山东省菏泽市2025届高三数学联合模拟考试试题（含解析）

山东省荷泽市2025届高三数学联合模拟考试试题（含解析）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知i是虚数单位，则L（i+，）=（）.

i

A.iB.-iC.1-zD.1+z

【答案】C

【解析】

【分析】

依据复数的除法运算法则，即可求解.

【详解】--（l+0=-+l=l-z.

ii

故选：C.

【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.

2.若集合A={x|y=-x},5={A|%2-x-2<0},则AcB=（）.

A.[-1,1]B.-1,2]C.[1,2]D.（-1,1]

【答案】A

【解析】

【分析】

化简集合A3,依据交集定义，即可求解

【详解】易知A={x|y=-x}={x|xW1},B={x\-1<x<2],

所以AC5={JC|—

故选：A.

【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.

3.2024年12月，湖北省武汉市发觉多起病毒性肺炎病例.2020年1月12日，世界卫生组织

正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2024新型冠状病毒2020年2月11日，世界卫

生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为C0819（新冠肺炎）。新冠肺炎患者症状是发热、

干咳、浑身乏力等外部表征。“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的

().

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

依据充分必要的定义，即可得出结论.

【详解】表现为发热、干咳、浑身乏力者不肯定是感染新型冠状病毒，

或者只是一般感冒等；而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、

干咳浑身乏力等外部表征.因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”

是“该人患得新型冠状病毒”的必要不充分条件.

故选:A.

【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，属于基础题.

4.已知向量a,〃满意a=(1,2),a+b—+,若G〃匕，则机=().

11

A.2B.—2C.—D.---

22

【答案】D

【解析】

【分析】

依据已知求出b的坐标，再由共线向量的坐标关系，即可求解.

1r1r

【详解】人=(a+人)一a=(1+根,1)—(1,2)=(m,-l).

因为a〃8，所以2加+1=0,解得m=—g.

故选：D.

【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题.

fV22

5.已知双曲线^--^-=1一条渐近线上存在一点到x轴距离与到原点。的距离之比为一,

5a3

则实数a的值为().

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

依据已知可得渐近线的斜率，建立。的方程，即可求出结论.

22

【详解】由题意，一条渐近线的斜率为

A/32-2275’

则亚=2

解得＜7=4.

75V5

故选：B.

【点睛】本题考查双曲线的方程和简洁几何性质，属于基础题.

6.从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，其中■个作为对数的底数，另■个作为对数的真

数，则对数值大于0且小于1的概率是().

1131

A.—B.—C.—D.—

8482

【答案】C

【解析】

【分析】

依据对数的限制条件，列出全部对数的基本领件，确定出满意条件的对数个数，由古典概型

的概率公式，即可求解.

【详解】由于1只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数,

共得到4个对数，其值均为0.

从1除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，

基本领件为(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),

(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共12个,

所以基本领件总数为16个，满意题设条件的事务有(3,2),

(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共6个，

由古典概型的计算公式得所求事务的概率尸=9=°.

168

故选：C.

【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.

7.某校周五的课程表设计中，要求支配8节课(上午4节、下午4节)，分别支配语文数学、英

语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能支配在第一节或最终一节，数学和英语

在支配时必需相邻（注：上午的最终一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程依次的

编排方法共有（）.

A.4800种B.2400种C.1200种D.240种

【答案】B

【解析】

【分析】

先支配生物有接着支配相邻的数学和英语有5种相邻形式，故有5A；,最终支配其它5

节课有A；,依据分步乘法原理，即可求解结论

【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最终一节，

所以从第一个位置和最终一个位置选一个位置把生物支配，

有=2种编排方法；其次步因为数学和英语在支配时必需相邻，

留意数学和英语之间还有一个排列有5国=10种编排方法；

第三步：剩下的5节课支配5科课程，有A；=120种编排方法.

依据分步计数原理知共有2*10*120=2400种编排方法.

故选：B.

【点睛】本题考查排列和分步乘法原理的应用，限制条件优先考虑，属于中档题.

8.已知大于1的三个实数a,b,c满意（Iga）?-21galg6+lg61gc=0,则a,b,c的大小关系不

行能是（）

A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.

b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】

令〃x）=Y-2xlgb+lg61gc,则Iga为了（%）的零点，依据判别式可得就3=。和

b>c分类探讨后可得a,b,c的大小关系.

【详解】令=d-2xlg6+lg61gc,则Iga为了（九）的零点且该函数图象的对称轴为

x=lgb,

A=41g2Z?-41gZ?lgc>0,

因为故lgZ?>O,lgc>。，所以IgbNlgc即1Nc.

又/(lg6)=lg61gc-lg2b=lgb(lgcTgb),/(lgc)=lg2c-lg61gc=lgc(lgc-lg6),

若Z?=c,则〃lg6)=〃lgc)=0,故lga=lgZ?=lgc即b=c.

若b>c,则〃lgb)<0,/(lgc)<0,所以lga<lgc或者lgO<lga,

即a<cvb或a>6>c.

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的零点，留意先依据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在

定理来探讨，留意合理分类，本题为中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.Keep是一款具有社交属性的健身APP,致力于供应健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指

导、装备购买等一站式运动解决方案.彩叨可以让你随时随地进行熬炼，记录你每天的训练进

程。不仅如此，它还可以依据不同人的体质，制定不同的健身支配。小吴依据而他记录的2024

年1月至2024年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线

B.月跑步里程最大值出现在10月

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至H月波动性更小

【答案】BCD

【解析】

【分析】

依据折线图的信息，逐项推断，即可求出结论.

【详解】由所给折线图可知：月跑步里程并不是逐月递增，故选项A错误；

月跑步里程最大值出现在10月，故选项B正确；

月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故选项C正确；

1月至5月的月跑步里程相对6月至H月，波动性更小，

故选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查折线图数据分析，考查数形结合，属于基础题.

10.如图，"是正方体ABC。-A4GR的棱。2的中点，下列命题中真命题是（

A.过"点有且只有一条直线与直线A5、与G都相交

B.过"点有且只有一条直线与直线AB、B©都垂直

C.过"点有且只有一个平面与直线AB、BC都相交

D.过"点有且只有一个平面与直线AB、B©都平行

【答案】ABD

【解析】

【分析】

点”不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过"点有且只有一条直线与直线A3、用G

都相交，A正确.过"点有且只有一条直线与直线A3、用。］都垂直，B正确.过〃点有

多数个平面与直线A3、4G都相交，C不正确.过"点有且只有一个平面与直线A3、四&

都平行，D正确.

【详解】解：直线与qG是两条相互垂直的异面直线，点〃不在这两异面直线中的任

何一条上，如图所示:

取CC的中点N,^\MN//AB,且=设BN与3©交于“，则点A、B、M、N

、H共面，

直线HM必与AB直线相交于某点。.

所以，过〃点有且只有一条直线H0与直线A3、片C1都相交；故A正确.

过M点有且只有一条直线与直线A3、用G都垂直，此垂线就是棱DR,故B正确.

过河点有多数个平面与直线A3、与。］都相交，故C不正确.

过M点有且只有一个平面与直线A3、与C都平行，此平面就是过"点与正方体的上下底都

平行的平面，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查空间中过定点的直线与已知直线是否相交、平行以及过定点的平面与已知

直线是否相交、平行，基础题.

11.已知函数/(x)=Asin(0x+〉0,。〉0,0＜。的部分图象如图所示，若将函

1兀

数"X)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一，再向右平移F个单位长度，得到函数

46

g(x)的图象，则下列命题正确的是().

A.函数/(x)的解析式为/(x)=2sin[；x+£]

B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin[2x-^]

TT

C.函数/(无)图象的一条对称轴是直线x=-w

47r

D.函数g(X)在区间7T,—上单调递增

【答案】ABD

【解析】

【分析】

依据最高点坐标求出A,依据最高点坐标与相邻的x轴交点坐标，求出周期，进而求出。，

再由C点坐标求出9,求出Ax)的解析式，可推断选项A；依据坐标变换关系，求出g«)的

77

解析式，可推断选项B；将x=-§代入/Xx),即可推断C选项；求出g(x)的单调递增区间,

即可推断选项D.

【详解】由图可知，A=2,—=1，所以T=4»=上，

4CD

解得0=故/(x)=2sin]gx+4。].

因为图象过点C(0,D，所以l=2sin4Q,即sin4e=L

2

JrIJr!'J!

因为0<°<一,所以0<40<一,所以4°=—,

826

故/(x)=2sin]gx+W；故4项正确；

若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的工，

4

所得到的函数解析式为y=2sin(2x+乡],

再向右平移三个单位长度，所得到的函数解析式

当x=-工时，/f--j=2sin0=0,即x=—工时，

3I3j3

TT

f（元）不取最值，故％=——不是函数/'（无）的一条对称轴，

3

故C项错误；

TTTTTT

令2女》一万<2x-—<2k/r+—（keZ）,

TTTT

得ki<x<k7r-\——（Z:eZ）,

63

7171.

故函数g（x）的单调增区间是k7T---,k7v+--（左eZ）,

o3_

544万

当左=1时，g（x）在区间—上单调递增.

63

所以〃项正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查由函数图象求解析式、三角函数图象变换关系、三角函数的性质，属于中

档题.

12.已知直线1过抛物线C：V=—2px（p>0）的焦点，且与该抛物线交于"，N两点，若

线段的长是16,的中点到V轴的距离是6,。是坐标原点，则（）.

A.抛物线。的方程是V=—8xB.抛物线的准线方程是y=2

C.直线/的方程是x—y+2=0D.AMQV的面积是8夜

【答案】AD

【解析】

【分析】

依据已知可得M,N横坐标和，再由焦半径公式，求出P,推断选项A；求出抛物线的准线方

程，推断选项B；设直线方程为工=加y+々，与抛物线方程联立，设M（x，%）,N（X2，%）得

到“，为关系，进而求出石+%2的值，建立加的方程求解，可推断选项C；利用

5谶的=?0口・|%-%|利用X，为关系，即可求解，推断选项D.

【详解】设河（冷乂），Ngy）,

依据抛物线的定义可知||=—（石+&）+°=16,

又的中点到V轴的距离为6,-3土玉=6,

2

/.%+%2=-12,p=4.

所求抛物线的方程为/=—8x.故/项正确；

抛物线。的准线方程是尤=2,故8项错误；

y~=-8x

设直线/的方程是x=2,联立,

x=my-2

cfy+必=-8m

消去X得V+8根y—16=0,贝H12，/,

M%=T6

2

所以X]+x2=-8m—4=-12,解得m=+1>

故直线/的方程是X—y+2=o或x+y+2=0.故。项错误；

]]I--------------------

=

S&MON-\OF\-1^-y2|=-x2-+%）——4yly2=V64+64=8A/2.

故D项正确.

故选:AD.

【点睛】本题考查抛物线方程和性质、直线与抛物线的位置关系，留意根与系数关系设而不

求的方法求解相交弦问题，考查数学计算、逻辑推理实力，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题“全部无理数的平方都是有理数”的否定是.

【答案】存在一个无理数，它的平方不是有理数

【解析】

【分析】

依据全称命题的否定形式，即可求解结论.

【详解】存在一个无理数，它的平方不是有理数，

全称性命题的否定是先变更量词，然后否定结论，

故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”.

故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数

【点睛】本题考查命题的否定形式，要留意量词之间的转化，属于基础题.

14.在的绽开式中一项的系数为.

【答案】1120

【解析】

【分析】

求出二项绽开式的通项，令x的指数为2,求出项数，即可求解.

2、,8-3

【详解】绽开式的通项为

=C8(-2/X2

一五7

令8——厂=2,得厂=4,

2

所以绽开式中含/项的系数为或(-2)4=1120.

故答案为：1120

【点睛】本题考查二项绽开式定理，熟记绽开式通项是解题的关键，属于基础题.

15.已知直线"+互y+C=0(其中&+32=。2,C/0)与圆d+y2=6交于点〃，N,

UUUU1UULIU

。是坐标原点，则|MN|=OM-MN=

【答案】(1).20(2).-10

【解析】

【分析】

先求出圆心。到直线—+为+。=0的距离，再由相交弦长公式，求出|MN|；设的

uuumiur1unr

中点为。，则有利用—ND,依据数量积的运算律，即可求解.

2

【详解】由T+32=。2,cwo可知，

,|C|.

圆心到直线Ax+3y+C=0的距离d=「~==1,

VA2+B2

|MN|=271OM|2-d2=246-i=2A/5.

设的中点为。，则

uuununrmurunriuuum

OM=OD+DM=OD+-NM,

2

uuunUULUUULT1UULUuuun1UULm2

OM-MN=(OD+-NM)-MN=--MN=-10.

故答案为：20；-10.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积运算，熟记圆的弦长公式以及几何性

质是解题关键，考查计算求解实力，属于中档题.

16.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个相互垂直的内切

圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积

与“牟合方盖”的体积之比应为»：4.若“牟合方盖”的体积为3，则正方体的外接球的表

3

【答案】12万

【解析】

【分析】

依据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，依据正方体内切球的直径为其棱

长，外接球的直径为其对角线，即可求解.

【详解】因为“牟合方盖”的体积为3，

3

又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为力：4,

jr164

所以正方体的内切球的体积V球=—又一=—"，

433

所以内切球的半径r=1，所以正方体的棱长为2,

所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即2R=2百，

所以夫=6,所以正方体的外接球的表面积为S=4万夫2=4万(省产=12万.

故答案为：12万.

【点睛】本题以数学文化为背景，考查正方体与球的“内切”“外接”问题，驾驭它们之间

的关系是解题的关键，属于基础题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.①B,②。=2,③/7cosA+acosB=百+1，这三个条件中任选一个，补充在下面

问题中，并解决相应问题.

已知在锐角,ABC中，角A，B,C的对边分别为。，b,c,ABC的面积为S,若

4S=b2+c2-a2,b=R.且,求ABC的面积S的大小.

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

已知条件等式结合面积公式和余弦定理求出A，若选①由正弦定理求出。边，利用两角和正

弦公式求出。角，再由面积公式，即可求解.若选其它条件，结果一样.

722_2

【详解】因为4s=加+。2-/，cosA=~a,

2bc

S=—bcsinA,所以2Z?csinA=2/?ccosA.

2

JT

明显cosAwO,所以tanA=l,又Ae(0,»),所以A=—.

4

7Tnh

若选择①3二工，由‘=二二乙，

3smAsinB

bsinA

得〃二

sin5

2

又sinC=sin[»-(A+B)]=sin(A+B)

...V3V21V2m+&

=smAcosBD+cosA4smBD=——x-----F—x----=-----------,

22224

gr-pj1入•厂3+6

所以SQ=—absmC=--------•

22

若选择②a=2,由'二=一"，得sin5=04=，3，

sinAsinBa2

5G^0,^J,所以cos3=g.

sinC=sin[7r-(A+B)]=sin(A+B)

=si・nAAcosBD+cosAAsm•Bo=----------，

4

grpj1入•厂3+G

所以SQ=—absmC=--------•

22

若选择③Z?cosA+〃cosB=6+1，

所以〃cos5=l,即七•〃一二叩

2ac

B

所以/=6+2c—c?,又〃2=6+/-2娓c-----=6+/-2A/3C，

2

所以6+2c—c?=6+c2—2A/3C，解得c=石+1，

所以S=—Z?csinA=+

22

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解实力，属于基础

题.

18.已知数列｛2｝满意〃％+i-5+=1(〃wN*),且4=1.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列也｝满意a=去，求数列也｝的前〃项和力

w+1

【答案】(1)4=2〃-1；(2)S〃=3-尹

【解析】

【分析】

⑴依据已知可得乌――——工，由累加法可得组，进而求出｛4｝的通项公式;

n+1nnn+1n

(2)由(1)得么=干厂，用错位相减法，即可求出｛2｝的前〃项和S,.

【详解】(1)因为〃4+1_(〃+为％=1,

&111

所以(，

〃+71----n-=—----+--=-n-----〃--+-17

所以2—j=__—l(n>2),

nn—1n—1n

an-\an-2一_11,

n-1n-2n-2n-1

a（\_1

2—i，

212

所以殳一4]=1--（n>2）.

nn

又q=l,所以”=也二1,所以4=2“—1（九22）.

nn

又q=l,也符合上式,

所以对随意正整数〃，。“=2〃-1.

2〃一1

（2）结合（1）得包=号丁，所以

013572n-l

S=—H--H———-+…H---——,①

123

〃3°3333“一1

1_1352n-l人

c,•+-------,②

3"—J系士手3”

①—②，得夫=1+21112«-1

++••*+——7

3?3"T3"

2x|[i-（|ri

2n-l〜2n+2

=1+———-------=2----------

1--3.3"

3

所以S〃=3—

【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，错位相减法求数列的前〃项和，考查逻辑推理、

数学计算实力，属于中档题.

19.如图，在三棱柱，ABC—4用。1中，侧面A4C。菱形，。是AC中点，平面

ABC,平面3月。与棱AG交于点E，AB=BC.

(1)求证：四边形3片血为平行四边形；

(2)若C4与平面A3与4所成角的正弦值为普，求需的值.

Ar74r2

【答案】(1)证明见解析；(2)——=4或一=-

BDBD3

【解析】

【分析】

(1)由已知可得43〃平面AACC1,由线面平行的性质定理，可得B]B〃DE,再由面面平

行的性质定理，可证3。B]E,即可证明结论；

(2)依据已知可得。民DC,%两两相互垂直，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，设

BD=a,AD=b,确定出点AA，5,E,C用坐标，求出平面弓法向量坐标，由空间

向量的线面角公式，建立。,6关系，即可求解.

【详解】(1)证明：在三棱柱ABC-A与G中，侧面AABB]为平行四边形,

所以又因为用5</平面AACC1，AAu平面AACC],

所以与3〃平面,因为平面

且平面BBXDn平面\ACCX=DE,所以B.B//DE.

因为在三棱柱ABC—A31cl中，平面ABC〃平面4月£,

平面BBQn平面ABC=BD,平面BBQn平面=BXE.

所以5。B[E,故四边形与BED为平行四边形.

(2)在ABC中，因为AB=5C,

。是AC的中点，所以5。，AC.

因为平面ABC,所以\D1AC,

以DB，AC,所在直线分别为X轴，y轴，Z轴,

建立如图空间直角坐标系。-孙Z.

设,BD=a,AD=b,在△A41。中，"=24。，

*ZM=90°,所以-£)=屏，所以。(0,0,。)，

A(Q,-b,Q),A(0,0,辰)，B(a,0,0),

UULA.—ULUU

则所以44=(03,，31，AB=(a,b,0).

UUL1UUUL1UUU厂

因为E(0,仇屉)，所以=DE+DB=(a,b,13b),

即因为C(0,40),所以C4=(a,0,屏).

设平面ABB.A的法向量为n=(x,y,z).

y=-y/3z

n-AA=0加+*z=。,所以.

因为＜t，即《y/3b

nAB=0ax+by=Qx=------z

a

令z=a,则丁=—石〃，x=6b，所以％=(6b,—6a,a).

rULIU

rUULTnCBi2y/3ab

因为|cos〈〃,C4〉|=7/=

222

\n\\CB1\^3b+3a,+4xa+3b2

2#>abJ39

所以，即4Q4—376Z2Z?2+9Z?4=0，

,46+3/，？+3/13

所以片=J_〃或/=泌2,即a=与或a=3b,

42

匚“AC…AC2

所以二4或=—.

BDBD3

【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与直线平行以及空间向量法求线面角，留

意空间平行关系的相互转化，考查逻辑推理、数学计算实力，属于中档题.

20.某服装店每年春季以每件15元的价格购入M型号童裤若干，并起先以每件30元的价格

出售，若前2个月内所购进的"型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的M型号童裤将以

每件10元的价格低价处理（依据阅历，1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕，且处

理完毕后，该季度不再购进〃型号童裤）.该服装店统计了过去18年中每年该季度〃型号

童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）.

前2月内的销售量（单位：件）304050

频数（单位：年）684

（1）若今年该季度服装店购进M型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售

M型号童裤获得利润X的分布列和期望；（结果保留一位小数）

（2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件"型号童裤时所获得的平均利润

最大.

【答案】（1）分布列见解析，E（X）a533.3元；⑵40件

【解析】

【分析】

（1）先求出利润X的可能值，依据过去18年中销售量的频数表，得出X对应的概率，得到

X的分布列，求出期望；

（2）分别求出购进M型号童裤30件、40件、50件时，利润的期望值，比较即可得出结论.

【详解】（1）设服装店某季度销售"型号童裤获得的利润为X（单位：元）.

当需求量为30时,X=15x30-5(40-30)=400,

当需求量为40时,X=15x40=600,

当需求量为50时,X=15x40=600.

所以P(X=400)=g,P(X=600)=1.

故X的分布列为

则石(X)=400x^+600x2=1^22士533.3(元).

333

所以服装店今年销售M型号童裤获得的利润均值为533.3元.

(2)设销售M型号童裤获得的利润为Y.

依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，

则服装店每年该季度购进的M型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件.

当购进M型号童裤30件时，

342

E(K)=(30-15)x30x-+(30-15)x30x-+(30-15)x30x-=450；

当购进M型号童裤40件时，

342

E(y)=[(30-15)x30-(15-10)xl0]x-+(30-15)x40x-+(30-15)x40x-

当购进〃型号童裤50件时，

342

E(F)=[(30-15)x30-(15-10)x20]x-+[(30-15)x40-(15-10)xl0]x-+(30-15)x50x-

所以服装店每年该季度在购进40件"型号童裤时所获得的平均利润最大.

【点睛】本题考查随机变量的分布列和期望，考查应用数学学问解决实际问题，考查计数学

建模、数学计算实力，属于中档题.

21.已知椭圆c：=+3=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为白，B，以"(—a,b),N(a,b),

ab

F2和片为顶点的梯形的高为G，面积为3JL

(1)求椭圆C的标准方程；

1?

(2)设A，3为椭圆。上的随意两点，若直线AB与圆。：炉+丁=一相切，求，AOB面

7

积的取值范围.

%2丫？12/~

【答案】(1)二+乙=1；(2)—,V3

4317」

【解析】

【分析】

(1)由梯形"NK耳的高求出力，由梯形脑化耳的面积，建立关于凡。方程，结合a,仇。关

系，即可求出椭圆标准方程；

12

(2)设直线/的方程为：y=kx+m,利用直线与圆0:/+y2=一相切，得到左，相关系，

7

直线方程与椭圆方程联立，设人(玉,%)，6(%,%)，得出与马关系，由相交弦长公式，求

出|AB|关于左的函数，依据函数特征，求出其范围，再由8^^=:><苧><|48],即可求

出结论.

r\._

【详解】(1)由题意，得bf，且a2J6=3石,

，a+c=3,又〃之一°2=3,解得a=2,c=1.

22

•••椭圆。的方程为土+匕=1.

43

(2)如图,设A(w，yJ,B(x2,y2),

当圆。的切线/的斜率存在时，设/的方程为：y=kx+m,

切点为连结0”,则

因为/与圆。：炉+；/=了12相切，

\m\字所以苏二31

所以d=

VF+i77

y=kx+m

联立《12y2,整理得（3+4左2）%2+8加1^+4m2-]2=0.

[43

A=64%2_16（m2—3）（442+3）

48（16/+9）〉0

=48（4左2—"，+3）=

7

8km4m2-12

所以玉+%2=一

4F73'X1%2=7FT3

又|AB|=J1+左2.J（尤1+犬2）2—4%I%?

64k2m2-4（4m2-12）（4fc2+3）

=y/1+k~-

（442+3）2

48（3+4/-疗

=Jl+k”■

473（1+r）（9+1642

7""\2

lc

1+

16左4+24左2+9

①若左w0时,

1+——1~

16^+24+^'

k2

9I--------

因为16/7+24+丁224=48,

K

当且仅当左=±且时，"=”成立.

2

即始<|AB|KJ7.

不

4J3

②当上=0时，|A8|=¥，所以¥<\AB\<41.

又|。”|=丝

1DC-in

所以SAAOB=4IAB|•IOH|=—『|AB|e—,G.

22,7L77_

‘上或一

当圆。的切线斜率不存在时，则AB的方程为了=

此时A,6的坐标分别为或

,12

,此时SAMBB=~

综上，AOS面积的取值范围为

【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与圆以及直线与