人教版高中数学选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数【课件】

第五章

5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数课标要求素养要求在利用导数的定义求基本初等函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.几个常用函数的导数012x2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝____f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝____________f(x)＝sinxf′(x)＝______________f(x)＝cosxf′(x)＝______________f(x)＝axf′(x)＝______________

(a>0)f(x)＝exf′(x)＝______f(x)＝logaxf′(x)＝_______(a>0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝_______0αxα－1cosx－sinxaxlnaex点睛(1)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换.可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变.(2)利用导数公式求导时，一定要看清原函数的形式.只有当函数符合上述形式时，才能用导数公式表求导.

1.思考辨析，判断正误(1)若f(x)＝0，则f′(x)＝0.(

)√×√(4)若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xlog4e.(

)×提示

若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xln4.2.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于(

) A.0 B.2x

C.6 D.9C解析

∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.D4.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.1解析

f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.课堂互动题型剖析2题型一利用导数公式求函数的导数【例1】

求下列函数的导数：解

(1)y′＝0；求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.思维升华【训练1】

求下列函数的导数：(3)y′＝(sinx)′＝cosx；题型二利用导数公式解决切线问题A.y＝4x B.y＝－4x＋4C.y＝4x＋4 D.y＝2x－4B角度2求参数值【例3】

已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝________.角度3曲线上的点到直线的最小距离问题【例4】

设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.解如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.思维升华解

设所求切线的斜率为k.(2)求曲线y＝lnx的斜率等于4的切线方程.解

设切点坐标为(x0，y0).即4x－y－1－ln4＝0.【例5】某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)题型三导数公式的实际应用解

由题意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.思维升华【训练3】

从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安).解

由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin5安，－sin7安.课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题C1.函数y＝3x在x＝2处的导数为(

)A.9 B.6 C.9ln3 D.6ln3解析

y′＝(3x)′＝3xln3，故所求导数为9ln3.2.(多选题)下列结论中，正确的是(

)ACD解析

由(xn)′＝nxn－1知，选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，∴f′(1)＝3.∴选项A，C，D正确.3.设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是(

)A解析

∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，∴－1≤tanα≤1，又∵α∈[0，π)，4.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(

) A.1条

B.2条 C.3条

D.不确定B5.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(

) A.4x－y－3＝0 B.x＋4y－5＝0 C.4x－y＋3＝0 D.x＋4y＋3＝0A解析

由题意，知切线l的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0).∵y′＝4x3，∴k＝4＝4，解得x0＝1，∴切点为(1，1)，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.17.若y＝10x，则y′|x＝1＝________.10ln10解析

y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.8.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.解析

∵y′＝(ex)′＝ex，∴在点(2，e2)处的切线斜率为k＝e2，∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.三、解答题9.求下列函数的导数：10.已知两条曲线y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解

不存在，理由如下：因为y1＝sinx，y2＝cosx，所以y1′＝cosx，y2′＝－sinx.设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，则两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若两条切线互相垂直，则cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，所以sin2x0＝2，显然不成立，所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直.11.设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2021(x)＝(

) A.sinx B.－sinx

C.cosx D.－cosxB解析根据题意，f0(x)＝cosx，则f1(x)＝f0′(x)＝－sinx，f2(x)＝f1′(x)＝－cosx，f3(x)＝f2′(x)＝sinx，f4(x)＝f3′(x)＝cosx，…，