2021年新高考数学一轮复习：离散型随机变量及其分布列(讲义版)(新高考专版)

第53讲离散型随机变量及其分布列

一、考情分析

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要

性；

2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.

二、知识梳理

1.离散型随机变量

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列及性质

(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为X],马，…，号，…，乙,

X取每一个值者(7=1,2,…，力的概率为p/p2,,,,,pn，则表

X…X.…X

X]4n

•・・・・・

PP

P1P1Pi广n

称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.

(2)离散型随机变量分布列的性质：

①口60(，=1,2,3,…，”)；②2]+〃2+°••+p„=1；

③«尸Pj+pqiH-----Yp..

3.常见离散型随机变量的分布列

(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为

X10

PPQ

其中0<p<l,q=\—p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.

⑵超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取”件(“WAD，

{i-i-iIn—m

这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X=m时的概率为P(X=m)=

(OW机W/,/为〃和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分

布，也称X服从参数为N,M,”的超几何分布.

三、经典例题

考点一离散型随机变量分布列的性质

【例1】设随机变量X的分布列为尸(x=?=成(左=1,2,3,4,5).

⑴求。的值；

⑵求

⑶求稿<代总.

解⑴由分布列的性质，得尸(x=g)+P(X=|)+P(X=|)+pk=1]+P(X=l)=a+2a+3a+4a

+5。=1,所以。=七.

(2)Pe1)=P(X=|)+p[x=£+P(X=l)=3X，4X，5xM£

(3)P^<X<^=P[X=1)+P[X=|)+P[X=|)=^+^+^=|.

规律方法分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围

内的概率.

考点二超几何分布的应用.典例迁移

【例2】(经典母题)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具

体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心

理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男

志愿者A2,A3,A4,A5,4和4名女志愿者与，B2,金，B4,从中随机抽取5人接受甲种

心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.

⑴求接受甲种心理暗示的志愿者中包含为但不包含々的概率；

⑵用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.

C45

解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含&但不包含骂的事件为“，贝UP(M=*=夜.

11Ho18

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则

C51C4C15

尸&=0)=或=访P(X=1)=京=五，

_qq_io_GC?=5

P(X=2)一5oFP(X=3)-c%F

P(X=4)=竟C1C4F1

因此X的分布列为

X01234

151051

P4221212142

【迁移探究1】用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列.

解由题意可知X的取值为1,2,3,4,5,则

产田=1）=膏C1C4=转1P（x=2）=C蜜?C3=药5

尸&=3）=蜜C3C?=五10，尸&=4）=C竟4CI=五5，

「叩5）=藉C5=忑1

因此X的分布列为

X12345

151051

P

4221212142

【迁移探究2】用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布

列.

解由题意知X可取的值为3,1,-1,—3,-5,

则尸（X=3）=蜀4，P（x=l）=寄得，

P（x=—D=舍=3P（x=—3）=詈《，

MoMo

C51

尸（x=—5）=缁=转，

因此X的分布列为

X31-1-3-5

151051

P4221212142

规律方法1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何

分布的特征是：

（1）考察对象分两类；（2）已知各类对象的个数；（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概

率分布.

2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

考点三求离散型随机变量的分布列

【例3】为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送

考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;

(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分

布列

解(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人,

送考2次的有100人，送考3次的有80人,

20X1+100X2+80X3

该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为

200=2.3.

(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件4“这两

人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件5,“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”

为事件C,

“这两人送考次数相同”为事件

由题意知X的所有可能取值为0,1,2,

P(X=n=P(A)+p⑻=C，QC|QQ+CRC、—100

P(X1)P(A)+P(B)g0°+q00199,

16

P(X=2)=P(C)199'

Qn+Qon+Qo.83

尸(X=0)=P(D)=

199'

...X的分布列为

X012

8310016

p

199199199

规律方法求随机变量分布列的主要步骤：（1）明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何

种概率分布；（2）求每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与

不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘

法计数原理求随机变量对应的概率.

［方法技巧］

1.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概

率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.

2.求离散型随机变量的分布列，首先栗根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与

概率知识求出X取各个值的概率.

四、课时作业

1.（2020•浙江高三二模）已知随机变量己满足产仁=0）=1,P&=D=x,Pe=2）=g—x,若0<x<|,

则随x增大（）

A.E化）增大增大B.E6）减小。&）增大

C.Ed）减小减小D.E化）增大。&）减小

2.（2020•广东湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：

X~N（7,G2）,若P（X>3）=0.872,则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（）

A.0.372B.0.256C.0.128D.0.744

3.（2020・四川省遂宁市第二中学校高三其他（理））“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的

学习素材.某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计

了测试成绩（单位：分）.若测试成绩服从正态分布N（120,02）,且成绩在区间（110,130）内的人数占总人

17

数的则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（）

A.10B.32C.34D.37

4.（2020•新疆高三三模（理））某校有甲、乙两个数学建模兴趣班其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两

个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所

有同学的平均成绩是（）

A.85B.85.5C.86D.86.5

5.（2020•黑龙江哈九中高二月考（理））已知随机变量。~^[4耳），则该变量的方差°G）=（）

4

6.（2020.苏州大学附属中学高二月考）校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为反，那么成活棵数

X的方差是（）

7.（2020・四川宜宾•高三其他（理））某同学投篮命中的概率为0.6,且各次投篮是否命中相互独立，他投篮3

次，至少连续2次命中的概率是（）

A.0.504B.0.524C.0.624D.0.648

(2,c),且P(0WXW2)=0.3,则

8.（2020•辽宁辽阳•高三三模（理））已知随机变量X服从正态分布N

P（X>4）=（）

A.0.6B.0.2C.0.4D.0.35

9.（2020・大连市普兰店区第三十八中学高三开学考试）已知随机变量自服从正态分布N（2,02）,若

P(&<3)=0.84,则P值<1)=()

A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84

10.（2020・湖南高三其他（理））纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社

会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富.小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣.收集了如下9

枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章.小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的

概率为（）,

11.（2020•江苏南京•高三开学考试）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布

N（105,cr2）9〉0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的g,则

此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（

A.150B.200C.300D.400

12.（2020・湖南益阳・高三月考）,若尸化<4)=0.9,则

P(—2<4)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

13.（2020•浙江高三月考）袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从A中有放回地摸球，每次摸出一个，

摸出一个红球的概率是W，有3次摸到红球即停止.记5次之内（含5次）摸到红球的次数为1,贝胀的数学期望

£（&）=（）

131143433593

A.4B-WC-243D-243

14.（2020•福建高三其他）某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X近似服从正态分布

N（105Q2）,试卷满分150分.现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720,同学乙的数学成绩为120

分，那么他的学校排名约为（）

A.60B.70C.80D.90

15.（2020.全国开学考试（理））宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道，（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其

口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为4cm的圆，

正中间有一边长为1cm的正方形小孔现先后两次随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计）,则两次油滴均

落入孔中的概率为（）

1111

A'16^-----C.-----D.—

16TI'4兀2'4兀

16.（2020•沙坪坝•重庆一中高三月考（理））已知随机变量匕服从二项分布台卜（）,则0（"+1）=（）

17.（2020•山东高三开学考试）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布

N（453,992）,估计这些考生成绩落在（552,651］的人数约为（）

(附：Z~N(pi,O2),则<ZK|1+<J)=0.6827,P(|i-2<5<Z<|i+2a)=0.9545)

A.36014B.72027C.108041D.168222

18.(多选题)(2020•山东青岛•高三开学考试)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫

政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量

分别服从正态分布N(|i,302)和N(280,402),则下列选项正确的是()

附：若随机变量X服从正态分布N(pi,o2),则P(|i—b<X<|i+b)a0.6826.

A.若红玫瑰日销售量范围在(N-30,280)的概率是0.6826,则红玫瑰日销售量的平均数约为250

B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413

19.(多选题)(2020.广东珠海.高三月考)已知随机变量X的取值为不大于〃("eN*)的非负整数，它的概率

分布列为

X0123n

pppPP

0423n

其中p(i=0,l,2,3,，")满足。且p+p+p++P=1.定义由X生成的函数

ii012n

fM=p+px+px2+px^++pXi++pxn,g(x)为函数/(x)的导函数，E(X)为随机变量x的

0123in

期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,3,4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，

向下点数之和为X,此时由X星晟的函数言〃%),则()

A.E(X)=g(2)B.〃2)=曙

12

225

C.E(X)=g(l)D./(2)=—

i4

20.(多选题)(2020•湖北葛洲坝中学高三月考)下列命题中正确的是()

A.命题P：3%<0,ex-x>l的否定—!?：V%>0,ex-x<l

B.若随机变量自服从正态分布NGQ2),P(^<4)=0.79,则P化<—2)=°.21；

C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y=0.3x-根，

若样本中心点为（加，一2.8）,则机=4

D.若随机变量XB（100，z?）,且E（X）=20,则。（X）=12

21.（2020•云南师大附中高三月考（理））华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢据调查数

据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近40%.小明为了考查购买新手机时选择华为是

否与年龄有一定关系，于是随机调查10。个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下

为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.

购买华为购买其他总计

年轻用户28

非年轻用户2460

总计

n(ad-be)2

\a+b)\c+d)\a+c)[l)+d)

P(K2>k)

0.1000.0500.0100.001

0

k2.7063.8416.63510.828

0

（1）将列表填充完整，并判断是否有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关?

（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出9