山东省泰安市泰安实验中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE18-山东省泰安市泰安试验中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题)一、单选题．(共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面对量的基本运算，属简洁题.2.若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，故，故复数的虚部为，故选B．3.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A.若,,则 B.若，,则C.若,,则 D.若,,则【答案】C【解析】【分析】在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．【点睛】本题考查命题真假的推断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，是中档题．4.设R，向量且，则()A. B. C. D.10【答案】C【解析】试题分析:向量且，，，从而，因此，故选C．考点：1.向量的模；2.向量的平行与垂直．5.若线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据图形找到线面角,进而在直角三角形中求解即可.【详解】如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．故选C．【点睛】本题主要考查了线面角的求解,属于基础题.6.如图，O是△ABC的重心，=，=，D是边BC上一点，且=3，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且，又由3，得：D是BC的四等分点，再利用平面对量的线性运算可得则，故得解【详解】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且由3，得：D是BC的四等分点，则，故选A．【点睛】本题考查了平面对量的基本定理及重心的特征，属中档题．7.在△ABC中，sinA＝，则△ABC的形态为（）A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】等式变形为，再依据，，绽开变形，推断三角形的形态.【详解】由条件可知,因为，所以，所以，所以，整理为：,即因为，所以，，所以是直角三角形.故选：A【点睛】本题考查推断三角形的形态，重点考查三角函数恒等变换，属于基础题型，本题的重点是利用公式，变形，化简三角函数.8.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据直线平面垂直的判定与性质得出，为直角三角形，可得SC的中点O为球心，又可求得，求出球的半径，即可得解．【详解】解：平面ABC，，，，面SAB，面SAB，，，中AC的中点O，，为球O的直径，又可求得，球O的半径，体积，故选B．【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维实力的运用，平面，立体问题的转化，巧运用直角三角形的性质．二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2，有选错的得0分)9.下列各式中，化简结果为的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】分析】依据向量加减法的法则，分别推断每个选项，得到正确答案.【详解】A.，故A正确；B.，故B正确；C.，故C正确；D.，故D不正确.故选：ABC【点睛】本题考查向量加法和减法，属于简洁题型.10.下列命题正确的是（）A.复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数B.z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C.复数z是实数的充要条件是z＝(是z的共轭复数)D.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若(x，y∈R)，则x＋y＝1【答案】BC【解析】【分析】A.依据共轭复数的定义，举例推断；B.依据是虚数，推断两个复数的虚部的关系，推断选项；C.分别推断充分和必要条件；D.利用向量，复数，坐标的关系，利用向量相等求得的值.【详解】A.模相等的复数不肯定是共轭复数，比如：，，这两个复数的模相等，但不是共轭复数，故A不正确；B.设，，若是虚数，，两个复数的虚部不互为相反数，所以不是的共轭复数，故B正确；C.设，，若，则，所以复数是实数，若是实数，则则，所以C正确；D.由条件可知，，，若(x，y∈R)，则，所以，解得：，所以，故D不正确.故选：BC【点睛】本题考查复数的定义和相关概念，属于基础题型，本题的关键是正确理解复数的有关概念.11.如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中（）A.AB与AC相等B.AD的长度大于AC的长度C.AB的长度大于AD的长度D.BC长度大于AD的长度【答案】AC【解析】【分析】首先依据斜二测画法的直观图还原几何图形，依据实际图形的长度关系推断选项.【详解】依据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系，轴，并且，点是的中点，并且作轴，即，且，连结，所以是等腰三角形，,的长度大于的长度，由图可知，，由图视察，，所以,即.故选：AC【点睛】本题考查由直观图还原实际图形，推断长度关系，重点考查斜二测画法的规则，属于基础题型.12.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是()A.直线与平面所成的角等于B.点C到面的距离为C.两条异面直线和所成的角为D.三棱柱外接球半径为【答案】ABD【解析】【分析】依据线面角的定义及求法，点面距的定义，异面直线所成角的定义及求法，三棱柱的外接球的半径求法，即可推断各选项的真假．【详解】正方体的棱长为1，对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确．故选：．【点睛】本题主要考查线面角的定义以及求法，点面距的定义以及求法，异面直线所成角的定义以及求法，三棱柱的外接球的半径求法的应用，属于基础题．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案拍在一张图片上进行上传)13.已知向量的夹角为，，，则在方向上的投影是________．【答案】【解析】【分析】依据平面对量投影的定义可干脆求出结果.【详解】由已知得，在方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题考查平面对量投影的定义，驾驭投影的计算公式是关键，属基础题.14.若z为复数，且，则|z－1|的最小值是________．【答案】【解析】【分析】首先依据题意得到复数到的距离与到的距离相等，即复数在虚轴上.再设出，计算的最小值即可.【详解】因为复数满意，所以在复平面内，复数到的距离与到的距离相等.即复数在虚轴上，设，.，所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查复数代数式形式及其几何意义，同时考查学生的转化实力，属于中档题.15.一个圆柱的侧面绽开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．【答案】【解析】【分析】利用侧面绽开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比.【详解】设正方形的边长为，圆柱的底面半径为，则，，所以圆柱的全面积为，故全面积与侧面积之比为，填.【点睛】圆柱的侧面绽开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到绽开前后不同的几何量之间的关系.16.已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为________，此时直线PQ与平面α所成的角为________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）如图，分别作，，连结，，，连结，则，利用勾股定理得到，并验证最小值成立条件；（2）由（1）可知，干脆得到直线PQ与平面α所成的角.【详解】（1）如图，分别作，，连结，，，连结，则，因为，所以,当点与点重合时，取最小值，又此时成立，所以两点之间距离的最小值是；（2）此时点与点重合，此时，所以与平面所成的角为.故答案为：；【点睛】本题考查平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面的位置关系，考查空间想象实力，运算实力，推理论证实力，属于中档题型.四、解答题．17.已知复数．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；（Ⅱ）当时，化简．【答案】（Ⅰ）①m=1或m=2；②m=﹣（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．（II）当m=0时，z=-2+2i，再利用复数的运算法则即可得出试题解析：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．②当时，解得，即m=﹣时，复数z为纯虚数．（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，∴．考点：复数的代数表示法及其几何意义18.设是不共线的非零向量，且（1）若，求λ，u的值．（2）若是相互垂直的单位向量，求与的夹角θ．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求，依据向量相等，建立方程求解；（2）依据公式求解.【详解】（1）,，，；（2），，【点睛】本题考查向量相等，向量夹角，重点考查基本公式，计算实力，属于基础题型.19.养路处建立圆锥形仓库用于贮藏食盐(供溶化高速马路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12m，高为4m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积(不含底面积)；（3）哪个方案更经济些？【答案】（1），；（2），；（3）方案二.【解析】【分析】（1）依据底面半径和高，依据体积公式，分别计算两种方案的体积；（2）依据半径和高求母线长，依据公式求圆锥的表面积（不含底面积）；（3）比较两种方案的体积和表面积，得出结论.【详解】（1）第一种方案底面直径为，高为，此时仓库的体积是其次种方案底面直径为，高为，此时仓库的体积是；（2）第一种方案：底面半径是，高，则母线长，则仓库的表面积（不含底面积），其次种方案：底面半径是，高，则母线长，则仓库的表面积（不含底面积）；（3）由（1）（2）可知，其次种方案的体积大，可以贮藏更多的食盐；，其次种方案的表面积（不含底面积）小，则用料少，成本低，所以选择方案二更经济.【点睛】本题考查圆锥的实际应用，重点考查圆锥的体积和表面积，计算实力，属于基础题型.20.如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面平面，证明平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）可证，从而得到要求证的线面平行.（2）可证，再由及是棱的中点可得，从而得到平面.【详解】（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，，所以，又面，面，所以平面（2）证明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又面，所以①因为且是的中点，所以，②由①②及面，面，，所以平面.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法可利用三角形的中位线或平行公理.线面垂直的判定可由线线垂直得到，留意线线是相交的，而要求证的线线垂直又可以转化为已知的线面垂直（有时它来自面面垂直）来考虑.21.如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，垂直于底面，.（1）求证；（2）求平面与平面所成二面角的大小；（3）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依据题意，由线面垂直证线线垂直，再依据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，再证线线垂直.（2）由（1）中线面垂直，可知所求二面角的平面角为，依据题意可求角度.（3）利用中位线将异面直线平移，则或其补角是异面直线与所成角，依据勾股定理，即可求解.【详解】（1）∵底面是正方形，∴，∵底面，底面，∴，又，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知，又，∴为所求二面角的平面角，在中，∵，∴.（3）取中点，连结，在，由中位线定理得，或其补角是异面直线与所成角，∵，，所以中，有，.【点睛】本题考查（1）垂直关系的转化证明（2）二面角的求法（3）异面直线所成角，考查逻辑推理实力，考查计算实力，考查转化与化归思想，属于中等题型.22.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的