2024年中考数学必考考点总结+题型专训最值问题（原卷版+解析）

专题35最值问题

考点一：利用对称求最值问题

-------\

知识回顾

1.基本知识点：

①两点之间线段最短；②点到直线的距离最短。

2,求最值问题的类型

问题基本图形解题图形解题思路与步骤

如图①：如图，

存在直线1以及直线0.

外的点P和点Q,直P.

___________________1

线/上存在一点M,解题思路：找点作对称

使得MP+MQ的值解题步骤：

最小。①从问题中确定定点与动

如图②：如图，点。

N

已知NMON以及角②作其中一个定点关于动

内一点P,角的两边点所在直线的对称点。通常

0M与ON上存在点O/-----------------------M上情况下其中一个定点的关

0

A与点B,使得4PAB于动点所在直线的对称点

的周长最小。P'存在，找出即可。

如图③：如图：③连接对称点与另一个定

D

已知NAOB以及角点。与动点所在直线的交点

内两点点P与点Q,即是动点的位置。然后解

角的两边上分别存二1题。

在M、N使得四边形、R

PQMN的周长最小。

微专题

1.（2023•德州）如图，正方形A8C£）的边长为6,点E在8c上，CE=2.点M是对角线8。上的一个动

点，则EM+CM的最小值是（）

第1题第2题

A.6/B.3A/5C.2A/13D.4^/13

2.（2023•资阳）如图，正方形ABC。的对角线交于点。，点E是直线BC上一动点.若AB=4,则AE+OE

的最小值是（）

A.472B.275+2C.2713D.2屈

A.1B.72C.V3D.2

4.（2023•广安）如图，菱形ABC。的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点，点£、尸分别为边A。、

OC的中点，则PE+尸厂的最小值是（）

A.2B.73C.1.5D.75

5.（2023•赤峰）如图，菱形A8C。，点A、B、C、。均在坐标轴上./A8C=120°,点A（-3,0）,点E

是C£＞的中点，点尸是0c上的一动点，则尸。+PE的最小值是（）

3

A.3B.5C.2A/2D.-73

2

6.（2023•安顺）已知正方形ABC。的边长为4,E为C£>上一点，连接AE并延长交的延长线于点R

过点D作DGLAF,交AF于点H,交BE于点G,N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC,

MN.若S'DCG=J_,则MC+MN的最小值为________

S"CE9

7.（2023•内江）如图，矩形ABCZ）中，AB=6,AD=4,点、E、E分别是AB、OC上的动点，EF//BC,则

AF+CE的最小值是.

8.（2023•贺州）如图，在矩形A8CD中，AB=8,BC=6,E,尸分别是A。，A8的中点，NAOC的平分线

交于点G,点尸是线段QG上的一个动点，则的周长最小值为.

9.（2023•娄底）菱形A8C。的边长为2,NA8C=45°,点尸、。分别是8C、8。上的动点，C0+P。的最

小值为________

10.（2023•眉山）如图，点尸为矩形ABC。的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE,PB,若

AB=4,BC=4也,则PE+PB的最小值为

第10题第11题

11.（2023•滨州）如图，在矩形A8C。中，AB=5,A£>=10.若点E是边上的一个动点，过点£作EP

且分别交对角线AC、直线BC于点。、尸，则在点E移动的过程中,AF+FE+EC的最小值为.

12.（2023•自贡）如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=2,G是的中点，线段EF在边AB上左右滑动,

13.（2023•泰州）如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点。不重合的动点，以为一边作正方形DEFG.设

DE=di,点、F、G与点C的距离分别为d2、曲，则力+出+曲的最小值为（）

A.72B.2C.2-N/2D.4

14.（2023•安徽）已知点。是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC,/\PAB,APBC,

△PCA的面积分别记为So,Si,S2,S3.若SI+S2+S3=2SO,则线段0P长的最小值是（）

35/37省7a

A.C.38D.

F2~~2~

考点二：利用确定圆心的位置求最短路径

知识回顾

1.解题思路：

通过确定圆心的位置，利用定点到圆心的距离加或减半径解题。

2.确定圆心的方法：

方法①：到定点的距离等于定长确定圆心。通常存在线段旋转。

方法②：直径所对的圆周角等于90°。找90°的角所对直线的中点。通常出现两个角相等。

/-------------------\

微专题

15.（2023•泰安）如图，四边形ABC。为矩形，A8=3,BC=4,点尸是线段BC上一动点，点M为线段

4尸上一点，ZADM=ZBAP,则的最小值为（）

12

B.—

5

C.713--D.713-2

2

16.（2023•黄石）如图，等边△ABC中，AB=10,点E为高上的一动点，以BE为边作等边ABEF,连

接。尸，CF,贝！）/85=,FB+FD的最小值为

第16题第17题

17.（2023•柳州）如图，在正方形ABC。中，A8=4,G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG

=2,连接DE,将线段。E绕点。逆时针旋转90°得到线段。F,连接CR则线段CP长的最小值为.

18.（2023•无锡）△A3C是边长为5的等边三角形，△OCE是边长为3的等边三角形，直线8。与直线AE

交于点?如图，若点D在△ABC内，ZDBC=20°,则/区4尸=°；现将△OCE绕点C旋转

1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是.

专题35最值问题

考点一：利用对称求最值问题

知识回顾

3.基本知识点：

①两点之间线段最短；②点到直线的距离最短。

4.求最值问题的类型

问题基本图形解题图形解题思路与步骤

如图①：如

图，存在直线1

0.

以及直线外的

P.解题思路：找点作对

点P和点Q,直__________________1

称

线/上存在一点

解题步骤：

M,使得MP+

①从问题中确定定

MQ的值最小。

点与动点。

如图②：如

②作其中一个定点

图，已知NMON2\N

/关于动点所在直线

以及角内一点

的对称点。通常情况

P,角的两边0M

O----------------M下其中一个定点的

与ON上存在点

o关于动点所在直线

A与点B,使得

Pf的对称点存在，找出

△PAB的周长最

即可。

小。

③连接对称点与另

如图③：如

D一个定点。与动点所

图：已知/AOB

在直线的交点即是

以及角内两点

动点的位置。然后解

点P与点Q,角

题。

的两边上分别

存在M、N使得

cB

四边形PQMN的

周长最小。

微专题

1.（2023•德州）如图，正方形ABC。的边长为6,点E在BC上，CE=2.点〃是对角线

8。上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）

A.672B.345C.2A/13D.4屈

【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME,

MC的值，从而找出其最小值求解.

【解答】解：如图，连接AE交80于M点，

C关于8。对称，

：.AE就是ME+MC的最小值，

:正方形A8CD中，点E是BC上的一定点，且CE=6-2=4,

"：62+42,

AE=y$2+42=2、13，

：.ME+MC的最小值是2反.

故选：C.

2.（2023•资阳）如图，正方形ABC。的对角线交于点。点E是直线3C上一动点.若A5

C.2V13D.2屈

【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对

称点A,再连接4。，运用两点之间线段最短得到A。为所求最小值，再运用勾股定理

求线段AO的长度即可.

【解答】解：如图所示，作点A关于直线8C的对称点A,连接AO,其与3c的交点即

为点E,再作。尸，AB交A8于点R

：.AE^A'E,AE+OE^A'E+OE,当且仅当4,O,E在同一条线上的时候和最小，如图所

示，此时AE+OE=A'E+OE=AO,

:正方形ABC。，点。为对角线的交点，

•*-0F=FB=yAB=2-

与A关于BC对称，

：.AB=BA'=4,

：.FA,=FB+BA'=2+4=6,

在中，oN=VFO2+FA/2=2^/10,

故选：D.

3.（2023•荷泽）如图，在菱形ABC。中，AB=2,ZABC=60°,M是对角线BD上的一个

动点，CF=BF,则的最小值为（）

A.1D.2

【分析】当MA+MF的值最小时，4M,尸三点共线，即求4斤的长度，根据题意判断

△ABC为等边三角形，且尸点为2C的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即

可.

【解答】解：当A、M,P三点共线时，即当M点位于时，"A+M/的值最小，

由菱形的性质可知,

AB=BC,

XVZABC=60°,

/.△ABC为等边三角形，

•一点为8C的中点,AB=2,

：.AF.LBC,CF=FB=\,

在RtAABF中，AF=VAB2-BF2=^3.

故选：C.

4.（2023•广安）如图，菱形A3C。的边长为2,点尸是对角线AC上的一个动点，点E、F

分别为边A。、0c的中点，则PE+PP的最小值是（）

A.2B.73C.1.5D.V5

【分析】如图，取AB的中点T,连接PT,FT.首先证明四边形ADFT是平行四边形,

推出AD=fT=2,再证明由尸F+PTN尸T=2,可得结论.

【解答】解：如图，取的中点T,连接尸T,FT.

:四边形ABC。是菱形，

J.CD//AB,CD=AB,

,;DF=CF,AT=TB,

：.DF=AT,DF//AT,

四边形AOfT是平行四边形，

：.AD=FT=2,

:四边形ABC。是菱形，AE=DE,AT=TB,

：.E,T关于AC对称，

：.PE=PT,

:.PE+PF=PT+PF,

"：PF+PT^FT=2,

：.PE+PF^2,

：.PE+PF的最小值为2.

故选：A.

5.（2023•赤峰）如图，菱形A3CD,点A、B、C、。均在坐标轴上.NABC=120°,点A

（-3,0）,点E是CD的中点，点尸是0c上的一动点，则PD+PE的最小值是（

3

A.3B.5C.272D.-73

2

【分析】根据题意得，E点关于x轴的对称点是8C的中点E,连接。E交AC与点P,

此时尸Q+PE有最小值，求出此时的最小值即可.

【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E,连接。E交AC与点

P,此时PD+PE有最小值为DE,

；.OA=OC=3,NDBC=60°,

.♦.△BCD是等边三角形，

：.DE=OC=3,

即PD+PE的最小值是3,

故选：A.

6.（2023•安顺）已知正方形A8C。的边长为4,E为CD上一点、,连接AE并延长交BC的

延长线于点R过点。作。GLAR交AF于点H,交BF于点G,N为跖的中点，M

为BD上一动点,分别连接MC,MN.若“DCG=L，则MC+MN的最小值为____.

S&FCE9

【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN+CM=MN+AM^AN,

所以当A、M.N三点共线时，MN+CM的值最小为AN,先证明△OCGs△/CE,再由

S

ADCG=1,可知生=工，分别求出。E=l,CE=3,CF=U,即可求出AN.

SAFCE9CF3

•.•四边形ABC。是正方形，

二4点与C点关于8。对称，

ACM=AM,

：.MN+CM=MN+AM>AN,

...当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小,

'JAD//CF,

：.ZDAE=ZF,

■:NDAE+NDEH=90°,

'."DG1AF,

；.NCDG+NDEH=90°,

：.ZDAE=ZCDG,

.\ZCDG=ZF,

二△OCGS"CE,

.•SADCG1

^AFCE9

•.•CD—_1,

CF3

•••正方形边长为4,

:.CF=n,

'：AD//CF,

.AD=DE=_1

"CFCET

：.DE=l,CE=3,

在RtZ\CE/中，EF1=CE1+CF2,

：.EF=yl22+122=3,

是EF的中点,

:.EN=3417,

2

在RtZ\ADE中，EA2=AD2+Z)E2,

；.AE="+12=，

:.AN=5A,

2

：.MN+MC的最小值为殳叵，

2

故答案为：殳叵，

2

7.（2023•内江）如图，矩形A8CZ）中，43=6,4。=4,点E、/分别是AB、0c上的动点,

EF//BC,则AF+CE的最小值是

【分析】延长8C至I]G,使CG=EF,连接FG,则四边形EFGC是平行四边形，得CE

=FG,贝!JAF+CE=AF+PG,可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG,

利用勾股定理求出AG的长即可.

【解答】解：延长BC到G,使CG=ER连接FG,

四边形EFGC是平行四边形,

：.CE=FG,

：.AF+CE=AF+FG,

当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG,

由勾股定理得，AG=JAB?+BG2=个+（4+4）2=I。,

C.AF+CE的最小值为10,

故答案为：10.

8.（2023•贺州）如图，在矩形中，AB=8,BC=6,E,尸分别是A。，42的中点，

ZADC的平分线交AB于点G,点、P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值

【分析】如图，在DC上截取使得DT=DE,连接FT,过点T作THLAB于点H.利

用勾股定理求出FT=437,EF=5,证明PE+PF=PF+PT》FT,可得结论.

【解答】解：如图，在。C上截取。T,使得DT=DE,连接FT,过点T作TT/LAB于点

H.

:四边形ABC。是矩形，

AZA^ZADT=90°,

VZAHT=9Q°,

四边形AHTD是矩形，

'：AE=DE=^AD=3.AF=FB=^AB=4,

22

：.AH=DT=3,HF^AF-AH=4-3=1,HT=AD=6,

FT=VFH2+TH2=Vl2+62=，

平分NADC,DE=DT,

:.E、T关于£>G对称，

：.PE=PT,

：.PE+PF=PF+PT^FT=V37，

,•"£F=VAE2+AF2=VS2+42=5'

:AEFP的周长的最小值为5+V37.

故答案为：5+V37.

9.（2023•娄底）菱形ABC。的边长为2,NABC=45°,点P、Q分别是2C、2D上的动点,

CQ+PQ的最小值为.

【分析】连接A。，作AF/LBC于H，利用SAS证明△AB。也△CBQ,得AQ=C。，当点

A、。、P共线，4。+尸。的最小值为A”的长，再求出A”的长即可.

【解答】解：连接A。，作AH,2c于

：.AB=CB,ZABQ=ZCBQ,

：.AABQ^/\CBQ(SAS),

：.AQ^CQ,

当点A、。、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，

'：AB=2,ZABC=45°,

：.AH=yf2>

：.CQ+PQ的最小值为加，

故答案为：V2.

10.（2023•眉山）如图，点尸为矩形A8CZ）的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连

接PE,PB,若A8=4,BC=4A/3,则PE+P8的最小值为.

【分析】作点B关于AC的对称点B',交AC于点F,连接B'E交AC于点P,则PE+PB

的最小值为夕E的长度；然后求出B'8和BE的长度，再利用勾股定理

即可求出答案.

【解答】解：如图，作点2关于AC的对称点9，交AC于点「连接2,E交AC于点

P,则PE+PB的最小值为8'E的长度，

•.•四边形ABCD为矩形，

：.AB=CD=4,ZABC=90°,

在RtzXABC中，AB=4,BC=4百，

；.tan/ACB=^=近，

BC3

AZACB=30°,

由对称的性质可知，B'B=2BF,B'B±AC,

：.BF=^BC=243,NCBF=6。。,

：.B'B=2BF=4如,

,:BE=BF,ZCBF^6Q°,

.♦.△BE尸是等边三角形，

；.BE=BF=B'F,

...△BE8是直角三角形，

22=22=6;

.•㈤£=VB/B-BEV(4V3)-(2V3)

J.PE+PB的最小值为6,

故答案为：6.

11.(2023•滨州)如图，在矩形ABC。中，AB=5,40=10.若点E是边A。上的一个动点，

过点E作EFLAC且分别交对角线AC、直线BC于点。、F,则在点E移动的过程中，

AF+FE+EC的最4、值为.

【分析】如图，过点E作于点利用相似三角形的性质求出EH,EF,设

=x,则D£=10-尤-9=至-无，因为研'是定值，所以AF+CE的值最小时，AF+EF+CE

22

的值最小，SAF+CE=y]s2+x2-X)2+52＞可知欲求AF+CE的最小值相当于

在x轴上找一点P(x,0),使得尸到A(0,5),8(」立，5)的距离和最小，如图1中，

2

作点A关于x轴的对称点A',连接54'交x轴于点尸，连接AP,此时朋+P8的值最

小，最小值为线段A'8的长，由此即可解决问题.

【解答】解：如图，过点E作于点

:四边形ABC。是矩形，

AZB=ZBAD=ZBHE=90°,

四边形A8HE是矩形，

：.EH=AB=5,

VBC=AD=10,

\AC=ylA』2+BC2=452+102=5疾,

'：EF±AC,

：.ZCOF^90°,

AZEFH+ZACB=90°,

'：ZBAC+ZACB^9Q0,

：.ZEFH=ZBAC,

:.△EHFsbCBA,

•EH=FH=EF

"CBABAC，

-5_FH_EF

"1055A/5(

:.FH=>,

22

1S.BF=x,贝ijOE=10-x-$=K-JC,

22

是定值，

：.AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，

VAF+CE=752+X2+^(^,X)2+52)

欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点尸(x,0),使得P到4(0,5),8(生,

2

5)的距离和最小，如图1中，

作点A关于x轴的对称点,连接BA'交尤z轴于点P,连接AP,此时B4+PB的值最

小，最小值为线段A'2的长，

VA,(0,-5),B(45),

2

•1•A，B=J1O2+吟)2=学

C.AF+CE的最小值为空，

2

：.AF+EF+CE的最〃、值为空+_^_.

22

解法二：过点C作CC'//EF,使得CC'=EF,连接C'F.

C

'：EF=CC',EF//CC',

...四边形KBC'C是平行四边形,

：.EC=FC',

"：EF.LAC,

：.AC±CC',

AZACC=90°,

=岳232=J(5遥产+鸟药喑

：.AF+EC=AF+FC'》AC'=—,

2

：.AF+EF+CE的最小值为空+包区.

22

故答案为：空+且巨

22

12.（2023•自贡）如图，矩形A8CD中，AB=4,BC=2,G是A。的中点，线段EF在边

A8上左右滑动，若EF=1,贝UGE+CF的最小值为.

【分析】解法一：利用已知可以得出GC,EF长度不变，求出GE+C尸最小时即可得出

四边形CGE尸周长的最小值，利用轴对称得出E,尸位置，即可求出.

2222

解法二：设AE=x,则BF=3-x,根据勾股定理可得:EG+CF=y]x+l+A/（3-X）+2，

由勾股定理构建另一矩形EFGH,根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论.

【解答】解：解法一：如图，作G关于的对称点G,在CD上截取CW=1,然后连

接8G交A3于E,在E2上截取所=1,此时GE+C厂的值最小，

"：CH=EF=\,CH//EF,

...四边形EFCH是平行四边形，

：.EH=CF,

：.G'H=EG'+EH=EG+CF,

'：AB=4,BC=AD=2,G为边AO的中点，

...£>G'=A£)+AG'=2+1=3,£)8=4-1=3,

22=3>

由勾股定理得：HG'=^3+3V2

即GE+CF的最小值为3祀.

解法二：•.•AG=』AD=I,

2

设AE^x,则BF=AB-EF-AE=4-x-1=3-尤，

22

由勾股定理得：EG+CF^^/x2+12(3-X)+2;

如图，矩形EFG”中，EH=3,GH=2,GQ=1,

22+22

：.EP+PQ=y]（3-X）+27X+1'

当E,P,。三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3&,

即EG+CF的最小值是372-

故答案为：3M.

13.（2023•泰州）如图，正方形ABC。的边长为2,E为与点。不重合的动点，以DE为一

边作正方形。EFG.设。£=力，点尸、G与点C的距离分别为心、曲，则力+必+力的最

小值为（）

A.72B.2C.242D.4

【分析】连接AE,那么，AE=CG,所以这三个1的和就是AE+EF+FC,所以大于等于

AC,故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案.

【解答】解：如图，连接AE,

•.•四边形。EFG是正方形，

NE£）G=90°,EF=DE=DG,

:四边形ABC。是正方形，

：.AD^CD,ZADC^90°,

ZADE=ZCDG,

：.AADE^/\CDG（SAS）,

：.AE=CG,

I.di+d2+d3=E尸+C/+AE,

...点A,E,F,C在同一条线上时，EF+CF+AE</h,即力+“2+为最小，

连接AC,

:.di+d2+d3最小值为AC,

在RtZXABC中，AC=®AB=2近,

.,.力+必+43最小=AC=2*\/5，

故选：C.

14.（2023•安徽）己知点0是边长为6的等边△ABC的中心，点尸在△48C外，AABC,

△B4B,APBC,△PCA的面积分别记为So,Si,S2,S3.若SI+S2+S3=2SO,则线段0P

长的最小值是（）

76773

22

【分析】如图，不妨假设点P在的左侧，证明△外2的面积是定值，过点尸作A8的

平行线PM,连接CO延长CO交AB于点R,交PM于点T.因为△抬8的面积是定值，

推出点尸的运动轨迹是直线求出0T的值，可得结论.

【解答】解：如图，不妨假设点尸在的左侧，M,

fA

SAPAB+S/\ABC=SAPBC+SAMC,/

Sl+So=S2+S3,

*/SI+S2+S3=2SO,

Si+5i+So=2,

Si=—So,

2

・・・△ABC是等边三角形，边长为6,

.•.So=返X62=9我,

=973

过点P作AB的平行线PM,连接CO延长CO交48于点R,交于点T.

..•△以8的面积是定值，

点P的运动轨迹是直线PM,

:。是△A3C的中心，

ACTLAB,CTLPM,

：.LAB.RT=^^,CR=3我，O7?=Vs，

22

2

OT=OR+TR=^^~,

2

•：OP、OT,

OP的最小值为显巨，

当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为工返,

2

如图，当点P在①③⑤区域时，0P的最小值为显巨，当点P在②④⑥区域时，最小值

为苧

.•.-5--M--一---电---

22

考点二：利用确定圆心的位置求最短路径

知识回顾

3.解题思路：

通过确定圆心的位置，利用定点到圆心的距离加或减半径解题。

4.确定圆心的方法：

方法①：到定点的距离等于定长确定圆心。通常存在线段旋转。

方法②：直径所对的圆周角等于90。。找90°的角所对直线的中点。通常出现两

个角相等。

微专题

k___________________/

15.（2023•泰安）如图，四边形A8C。为矩形，AB=3,8c=4,点P是线段8C上一动点,

点M为线段A尸上一点，ZADM=ZBAP,则的最小值为（）

512f—3rrr

A.-B.—C.V13--D.V13-2

252

【分析】如图，取AQ的中点。，连接08,OM.证明/AAW=90°,推出OM=』AQ

2

=2,点M的运动轨迹是以。为圆心，2为半径的。。.利用勾股定理求出。8,可得结

论.

【解答】解：如图，取的中点。，连接。2,OM.

•••四边形ABC。是矩形，

：.ZBAD^90°,AD=BC=4,

：.ZBAP+ZDAM^9Q°,

•?ZADM=ZBAP,

：.ZADM+ZDAM^9G°,

AZAMD=90°,

：A0=0r)=2,

：.OM=^AD=2,

2

.•.点M的运动轨迹是以。为圆心，2为半径的O。.

■：°B=VAB2+AO2=VS2+22=(^13，

C.BM^OB-OM=y[}2-2,

的最小值为-2.

故选：D.

16.(2023•黄石)如图，等边AABC中，AB=10,点E为高A。上的一动点，以BE为边作

等边ABEF,连接。RCF,则NBCE=,F2+阳的最小值为.

【分析】首先证明△BAE也△■BCP(SAS),推出/氏4石=/2。尸=30°,作点。关于CP

的对称点G,连接CG,DG,BG,BG交CF于点、F',连接。户，此时3户+