2024年高考数学模拟卷4（新高考七省专用）

2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设，“eR,a=(m,l),b=,c=(l,-2),则)_L"是a//b的()条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

2.已知复数-3+2i是方程2/+12工+4=0的一个根，则实数4的值是（）

A.0B.8C.24D.26

若sin(a_t)=。，则5.[27+弓]二()

3.已知(0㈤,

1

A.——B.|C.-D.±-

3333

4.如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为1■的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方

形，记这2个小正方形的面积之和为加；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相

2023

邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为邑.以此类推，操作〃次，若百+$2+…+5,2竭,

则”的最小值是（）

A.9B.10D.12

5.如图，A,B,C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯，其中开关A控制着2,3,4号灯，开关8控制

着1,3,4号灯，开关C控制着1,2,4号灯.开始时，四盏灯都亮着.现先后按动A,B,C这三个开关中

的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为（）

6.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在

[-2利,川(加>0)上单调递增，则实数小的取值范围是()

(八7兀[「八兀1「兀7兀1f7i7TI

A.0,——B.0,—C.~D.—>—■

I32JI16J|_1632j11632j

7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点/关于直线x+_y=m的对称点为(2,1),o为坐标原点，点在

C上且满足OM.ON=0(M,N均不与。重合)，则△MON面积的最小值为()

A.4B.8C.16D.20

ClJ-3%<3

8.已知函数〃x)=1[，若函数g(x)=[〃x)丁-4(x)+2有6个零点，则。的值可能为()

IX十O.YX>J

A.-1B.-2C.-3D.-4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知是两个事件，且0〈尸(3)<1,则事件相互独立的充分条件可以是()

A.P(AB)=0

B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A|B)=P(A|B)

D.P2(AB)+P2(AB)+P2(AB)+P2(AB)=-

4

10.已知直线/：履-丁-％=0,圆〃：/+;/+m+£伊+1=0的圆心坐标为(2,1),则下列说法正确的是()

A.直线/恒过点(1,0)

B.O=Y,E=—2

C.直线/被圆M截得的最短弦长为2不

D.当％=1时，圆〃上存在无数对点关于直线/对称

11.己知函数的定义域为R,值域为(0,+功，*疥,则()

A.-0)=1B./(1)=1

C.〃2尤)=[〃x)}D.x=l是函数〃尤）的极小值点

12.如图，正三棱柱ABC-4BG的各棱长均为1,点尸是棱BC的中点，点M满足用W=/l44（九目0,1］）,

点R为的中点，点。是棱A3上靠近点8的四等分点，则（）

A.三棱锥B-GAM的体积为定值

B.GM+BM的最小值为#+1

C.CM〃平面PQR

D.当力=:时，过点的平面截正三棱柱ABC-ABC1所得图形的面积为3

26

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x-2y）8的展开式中炉丫?的系数为（用数字作答）.

14.如图，在ABC中，AD=2DB，尸为C£）上一点，且满足人尸=根4。+：42（meR）,则m的值为

15.若函数〃%）=5布卜+*小+1+/为偶函数，则加的最小正值为.

16.已知函数/（司=/+乐2+次+0有三个零点，且它们的和为0,贝普-c的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（10分）一ABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知acos3—2bcosA=Z?+c.

⑴求tanA；

⑵若a=A/万，ABC的面积为2应，求ABC的周长.

7

18.(12分)已知数列｛。“｝满足：a[=~,an+l=3an-l,«eN".

(1)求证：数列卜“-是等比数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式及其前”项和S”.

19.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，BC//AD,BC=2AD,M为棱AP的中点.

PN

⑴棱网上是否存在点M使MN〃平面如。若存在，求出丽的值；若不存在，请说明理由;

(2)若平面PDCJ_平面ABC。，AB1BC,BC=CP=PD=DC,求二面角3—MD—C的正弦值.

20.(12分)从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将

球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.

(1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;

(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记〃次传球后球在甲手中的概

率为6("=1,2,3,…).

①直接写出A,P],A的值;

②求P,,+l与尸“的关系式(〃eN*),并求出匕(〃eN*).

Q3

21.(12分)以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点C(0,T),。(一丁-7.

(1)求椭圆的方程.

⑵设户是椭圆上一点(异于C,。)，直线尸C,PD与X轴分别交于两点.证明在X轴上存在两点A,2,

使得MB.是定值，并求此定值.

22.(12分)已知函数/(x)=e?"+(a-2)e*-依一1.

⑴讨论了(无)的单调性;

⑵若85)=/(工)+(2-4)/在区间(0,+<»)上存在唯一零点％,求证：x0<a-2.

2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）

参考答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

9101112

BCDABDACAC

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12%，271

13.11214.-15.—16.—,+<»

43I4）

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.(10分)

【答案】⑴tan4=-20

(2)5+#7

【解析】(1)因为acos/?-2bcosA=b+c,所以由正弦定理可得sinAcosB-2sin3cosA=sin3+sinC.

XsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以一3sin3cosA=sin3.

因为sinBwO,所以cosA=-g.

又Ae(0,7t),所以sinA=，tanA=-2A/2•

(2).ABC的面积S=LesinA=——Z?c=2>/2,则bc=6.

23

2,4

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2>得色+c)~=/+gbc=25,

所以。+c=5,故,ABC的周长为5+a7.

18.(12分)

【答案】（1）证明见解析

⑵a“=3"+；,"N*，S"=茎<+〃

乙乙

【解析】（1）由%+1=3。“-1可得%+|-；=3］。“-，，

1

又％-5=3WO,可得——/=3为定值，

""一2

所以数列卜，-是以3为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）可知，%-<=3x3。-=3",可得%=3。+；,

即数列｛4｝的通项公式为4=3'+3,〃eN*

所以数列｛%｝的前〃项和为

12n333，13+n

S„^3+-+3+-+--+3+-=^-）+l.w=~

2221-322

即

19.（12分）

PN1

【答案】（1）棱依上存在点N,—=-

NB3

⑵w

［解析［（1）如图，分别延长BA与CD的延长线交于点E,连接PE,过点M在平面BEP内作直线FN//PE,

交BE于点F,BP千点、N,

因为MV〃PE,尸石匚平面;^^所以跖V〃平面尸。C,

因为3C〃AD,BC=2AD,所以A,。分别为线段BE,"的中点，

EFPN1

又FNI/PE,M为AP的中点，所以尸为线段AE的中点，所以二^二二二彳.

FBNB3

PN1

综上，棱PB上存在点N,使MN〃平面PDC,且而="

(2)设A£>=1,又ABLBC,BC=DC=2,所以BD=2,

又CP=PD=DC=2,所以，尸CD和△BCD为等边三角形，

设。为CD的中点，连接。P,OB,则OP=OB=&，OPLDC,OBLDC,

又平面尸DCJ_平面ABC。，平面尸DC平面MCD=CD,POu平面PDC,尸01平面ABC。，

又03u平面ABC。，POLOB,

综上，OP,OB,OC两两垂直.

以。为坐标原点，08，0C>。尸的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则8（石,0,0）,C（0,l,0）,尸（0,0,6）,0（0,-1,0）,A伸3_3.

,0,M

2J

DM=，岑，=（73,1,0）,DC=（0,2,0）,

设平面MDC的法向量为〃=(%,%,zj,

2%=0,

n-DC=0,

则即退173C可取力=（2,0,-1）,

n-DM=Q丁+武+丁=0,

设平面MDB的法向量为心=（%2，%/2）,

m-DB=0,氐2+乃=°，

则即若1@一可取-百,0）,

m•DM_0—XQH—yH-------z=0,

I424?2292

所以8sM〉=就=亚=3

故二面角B-MD—C的正弦值为Jl-cos"",#-

20.(12分)

【答案】(1)分布列见解析，数学期望为L8

⑵①片=。，鸟=〈，4=；；②2包=一3尺+g("eN

【解析】(1)X的所有可能取值为1,2,3.则

P（X=1）=胃=《；P（x=2）=罟=|；P（X=3）=,1

10

所以随机变量X的分布列为:

X123

331

P

10510

331

数学期望E(X)=lx历+2xy+3x历=1.8.

(2)若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且”次传球后球在甲手中的概率为匕("=1,2,3,).

2121

则有6=0，k"十亏="

记A”表示事件“经过〃次传球后，球在甲手中”.

4+1=441+4・4+1所以尺+1=尸伍4+1+4・4+J=p（4•4+J+尸（44+J

=P(4)-P(AJ4)+P(A)・P(4J4)=(1一q)T+C.o=g(i一匕)・

即月匕+：(〃eN*).

所以心-9-：巾-巳，且片-;=-1

。\JJJD

所以数列，匕-!表示以-g为首项，-;为公比的等比数列.

1

所以4T=­X

31+察

1(-1),

即〃次传球后球在甲手中的概率是］X1+冒

21.（12分）

【答案】⑴J+V=1；

4

⑵证明见解析，定值为-12.

q=11

【解析】(1)设椭圆方程为pY+4_y2=l,贝lj649,，解得

12525国=1

所以椭圆的方程为《+>2=1.

4

(2)设P(Xo，%),A(m,O),3(〃,O),M(XM,O\N(XN,O),

则CM=(XMJ),C尸=(%,%+1),由CN//CP，得%(%+1)=%0，而%+1。。，于是为=—7，

九十I

38

838383383

工o,于是x=—y

DN=+g,y),£)尸=(X。+—,^0+—),同理(/+y)(%+g)=y(%o+1)，而为+yN

38

一%o—%

则儿4=(加-^——,O),MB=(zz--三,0),

.3V.+1

3_8

泌=("上)(〃-5/一父°)=3。+"%)(5"a+8%+3，~3.%),

%+1v+。(%+1)(5%+3)

为5

令5/77%+8%+3〃?=-3〃%-3"，而尸(X。,％)是椭圆上的动点，则5"?+8=-3",3根=-3",得〃=4,m=T,

于是地•ML=臼田。+4fl=-3[(4%+4>-(4-4砌=-12(5-+8%+3)

(%+9(5%+3)(%+1)(5%+3)5y：+8%+3

所以存在A(Y0)和3(4,0),使得MRM4是定值，且定值为-12.

22.22分)

【答案】(1)答案见解析

(2)证明过程见解析

【解析】(1)对/(x)=e2x+(a-2)e-ax-1求导得，f\x)=2e2^+(«-2)ev-«=(2eY+a)(er-1),分以下两

大情形来讨论f（x）的单调性：

情形一：当41时，有2e，+“>0,令/'（幻=（2/+娟6'-1）=0,解得x=0,

所以当x<0时，有尸（x）=（2e*+〃）（]—1）<0,此时f（x）单调递减，

当x>0时,有/'（幻=（21+力付-1）>0,此时Ax）单调递增；

所以/（%）在（-8,0）单调递减，在（0,+8）单调递增；

情形二：当〃<0时，令/''（幻=（21+0）3-1）=0,解得XI=0,%=ln1f,

接下来又分三种小情形来讨论〃幻的单调性：

情形（1）：当"―2时，W^i=0<x2=lnf--|\此时2e、+a,e=l/（x）J（x）随x的变化情况如下表:

in

(fO)KQ(H)d

2ex+a--+

e%-l-++

f\x)+-+

f(x)>

由上表可知f（x）在0）和卜n1£J,+sJ上单调递增，在10,In上单调递减；

情形（2）：当。=一2时，有芯=0=%=ln[-葭），此时广（此二^”一炉20,所以此时/⑺在R上单调递增；

情形（3）：当一2<。<。时，=0>x2=lnf-|Y此时2e*+a,e*—l，r（x）,y（x）随x的变化情况如下表:

(0,+oo)

2ex+a-++

ex-l——+

f,M+-+

fM

由上表可知/(X)在和(o,+g上单调递增，在上单调递减.

综上所述：当a<-2时，/⑴在(-8,0)和卜(一|),+，|上单调递增，在10,In,上单调递减;

当。=-2时，f(x)在R上单调递增；

当—2<a<0时，Ax)在「Ain,1］和(0,+功上单调递增，在(in、］,。］上单调递减；

当〃20时，/(%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

(2)因为/(x)=e2x+(Q—2)e，一办一1,所以由题意g(x)=/(x)+(2—a)e“=c2x-ax-1,

x

又因为g(x)=/(x)+(2-a)e在区间(0,+oo)上存在唯一零点x0,

所以存在唯一的尤0«。,+°°),有g(无0)=e2M-"-1=0,化简得。=-----,

%0

_-1

若要证明不<”2,则只需不〈一一一2,即只需e?%—(%+1)一>0,(飞>0),

不妨设〃(元)=e2,—(x+l)2,尤>0,求导得〃(x)=2e2，-2(x+l),尤>0,

令”(x)=〃(x)=2e2，-2(x+l),x>0,继续求导得M(x)工e2，-2>4-2=2>0,x>0,

所以当x>0时，/x)=2e"-2卜+1)单调递增,

所以h'(x)=2e2x-2(x+l)>/i'(0)=0,

所以当x>0时，无)=e2-(尤+叶单调递增，

所以〃(尤)=e"_(无+1)2>//(0)=0,

即当天>0时，有不等式e2%-(5+1『>0成立，

综上所述：若g(无)=/(尤)+(2-”贮在区间(0,+8)上存在唯一零点看,贝！

2024年高考数学模拟卷(新高考七省专用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设weR,a=(m,l),b=(4,m),c=(1,-2),则》_L：是a//b的()条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【解析】由向量a==(4,wz),c=(1,-2),

当6_Lc时，可得4*1-2m=0,解得〃?=2；

当〃/妨时，可得病-1x4=0,解得“=±2，

所以b_Lc是〃//6的充分不必要条件.

故选：A.

2.已知复数一3+2i是方程2/+12x+9二二。的一个根，则实数q的值是（）

A.0B.8C.24D.26

【答案】D

【解析】由复数-3+2i是方程2/+12”卜9=0的一个根，

得2(-3+2i)?+12(-3+2i)+g=0,

解得4=26,

故选：D.

则sin（2a+t）=（）

3.已知&£(。,兀)，若

12

A.——B.-C.—D.i—

3333

【答案】c

【解析】因为sin[a-邛，

所以sin(2a+胃=sin+2a—三)=coa2a-^-\=l-2sin2[a-^-\=l--=-,

I3jI6；33

故选：C

4.如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为|■的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方

形，记这2个小正方形的面积之和为跖；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相

邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为§2.以此类推，操作〃次，若4+S?+…+S'N翥2023，

则〃的最小值是（）

C.11D.12

【答案】C

【解析】由题意可知操作1次时有雪=2个边长为!=（的小正方形，即岳=2以[1]=4=--

2121^21J212

操作2次时有22=4个边长为5=；的小正方形,

*=g的小正方形,

操作3次时有23=8个边长为

以此类推可知操作"次时有2"个边长为《

由等比数列前〃项和公式有H+s,+...+s,

2

上陋不等式的最小正整数解,

从而问题转换成了求1-

2024

r<—,注意到11

将不等式变形为〉，且函数y在R上

I1202410242024

单调递减，

所以〃的最小值是11.

故选：C.

5.如图，A,B,C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯，其中开关A控制着2,3,4号灯，开关B控制

着1,3,4号灯，开关C控制着1,2,4号灯.开始时，四盏灯都亮着.现先后按动A,B,C这三个开关中

的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为（）

【答案】D

【解析】先后按动A,B,C中的两个不同的开关，有A；=6种方法，

若要1号灯亮，则按第一个开关时，1号灯灭，按第二个开关时，1号灯亮,

此时对应的方法有2种：（氏C）,（C,B）；

若要2号灯亮，同理可得有以下2种方法：（AC）,（GA）；

可知：要1号灯或2号灯亮有2+2=4种方法，

42

故所求的概率为尸

63

故选：D.

6.将函数〃x）=sin2x的图象向左平移费个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（无）在

［-2祖,〃?］（根＞0）上单调递增，则实数沉的取值范围是（）

「八7兀］「八兀1「兀7兀］「兀7兀

A.B.0,—C.—D.—

I32JI16J11632J11632_

【答案】B

=sin2x+包,

【解析】由题意知:

I8J

2x+型』-4加+空,2川+里

当w问时,

888

,3兀兀…/7兀ku

-4mH---->-----F2析m<----------

322

g(x)在［-2m,m\上单调递增,3；无之（左eZ）,（左eZ）；

"3兀，兀…717

2m-----«—F2左兀m<----卜kn

8216

...77Cku兀3kli5兀

右------>一+阳八Z),则不>----/.k<—,止匕时mW----Fkit,

3221624816

兀

又m>0,...左=0,:.0<m<一；

16

.7Ttkrc7t./,\„,5兀3kit.5,7JCkn„

右，------W-----Fkit\kGZ）,贝—W---,:.kN—，左721,此时-------<0,

32216V732248322

与机>0矛盾，不合题意；

综上所述：实数"?的取值范围为［0,2,

故选：B.

7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点厂关于直线x+_y=机的对称点为(2,1),o为坐标原点，点在

C上且满足OM.ON=0(M,N均不与。重合)，则△MON面积的最小值为()

A.4B.8C.16D.20

【答案】C

【解析】在C：y2=2px(p>0)中，焦点为尸(与oj,

焦点F关于直线/：》+y=机即y=-x+?”的对称点为A(2,I),

-^=1

2-P

P=2

2,解得

2+2.m=2

------+—=m

22

抛物线的方程为V=4x,

显然直线MN的斜率不为0,设直线"N的方程为x=%y+r,且言0,

设”（为,%）,^々,％）,

x=my+t.

联立2.,整理可得y-4加,—4/=0,

y=4x

A=16m2+16^>0,BPm2+r>0,且M+%=4m，=-4，,/々=（“%）=/

16

又因为OMON=0,即占％+%%=「-4f=。"*0,

•'•t—4.

：.即直线MN的方程为x=冲+4,

直线MN恒过（4,0）点，

S.OMN=3*4*»]—％|=2]（、+%）2-4%%=2,16疗+16,=8，」2+4上8x2=16,

当且仅当根=0时，等号成立.

故选：C.

|x|-3,x<3

8.已知函数/（元）=，若函数8。：）=[〃叫2-勾?。：）+2有6个零点，则。的值可能为（

一—+6尤—9,%>3

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】C

【解析】由题可得,/（3）=/（-3）=0,在（9,0）,（3,4w）上单调递减,在（0,3）上单调递增，则据此可

作出函数/'（X）大致图象如图所示,

令〃x）=r，则由题意可得/一书+2=0有2个不同的实数解。，（2,且不出€（-3,0）,

A=片—8>0

—6</[+心=〃<011/-

则1：n-=<0<-2应，观察选项可知，。=-3满足题意.

能=2>03

（%+3）（。2+3）=11+3a〉0

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知A3是两个事件，且0<P（3）<l,则事件AB相互独立的充分条件可以是（）

A.0

B.尸（A月）=P（A）尸（耳）

C.P（A|B）=P（A|B）

D.P2（AB）+P2（AB）+P2（AB）+P2（AB）=-

4

【答案】BCD

【解析】若尸（"）=0,

则事件AB没有共同部分，即互斥，

得不出事件相互独立，A错；

由P（AB）=P（A）P（B）,

得P（AB）=［P（AB）+P（AB）］P（B）

=P（AB）P（B）+P（AB）P（B）,

则尸⑻尸（死）=口-尸⑻］尸（AB）,

^P（B）［P（AB）+P（AB）］=P（AB）,

即尸（A）尸（B）=尸（AB）,

则事件A3相互独立，B正确；

由尸（A|B）=尸（A|B）,

尸尸（成）P⑷一尸（AB）

'P（B）尸（豆）l-P（B）'

得P（AB）-P（B）P（AB）=P（A）P（B）-P（B）P（AB）,

即尸（AB）=P（A）尸（3）,

则事件A,8相互独立，C正确;

由P2（AB）+P2（AB）+P2（AB）+P2（AB）=-,®

4

且尸（AB）+P（社）+尸（瓶）+尸（血）=1,②

②式两边平方，并利用①式可得，

P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）

_____3

+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB}=-,③

8

结合①③，可得，

[P（AB）-P（AB）]2+[P（AB）-P（AB）J+[P（AB）-P（AB）J

+[P（AB）-P（AB）J+[P（AB）-P（AB）J+[p（AB）-P（AB）]2

=3[P2（AB）+P-（AB）+P2（AB）+P2（AB）]

-2^P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）

+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）+P（AB）P（AB）]=O,

则P（AB）=尸（而）=P（AB）=P（AB）=；,

所以尸（A）=P（A5）+P（“）=g,

尸（B）=尸（AB）+P（初）=±

所以P（AB）=P（A）尸（3）,

即事件A,B相互独立，D正确

故选：BCD

10.已知直线/：fcv-y-左=0,圆尤2+y2+£）x+Ey+l=。的圆心坐标为（2,1）,则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过点（1,0）

B.D=-4,E=-2

C.直线/被圆加截得的最短弦长为2万

D.当％=1时，圆M上存在无数对点关于直线/对称

【答案】ABD

【解析】直线/：丘-丁-％=0,恒过点（1,0）,所以A正确；

圆/:/+产+m+/+1=0的圆心坐标为(2,1),£)=Y,E=-2,所以B正确；

圆M:/+y_4工-2卜+1=0的圆心坐标为(2,1),圆的半径为2.

直线/：丘-丁-左=0,恒过点(1,0),圆的圆心到定点的距离为：友,

直线/被圆M截得的最短弦长为2"与=20*24，所以C不正确；

当左=1时，直线方程为：x-y-1=0,经过圆的圆心，所以圆M上存在无数对点关于直线/对称，所以D

正确.

故选：ABD.

H.己知函数的定义域为R,值域为(o,+“)，荒号=[〃y)T，则()

A./(0)=1B./(1)=1

C.〃2尤)="(切2D.x=l是函数〃尤)的极小值点

【答案】AC

[解析】取x=y=0,则[〃0)]2=1,且/(x)>0,故/'(0)=1,A正确；

取/(力=1,符合题意，此时/(l)=ewl,且/(x)在R上单调递增，不存在极值点，B和D错误；

取y=龙，则:'(⑼)=[/(切，即〃2x)=["x)T,C正确，

故选：AC.

12.如图，正三棱柱ABC-A耳G的各棱长均为1,点P是棱BC的中点，点M满足用0=/144(九目0』)，

点R为的中点，点。是棱A3上靠近点8的四等分点，则()

c

A.三棱锥2-GAM的体积为定值

B.GM+BM的最小值为6+1

C.CM〃平面PQR

D.当2=(时，过点P,A,R的平面截正三棱柱ABC-A4G所得图形的面积为近

26

【答案】AC

【解析】由题意可知匕.期=Vg—ABM，设点G到平面ABM的距离为d,

易知平面AMG，平面AB与A，

所以点G到平面ABM的距离等于点G到线段44的距离，

又A月=4G=B|G=1,所以“=立，

2

所以％=%-4BM=；S%M•”=；AB-44iM=；xlxlx*=*'为定值,

JUU乙JL4

故A正确；

将△A4C沿44展开与正方形用4在同一个平面内，

记此时与G对应的点为。2，

则当8,"(2三点共线时，G"+3M取得最小值，即BC,,

BC=』BB；+B[C；-2BB「2c2cos150。=,2+g="；血,

2

故3M+BM的最小值为巫+母,故B错误；

2

由点氏P分别为8M，8c的中点，得PR//CM,

又「Ru平面PQR,CM</平面PQR,

所以CW〃平面尸。R,故C正确；

连接AR并延长交B用于点S,连接尸S,

则过点尸,AR的平面截正三棱柱ABC-44c所得截面图形为座，

因为AP_L3C,平面CBBgJ平面ABC,

平面CBB£c平面ABC=BC,APu平面ABC,所以AP/平面CBB&,

又PSu平面CBBG，所以AP_LPS,

取AB的中点N,连接MN,则点。为的中点，又点衣为的中点，

所以QR//MN,QR=gMN,

当彳=；时，点/为A片的中点，所以MN//BS,

所以。R〃BS,所以笑=黑=?,

BSAB4

所以3S=gQR=：MN=],所以PS=,F7I=e,

333\946

S

^APAS=-AP-PS=-X^X-=^,故D错误.

△MS222624

故选：AC.

第口卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(x-2y)s的展开式中/V的系数为(用数字作答).

【答案】112

【解析】因为(x-2y『的展开式中含//的项为(-2y)2=112x6y2,

(x-2yy的展开式中W的系数为112.

故答案为：112.

14.如图，在_ABC中，AD=2DB，尸为C。上一点，且满足AP=mAC+(me7?),则m的值为

【答案】；

3

【解析】因为=+,AO=2D3即，A5=-AD

2

13

所以AP=mAC+—A5=mAC+—AO,

24

又C,P,。三点共线,

31

所以加+:=1,解得根=：.

44

故答案为：了.

4

15.若函数〃x)=sin|x+m-^J+e'+ef为偶函数,则机的最小正值为

【答案】^。万q2兀

【解析】函数的定义域为R，/(^)=sinx+m-高+。,+b为偶函数,

则/(-x)=/(x)，即sinr+T+e--X+e"=sinx+m-—+e"+er

6I6

贝Usinl-x+m-^-=sinx+m--,即y=sin'+是偶函数'

I6

jrJr127r27r

可知加—二二二+左兀，keZ,即机=臼+而，keZ,故加取最小正值为

6