两角对应相等

①证其夹边相等，再用ASA证全等

②证一已知角的对边相等，再用AAS证全等

4.常用做辅助线的方法

(1)出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

(2)出现线段的中点(或三角形的中线)时，可利用中点构造全等三角形(常用加倍

延长中线)

(3)利用加长(或截取)的方法解决线段的和、倍问题(转移线段)

六.一般情况下，证明关于三角形全等的题有以下步骤：

(1)读题：明确题中的已知和求证；

(2)要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中

(3)分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，公

共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角

也是对应角

(5)先证明缺少的条件

(6)再证明两个三角形全等

(要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论)

七.角平分线

1、尺规作图画角平分线

(1)以0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于M,交0B于N。

(2)分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在/AOB的内部交于点C。

(3)画射线0C。射线0C即为所求。

2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

图形表示：若CD平分/ADB,点P是CD上一点PE±AD于点E,PF±BD于点F,则PE=PF。

3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

图形表示：若PELAD于点E,PFLBD于点F,PE=PF,则PD平分/ADB

B

R

C

4、证明命题的步骤：

（1）明确命题中的已知和求证；

（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

（3）经过分析，找出由己知推出求证的途径，写出证明过程。

基础训练

一、单选题

1.下列各组图形中不是全等形的是（）

Ooc4&D,<0^

2.如图，在AABC和2kDEF中，已有条件AB=DE,还需要添加两个条件才能使

AABC^ADEF,不能添加的一组条件是（）.

A.ZB=ZE,BC=EFB.ZA=ZD,BC=EF

C.NA=ND,NB=NED.BC=EF,AODF

3.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO之△M0O,

则只需测出其长度的线段是（）

A.P0B.PQC.M0D.MQ

4.根据下列已知条件，能画出唯一的AA5C的是（）

A.ZC=90°,AB=6B.A5=4,BC=3,ZA=30°

C.ZA=60°fZB=45°fAB=4D.AB=3,BC=49CA=8

5.如图所示，点RA,D,。在同一直线上，△ABC也△£>£6AD=3fCF=10,则AC等

于（）

A.5B.6C.6.5D.7

6.如图，在,.ABC中，D,E分别是边AC,BC上的点，若ADBMEDB-EDC,则NC

的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

7.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为B.满足下列条件的三角形不一定与

已知三角形全等的是（）

A.两条边长分别为4,5,它们的夹角为B

B.两个角是［3,它们的夹边为4

C.三条边长分别是4,5,5

D.两条边长是5,一个角是B

8.如图，在下列条件中，不能证明的是（）.

A.BD=DC,AB=ACB.ZADB=ZADCfBD=DC

C.NB=/C,ZBAD=ZCADD.ZB=ZC,BD=DC

9.如图所示，AB,CO两条公路相交于点0,小芳和小明的家分别在两条公路的N处,

并且OM=ON,而学校尸恰好在/AOC的平分线上，学了角平分线的有关知识后，同学们

对与PN的关系作出了如下判断，其中正确的是（）

A.一定相等

B.一定不相等

C.条件不够，无法判断

D.以上均不对

10.如图，已知AABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和AABC全等的图形是

二、填空题

11.已知：如图，义工OBC,且/。=70。，ZC=25°,则____度.

O

12.如图，如果AABCg/kDEF,△DEF周长是32cm,DE=9cm,EF=13cm,ZE=ZB,则

AC=cm.

尸E

BC

13.如图所示，有两个长度相同的滑梯（即8C=EF）,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向

的长度。尸相等,则直线3c与所的位置关系是

14.如图所示，在△ABC中,8c于点。，要使4A3。等若根据“HL”判定，还需要加

条件一;若加条件NB=/C,则可用一判定.

15.如图，BC=EC,Z1=Z2,要使△ABCgZXDEC,则应添加的一个条件为

（答案不唯一，只需填一个）

16.如图，AC±BC,AD±DB,要使△ABC义ZXBAD,还需添加条件.（只需写出符

17.如图所示;AB=4C,8O=CZ),若N8=28。,贝！］ZC=

18.如图，P是NAOB的平分线上的一点，PC_LAO于C,PD_LOB于D,写出图中一组相

等的线段（只需写出一组即可）

19.在△ABC中,/C=90o,3C=16cm,NA4c的平分线交BC于点。，且8。；Z）C=5；3,则。

到AB的距离为cm.

20.如图所示，直线a经过正方形ABC。的顶点A,分别过正方形的顶点2、。作2尸，。于

点尸，OE_La于点E,若DE=8,BF=5,则跖的长为

三、解答题

21.如图，已知AB=AD,BC=DC,AC,2。相交于点E