知识点大全-第8章《平面向量》-分享

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑沪教版高中数学知识点大全一第8章平面向量第8章平面向量.18.1向量的概念和线性运算.18.1.1向量的概念.18.1.2向量的加法和减法..18.1.2.1向量加法的平行四边形法则.18.1.2.2向量加法的三角形法则.28.1.2.3向量加法的运算律.28.1.2.4向量的减法.28.1.3实数与向量的乘法..28.1.3.1实数与向量乘法的定义.28.1.3.2向量平行的充要条件.28.1.3.3实数与向量乘法的运算律.38.1.3.4向量的单位向量.38.2向量的数量积.38.2.1向量的投影.38.2.1.1投影向量的概念.38.2.1.2向量的夹角.38.2.1.3向量的数量投影.38.2.2向量的数量积的定义与运算律.48.2.2.1数量积的定义.48.2.2.2数量积的运算律.48.2.2.3向量数量积的变形公式与结论.48.2.3*极化恒等式..48.3向量的坐标表示.58.3.1向量基本定理..58.3.1.1向量基本定理.58.3.1.2*三点共线的“爪型结论”.58.3.1.3*等和线.58.3.2向量的正交分解与坐标表示.6作者WX:Math-J8.3.3向量线性运算的坐标表示..68.3.4向量数量积与夹角的坐标表示..68.4向量的应用..78.4.1证实不等式.78.4.2定比分点公式.78.4.3三角形面积公式.78.4.4*飞驰定理..78.4.4.1飞驰定理:.78.4.4.2飞驰定理的推论:.88.4.5*三角形的四心与向量有关的结论..88.4.5.1外心.88.4.5.2重心.98.4.5.3内心.98.4.5.4垂心.91.概念既有大小又有方向5.向量的坐标表示模.1a)单位向量模为1设a=x1,y1b=x2,y2零向量模为00a⊥b⇔x1x2+y1y2=0a//ba=−bcos⟨a⇔SΔBOC:SΔCOA,SΔAOB=sin2A:sin2B:sin2C4.数量积作者WX:Math-J第8章平面向量8.1向量的概念和线性运算8.1.1向量的概念（1）既有大小又有方向的量叫做向量(vector).常用有向线段(directedline-segment)表示向量,在物理学中常称为矢量.向量的两个要素:大小(一个非负实数)与方向.（2）仅有数值（可以是随意实数）而没有方向的量称为数量(scalar),又称为标量.（3）向量a的大小叫做a的模(modulus),记作a.（4）模为1的向量叫做单位向量(unitvector).规定模为0的向量叫做零向量(zerovector),记作0,可以认为它具有随意方向.（5）倘若两个非零向量所在的直线平行或重合,那么称这两个向量平行.a//b表示a与b倘若两个向量同方向且具有相同的模,它们就是同一个向量即为相等的向量.按照向量相等的定义,零向量都是相等的.常常通过证实共起点的两向量平行来证实三点共线.（6）倘若一对平行向量a与b具有相等的模但方向相反,那么称它们互为负向量,或者称b为a的负向量,记作b=−8.1.2向量的加法和减法8.1.2.1向量加法的平行四边形法则设给定两个不平行的向量a、b,倘若以O为起点,分离作OA=a,OB=b,那么以OA、OB为邻边的平行四边形OACB的对角线所表示的向量我们把这种作向量和的主意叫做向量加法的平行四边形法则(parallelogramlaw).作者WX:Math-J8.1.2.2向量加法的三角形法则若以O为起点作向量OA=a,再以A为起点作向量AC=b,则衔接起点O与尽头C得到向量OC,它就是a、异常地,a+08.1.2.3向量加法的运算律交换律a+b结合律a+b提醒:平行四边形法则要求参加加法的两个向量的起点相同,三角形法则要求参加加法的两个向量的首尾相接.可推广到A1A2+A28.1.2.4向量的减法已知向量a+b=c,那么向量b叫做向量c与向量a的差,记作求向量差的运算,叫做向量的减法.向量的减法满意c−a8.1.3实数与向量的乘法8.1.3.1实数与向量乘法的定义实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa.它的模λa当λ>0时,λa的方向与a相同;当λ<0时,λa异常地,当a=0或λ=0时,8.1.3.2向量平行的充要条件向量b与非零向量a平行的充要条件是:存在实数λ,使得b=λ作者WX:Math-J8.1.3.3实数与向量乘法的运算律设a、b是向量,λ、μ∈R8.1.3.4向量的单位向量与非零向量a同方向的单位向量叫做向量a的单位向量,记作a0,有a0=1向量的加法、减法以及实数与向量的乘法,统称为向量的线性运算(linearoperation).从一个或几个向量出发,通过线性运算得到的新向量称为本来那些向量的线性组合(linearcombination).8.2向量的数量积8.2.1向量的投影8.2.1.1投影向量的概念倘若向量AB的起点A和尽头B在直线l上的投影分离为点A′和B′,那么向量A′B′叫做向量A8.2.1.2向量的夹角以一点O为起点,作OA=a,OB=b,我们把射线OA、OB的夹角称为向量a与8.2.1.3向量的数量投影易知OB′故向量b在向量a方向上的投影为bcos⟨在上式中,实数bcos⟨a,b⟩称为向量b在向量a方向上的数量投影.它是一个数量,其绝对值等于向量b在向量a方向上的投影的模.当⟨作者WX:Math-J为负,当⟨a,b⟩=π8.2.2向量的数量积的定义与运算律8.2.2.1数量积的定义设a与b是两个非零向量,定义a与b的数量积(scalarproduct)a⋅b=abcos⟨a,b⟩,又称为内积(innerproduct)或点积(dotproduct).记号中间的“.约定a⋅a简记为a2,即为规定零向量与随意向量的数量积为0.a⋅b的几何意义:a⋅b等于其中一个向量a的模a与另一个向量b在向量a的方向上的数量投影b8.2.2.2数量积的运算律设a、b和c是向量,λ向量数量积的交换律:a⋅b向量数量积对数乘的结合律:λa⋅向量数量积对加法的分配律:a⋅b8.2.2.3向量数量积的变形公式与结论(1)cos⟨a（2）a⊥b当且仅当a（3）a⋅b≤ab8.2.3*极化恒等式在△ABC中,M为边(1)AB⋅(2)AM⋅结论:在平行四边形中,四条边的平方和等于对角线的平方和.作者WX:Math-J8.3向量的坐标表示8.3.1向量基本定理8.3.1.1向量基本定理倘若e1与e2是平面上两个不平行的向量,那么该平面上的随意向量a,都可唯一地表示为e1与e2的线性组合,即存在唯一的一对实数λ与μ,使得给定平面上的一组向量,倘若平面上的随意向量都可以唯一地表示成这组向量的线性组合,那么就称这组向量是平面向量的一个基.那么向量基本定理还可以表述成:平面上随意两个不平行的向量都组成平面向量的一个基.8.3.1.2*三点共线的“爪型结论”(1)“爪”字型图:在△ABC中,D是BBD:CD=m:n,则异常地,倘若AD是BC边上的中线,则A（2）对任向来线AB外一点O,点P在直线AB上⇔存在实数λ,使O8.3.1.3*等和线平面内一组基OA,OB及任一向量若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线A①当等和线恰为直线AB时,k=②当等和线在点O和直线AB之间时,k∈③当直线AB在点O和等和线之间时,k∈④当等和线过点O时,k=0⑤若两等和线关于点O对称,则定值k互为相反数;(C)定值k的绝对值大小与等和线到点O的距离成正比.作者WX:Math-J8.3.2向量的正交分解与坐标表示把向量a写成所在平面上两个不平行向量e1与e2的线性组合的过程称为a关于e1与e2的分解(decomposition)在e在平面直角坐标系中随意一个向量a关于x轴与y轴正方向上的单位向量i与j的正交分解a=xi+yj称为向量a在这个平面直角坐标系中的坐标分解(coordinatedecomposition),从而有序实数对x,y则称为向量向量的这种表示法称为它的坐标表示(coordinaterepresentation),可以直接用向量的坐标x,y作从原点O出发的向量OA=a,才干用A点坐标x,y表示向量a的坐标,把向量OA称为8.3.3向量线性运算的坐标表示设x1,y1、x2,y2xλ对平面上随意两点Px1,y1与Qx设a=x,y,则8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示给定两个坐标表示的向量a=x1,y1（1）它们的数量积a（2）夹角的余弦值cos（3）a⊥b的充要条件是x1x2+8.4向量的应用8.4.1证实不等式柯西-施瓦兹不等式(Cauchy-SchwarzInequality)已知x1、x2、y1、y28.4.2定比分点公式定比分点公式已知P是直线P1P2上一点,且P1P=λPP2(λ为实数,且λ≠−x2,y2.则点P的坐标x,y注:当λ=0时,点P与P1重合;当λ>0时,点P在线段P1P2上;当−1<λ<0时,点P在线段P2P1的使用定比分点公式可易推得三角形重心坐标公式:已知△ABC三个顶点A、B、C的坐标分离是x1,y8.4.3三角形面积公式在△ABC中,设CA=a=x1,则S=18.4.4*飞驰定理8.4.4.1飞驰定理:飞驰定理:设O是△ABC内一点,△BOC,△AO作者WX:Math-J证实:如图2延伸