2024年中考数学第一次模拟考试试卷(无锡卷)(全解全析)

2024年中考第一次模拟考试（无锡卷）

数学•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：140分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分,在每小题给出的四个选项中，恰有一

项是符合题目要求的）

1.下列各组数中，互为相反数的组是（）

A.卜2023|和-2023B,2023和，，

C.卜20231和2023D.-2023和，^

【答案】A

【解析】解：A.卜2023|=2023和-2023互为相反数，故A选项符合题意；

«1

B.2023和前3互为倒数，故B选项不符合题意；

C.卜2023『2023和2023不互为相反数，故C选项不符合题意；

D.-2023和七不互为相反数，故D选项不符合题意；

故选：A.

2.已知/=1-白，下列结论正确的是（）

A.当。=-5时，/的值是0B.当。＞-4时，/的最小值为1

C,若/的值等于1,贝h=TD,若/的值等于2,贝!-5

【答案】D

【解析】解：当。=-5时，N=1-%*=1+1=2,A选项错误；

当“>-4时，“+4>0,白-^4<0,J2<1,即/的最小值小于1,B选项错误；

,,1

当/=1时，1=1-解得。=-4,此时分式无意义，故不合题意，C选项错误；

C,1

当/=2时，2=1-…，解得"-5,D选项正确，

故选：D.

3.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同,

所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，/1=122。,42的度数为()

A.32°B,58°

【答案】B

【解析】解:如图，

根据题意得：«Hb,c//d,

Zl+Z3=180°,Z3=Z2,

Zl=122°,

Z2=58°.

故选：B.

4.下列计算错误的是()

〃2

A.x(x-1)=X2-xB.X3XX2—xsC.力=X6D.(a-2>=-4

【答案】D

【解析】解：A中X(XT)=X2-X,正确，故不符合要求;

B中X3XX2=X5,正确，故不符合要求；

C中（x3）=X6,正确，故不符合要求；

D（。-2）2=〃2-44+4工42-4,错误，故符合要求；

故选：D.

5.若点/Q,>）、B（x,y）、C（x,y）是反比例函数y=-U图象上的点，且x<x<0<x,则y、y、y

112233X123123

的大小关系是（）

A.y<y<yB.y<y<yc.y<y<yD.y<y<y

123321231312

【答案】D

可知,乙<乙<2

故选：D.

6.随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h,动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所

用的时间相同.设动车提速后的平均速度为xkm/h,则下列方程正确的是（）

360480360_480360_480360480

A.——二B.C.D.——=——

Xx+60x-60Xxx-60x+60x

【答案】B

360480

【解析】解：根据题意，将x-60丁

故选：B.

7.将抛物线>=（》-1）2+5通过平移后，得到抛物线的解析式为〉=*+2彳+3,则平移的方向和距离是（）

A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度

B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度

C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度

D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度

【答案】D

【解析】解：抛物线y=（X-1》+5的顶点坐标为（1,5）,抛物线y=X2+2x+3=（X+1）2+2的顶点坐标为（-1,2）,

而点（1,5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（-1,2）,

所以抛物线V=（X-1》+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3.

故选：D.

8.如图，正方形/BCD和正方形/EFG,当正方形/EFG绕点A逆时针旋转45。时，如图，连接。G、BE,

并延长BE交。G于点H若/£=2应，AB=8,时，则线段的长为（）

A16gB」4MC,5+2加

D.6+2710

55v

【答案】A

【解析】解：连结GE交于点N,连结。£,如图，

...正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°,

N尸与EG互相垂直平分，且/尸在ND上,

-：AE=2^2t

AN=GN=2,

：.DN=S-2=6,

在RtONG中，DG=^DNi+GNi=2710;

由题意可得：相当于逆时针旋转90。得到"G。,

/.DG=BE=2,

7S=1GEND=1DGHE

△DEG22

BH=BE+HE=6M+16M

5-~

故选：A.

9.如图，48是。。的一条弦，点。是。。上一动点，且4cB=8,点瓦户分别是4CIC的中点，直线

E77与。。交于G,H两点，若。。的半径是尸，则GE+尸〃的最大值是（）

A.r（2-sin0）B.r（2+sin0）C.r（2-cos0）D.r（2+cos8）

【答案】A

【解析】解：作直径4P,连接8尸,

443尸=90。，

'：ZP=ZC=Q,PA=2r,

sinNP=sin0=",

AP

AB=2r-sin0,

■.E,尸分别是NC,3C的中点,

.1E尸是“BC的中位线，

EF=-AB=r-sin0,

2

'：GE+FH=GH-EF,

.•.当G〃长最大时，GE+切有最大值，

.•.当是圆直径时，GH最大.

GE+FH最大值是2r-rsin0=r（2-sin0）.

故选：A.

10.如图，在矩形48。中，E为AB中点,,以NE为边向上作正方形/EFG,边昉交CQ于点〃，在边北

上取点〃使=作〃/G交于点2,交尸G于点N,记4E=a,EM=b,欧几里得在《几

何原本》中利用该图解释了（。+6）（。-6）=。2-如现以四为直径作半圆°,恰好经过点“，交CD另一

点于P,记△HPB的面积为"，ADZ户的面积为g，若。=1，则"-g的值为（）

B.乎

卜IC.1D."

【解析】解：依题意得：四边形/EFG,NMLD均为为正方形,

四边形4WG,MEFN,MEHL,MBCL,E8CH均为矩形,

---AE=a,9=6,点E为48的中点,

EB=AE=CH=a,AD=AM=DL=EH=BC=a-b,DG=LN=HF=ME=HL=b,ML=EH=BC,

.S=；DL・HF=g(a—b)b,

连接MH,

HC//ME,

..MH=BP,

MH=BP,

\ML=BC

在RSAffiL和RSAPC中，“H=BP，

RtAMHL^RtABPC（HL）,

；HL=PC=b,

.■,HP=CH-PC=a-b,

.S=；HPxBC=；（Q_b》,

•.•MS为直径，

AMHB=90°,即ZAffiE+N5HE=90。,

/MEH=ZHEB=90。,

ZHME+ZMHE=90°,

/.ZHME=4BHE,

AHME-BHE,

.•.EH：EB=EM：EH,

EH2=BExEM,即：（a-b）2=ab,

-S-S=^ab-（a-b）b=-bi

•,i2222

'：b=l,

.S-S=1.

•,122

故选：A.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）

11.化学元素钉（Ru）是除铁（Fe）、钻（Co）和银（NIi）以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素.钉（Ru）

的原子半径约0.000000000189m,将0.000000000189用科学记数法表示为.

【答案】1-89x10-10

【解析】解：0.000000000189=1.89x10-10,

故答案为：1.89x10-10

12.若。+2与6-3互为相反数，则4/+八？=.

【答案】&

【解析】解：•.•a+2与b-3互为相反数，

（24-2+6-3=0,即“+6=1,

...ay/1+by/2=^2（。+b）=^2.

故答案为您.

3x>x-2

13.不等式组卜+1>二的解集是.

丁一

11

【答案】T，、

3x>X-2Q

【解析】解『2x②

解不等式①得：xN-1

1

解不等式②得：工工丁

1I

不等式组的解集为：一10”歹

1I

故答案为：-I--j.

14.写出一个图象是曲线且过点（1,2）的函数的解析式：.

2

【答案】J=-（答案不唯一）

k

【解析】解：设反比例函数解析式为了=2，

依题意，k=2

.•.一个图象是曲线且过点（1,2）的函数的解析式是：了=:,

2

故答案为：J=-（答案不唯一）.

15.如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心,

边长为半径的三段圆弧.若该等边三角形的边长为3,则这个“莱洛三角形”的周长是.

V

【答案】3n

根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角,根据弧长的计算公式求解即可.

【解析】解:如图：

A

△

•••是正三角形，

/.ZBAC=60°,

60TIx3

.•.8C的长为：一^-=「，

1oU

莱洛三角形”的周长=3xn=3n.

故答案为：3n.

16.如图，已知平行四边形48co中,E为3C边上一点，连接/£、DE,若AD=DE,AE=DC,BE=4,

tanZ5=3,则EC的长为

△BE

【答案】6

【解析】解：作如图所示：

「

AE=DC,AB=DC

AB=AE/B=ZAEB

■/AD//BC

AAEB=ZDAE

NB=/AEB=/DAE

-/BE=4

BF=EF=2

•「tan/8=^7=3

AF=6,AB=AE=《AF2+BF2=2皿

・「AD=DE，DG1AE

：.AG=EG=A

tanZ.DAE=tanZAEB=tanZ.B=3

...DG=3MAD="G2+/G2=10

BC=AD=10

•.・BE=4

EC=BC-BE=6

故答案为：6

17.我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼

近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率n=3.14.刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可

得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割得越细，正多边形就越接近圆.设圆的半径为我,圆

PP

内接正六边形的周长。=6R,计算"。唳=3；圆内接正十二边形的周长72=24Rsinl5。，计算"“成=3.10；

那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率n”.（参考数据：sinl5°^0.258,

sin7.5°=0.130)

【答案】3.12

【解析】解：圆内接正二十四边形的周长t4=48-R-sin7.5。，

…487?-sin7.5048x0.130、

则口=-―2R―=-5-'

故答案为3.12

8

18.如图，点A是双曲线y="在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边

作等腰RtAABC,点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上

运动，则这个函数的解析式为.

8

【答案】y=--.

【解析】解：如图，连结OC,作CDLx轴于D,AELx轴于E,

8

・「A点、B点是正比例函数图象与双曲线丫="的交点,

.•.点A与点B关于原点对称，

.-.OA=OB,

•「△ABC为等腰直角三角形，

.-.OC=OA,OC1OA,

ZDOC+AAOE=90°,

•「ZDOC+ZDCO=90°,

二ZDCO=AAOE,

ZCDO=ZOEA

•.在^COD和AOAE中，＜/DC°=4E°A

CO=OA

ACOD^AOAE（AAS）,

88

设A点坐标为（a,则OD=AE=£,CD=OE=a,

一8

.•・C点坐标为a）,

8°

,,——•a=-8,

•a

8

.••点C在反比例函数y=--图象上.

8

故答案为：y=-工.

三、解答题（本大题共10小题，共86分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.(1)计算:产'+|1-夕卜（3-兀）。；（2）用配方法解方程：X2-4X-21=0.

【解析】⑴解：原式=2-(-3)+丘-1+1

=2+3+72-1+1

=5+百

(2)解：X2-4X-21=0

X2-4x=21

%2-4X+4=21+4

(x-2)2=25

x-2=±5

x=7,x=—3

12

20.计算:

⑴("苏+从2"力Q)岛+

【解析】⑴解：("b?+b(2a-b)

-ai-2ab+62+lab-bi

=ai;

2x+4

(2)解+1+

:X2+2x+1

x+2(x+l)2

x+12(x+2)

_x+l

~~2~

21.如图，在ABC中，过/点作N0〃3C,交NZ3C的平分线于点D,点E在8c上，DE//AB.

⑴求证：四边形/BED是菱形；

(2)当8C=6,AB=4Ht,求DF的长.

【解析】⑴证明：AD//BC,DE//AB,

四边形即是平行四边形，

AD//BC,

ZADB=ACBD,

•.­BD平分N4BC,

ZABD=NCBD,

ZADB=NABD,

AD=AB,

二.四边形/BED是菱形；

(2)解：：四边形即是菱形，AB=4,

DE=BE=AD=AB=4,AD//BC,

ZADF=ZCEF,

ZAFD=NCFE,

ACEF^AADF,

AD_DF

-：BC=6,

CE=BC-BE=2,

4_DF

2~~EF

DF=2EF,

.DF=沔

8

.DF=

3'

22.现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片B,C,卡片除正面图

案不同外，其余均相同,

琮琮宸宸莲莲

ABC

(1)若将三类卡片各10张，共30张,正面向下洗匀,从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的

概率是

(2)现将三类卡片各一张，放入不透明箱子，小明随机抽取一张，看后，放回，再由小充随机抽取一张.请

用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到相同卡片的概率.

【解析】(D解；•.•一共有30张卡片，其中琮琮的卡片有10张，且每张卡片被抽到的概率相同,

'101

从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是而=3,

1

故答案为：3-

(2)解:画树状图如下：

开始

第一次

第二次ABCABCABC

由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中恰好摸到相同卡片的结果数有3种,

31

恰好摸到相同卡片的概率为9=3-

23.某校初三物理组为激发学生学习物理的热情,组织初三500名学生进行“水火箭”制作和演示飞行活动.为

了解该年级学生自制水火箭的飞行情况，现随机抽取40名学生进行水火箭飞行测试，并将测试成绩(百分

制)作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

①将样本数据分成5组：50<x<60,60<x<70,70<x<80,80vx<90,90<x<100,并制作了如图所示的不

完整的频数分布直方图;

②在80Vx<90这一组的成绩分别是:80,81,83,83,84,85,86,86,86,87,8.8,89,根据以上信息,

解答下列问题:

(1)补全频数分布直方图;

(2)抽取的40名学生成绩的中位数是

(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该年级500名学生中水火箭飞行测试为优秀的学生约有多

少人？

【解析】(1)解：在70Vx<80这组的人数为：40-4-6-12-10=8(人),

2

0

8

6

4

2

0

(2)中位数应为40个数据由小到大排列中第20,21个数据的平均数,

1•数据处于较小的三组中有4+6+8=18(个)数据,

中位数应是80wx<90这一组第2,3个数据的平均数,

，中位数为：？要=82(分),

故答案为：82分;

(3)1•样本中优秀的百分比为：与100%=55%,

，可以估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%x500=275(人),

答：估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有275人.

24.如图，在四边形A8CD中，ZA=ZC=90°.

(1)经过点4B、。三点作。。；

⑵。。是否经过点C?请说明理由.

C

【解析】（1）解：如图所示，。。即为所求;

连接OC,

4BCD=90。，点。为BD的中点,

.CO=LBC=OD=OB.

■-2

二点C在。。上.

25.最佳视点

如图1,设墙壁上的展品最高处点尸距底面。米，最低处的点。距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓

观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线所上求使视角最大的点.

如图2,当过尸，Q,E三点的圆与过点E的水平线相切于点£时，视角NPE。最大，站在此处观赏最理想,

小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线m/上任取异于点E的点连接尸5交。。于点凡连

接。尸，…

p

M

图1图2

任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；

任务二：若。=3,6=1.8,观察者的眼睛距地面的距离为1.5米，最大视角为30。，求观察者应该站在距离多

远的地方最理想（结果精确到0.01米，参考数据73=1.73）.

【解析】任务一：过点E的水平线AM上任取异于点E的点连接交。。于点E连接。尸，

尸尸Q是的外角，

...ZPFQ>APE'Q,

又N尸尸。与NPE0都是弧P0所对的圆周角，

...4PFQ=4PEQ,

...APEQ>APE'Q,

二在点E时视角最大.

任务二：•/ZW=30°,

APOQ=60°,

又；OP=OQ,

,△。尸。是等边三角形，OP=OQ=PQ.

图2

HE是。O的切线,

AOEH=90°,

ZPHE=90°,

ZOEH+4PHE=\800,

PQ//OE,

又PQ=OP=OE,

四边形尸。。£是平行四边形，

ZOPE=ZPEQ=30°,

ZEPH=ZOPQ-ZOPE=60。—30。=30°

由题意得，?〃=3—1.5=1.5(米)，

在RtaPHE中，HE=PH•taaZEPH=1.5x2^=0.87(^).

答：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想.

26.在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰.如

4皿一

图1所示，他在会场的两墙/8、CD之间悬挂一条近似抛物线了="2-5工+3的彩带，如图2所示，已知

墙与CD等高，且48、CD之间的水平距离2D为8米.

(1)如图2,两墙AS,CO的高度是____米，抛物线的顶点坐标为

⑵为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点〃到墙

距离为3米，使抛物线，的最低点距墙的距离为2米，离地面2米,求点”到地面的距离；

(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整〃的位置，使

抛物线尸，对应的二次函数的二次项系数始终为(，若设点M距墙N8的距离为切米，抛物线弋的最低点到

9

地面的距离为"米，探究〃与加的关系式，当2V〃£4时，求机的取值范围.

4

【解析】⑴解：由题意得，抛物线的对称轴为x=4,贝1=4=-2=-£，解得："°」；

2a2a

「•抛物线的表达式为歹二01x-0&+3,则点力(0,3),即3(米),

当x=4时，^=0.1x-0.8x+3=1.4,即顶点坐标为(4,1.4),

故答案为：3,(4,1.4)；

⑵解：设抛物线的表达式为八优。-2)2+2,

将点A的坐标代入上式得3=«,(0-2)2+2,解得优=；，

，抛物线的表达式为了=；(尤-2)2+2,

4

当x=3时，>=：(无一2)2+2=2.25(米)，

•••点M到地面的距离为2.25米；

(3)解：由题意知，点V、C纵坐标均为4,则右侧抛物线关于“、C对称，

，抛物线的顶点的横坐标为卜加+8)=4+；加，则抛物线的表达式为y=；(x-4”)2+〃，

将点C的坐标代入上式得3=1(8-4-1m)2+n,整理得n=-^mi+im-L-

141

当力=2时，即2=-而加解得加=8-/(不合题意的值已舍去)；

当门=:时，同理可得%=8-JS\

故加的取值范围为：8-76<m<8-V5.

27.定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形

称为镶嵌四边形.

A

①②③

⑴如图1,将纸片沿中位线折叠，使点A落在8C边上的。处，再将纸片分别沿时，H3折叠,

使点B和点C都与点D重合，得到双层四边形EFGH,则双层四边形EFGH为形.

(2)丫/38纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形E/GH为矩形，若EF=5,EH=12,求的长.

(3)如图3,四边形/BCD纸片满足AD<BC,AB工BC,AB=8,CD=10.把该纸片折叠，

得到双层四边形为正方形.请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时BC的长.

【解析】(1)双层四边形EFG”为矩形，

理由如下：由折叠的性质可得乙阳)，/BEF=/DEF,

'：AAEH+4HED+ZBEF+ZDEF=180°,

ZHED+ZDEF=90°,

AHEF=90°,

同理可得NEHG=NEFD=90°,

二四边形EFG”是矩形，

故答案为：矩；

(2):四边形EFG”为矩形，

NFEII=90°,EH=FG,EH//FG,

FH=y/EF2+EH1=&+⑵=13,Z.EHM=4GFN,

又,.Z3GD为平行四边形，

:Z=NC,AD=BC,

由折叠得乙4=NEMH,ZC=/GNF,

4EMH=AGNF,

在AEHM与AGFN中，

EH=FG

-NEHM=ZGFN

4EMH=AGNF

:.^EHM^GFN(AAS),

:.MH=NF,

由折叠得=CF=FN,

AH=CF,

又.[AD=BC,

DH=BF=FM,

又,AD=AH+DH,HF=MH+MF,

AD=HF=13.

(3)有以下三种基本折法:

折法1中，如图所示：

由折叠的性质得：AD=BG,4E=BE=；AB=4,CF=DF=^CD=5,GM=CM,AFMC=90°,

...四边形瓦也必是叠合正方形，

BM=FM=4,

GM=CM=^CFi-FMi=J25-16=3,

AD=BG=BM-GM=\,BC=BM+CM=1-,

由折叠的性质得：四边形£WG的面积="梯形/BCD的面积，AE=BE=LAB=4,DG=NG,NH=CH,

BM=FM,MN=MC,

:.GH=LCD=5

2

...四边形物出G是叠合正方形，

...EM=GH=5,正方形成哂的面积=52=25,

..28=90。，

FM=BM=4EM2-BEi=J25-16=3,

设4D=x,则初N=EW+WV=3+x,

7梯形/BCD