中考数学一轮复习提高讲义：新定义问题

中考数学一轮复习提高讲义：新定义问题

知识梳理

新定义问题是一种新题型，指的是：给出新定义，提出新问题，要求学生认真地阅读，现学现用，通过实

验、探究、猜想、分析来解决问题.解决本类型题目的关键是理解定义的内涵和外延.常见类型有：

⑴定义一种新数；

(2)定义一种新运算；

(3)定义一种新法则；

(4)定义一种新图形.

典型例题

例1

一个自然数a,若将其数字重新排列可得到一个新的自然数b,如果a恰好是b的3倍，我们称a是一个“希望

数”.

⑴请举例说明“希望数”一定存在.

(2)请你证明：如果a,b都是希望数，则ab一定是729的倍数.

分析(1)根据希望数的定义可知,428571=3x142857,故此数即为希望数；

⑵由于a,b均为希望数，所以存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于

P的数字和，根据整除的判别法可知a为3的倍数，p为9的倍数，再由a,b都是“希望数何知a,b都是27的倍数,

设a=27%,b=27电(如,电为正整数)代入ab即可得出答案.

解⑴因为428571=3x142857,

所以428571是一个“希望数”.

⑵因为a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a

的数字和等于P的数字和.

因为a=3p和a为3的倍数，但a的数字和等于p的数字和，

所以由整除判别法，知p为3的倍数，

所以p=3m,(m为正整数)，

所以a=3xp=3x3m=9m,

所以a被9整除.

因为a的数字和等于p的数字和，

所以由被9整除的判别法可知p能被9整除，即p=9k(k为整数)，所以p=3a=3x9k=27k

所以a是27的倍数

所以“希望数”一定能被27整除

因为a,b都是希望数1

所以a,b都是27的倍数，即a=27nnb=27n2(ji1,处为正整数).

所以ab=(27ni)(27n2)

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=(27X27)(7iixn2)

=729711n2,

所以ab一定是729的倍数

例2

定义一种新运算“*”，其规则是a*b=早.根据定义解方程：-1*x=：.

Z4

分析根据题中的新定义，把要求方程的左边变形为普通的方程，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，

系数化为1,即可求出X的值.

解由题意得：普=;,

去分母得：2(-l+x)=x,

去括号得：-2+2x=x,

移项合并得:x=2.

例3

已知:(m-x>(-x)-(x+m)•(-n)=5x+x2-6对任意的有理数x都成立,求m(n-l)+n(m+l)的值.

分析利用多项式乘以多项式法则将等式的左边展开并合并同类项，根据多项式相等的条件即可求出m,n的

值，再代入计算即可求解.

解(m-x)•(-x)-(x+m)•(-n)

=—mx+%2+nx+mn

=(—m+n)x+%?+mnf

因为(m-x>(-x)-(x+m).(-n)=5x+x2-6对任意的有理数x都成立，

所以-m+n=5及mn=-6,

原式二2mli+(-m+n)=-12+5=-7.

例4

b

对任意四个有理数a,b,c,d定义新运算：9\=ad-bc.

Icfll

⑴根据规则，计算「3=.；

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⑵已知|2%二4|=18,则x=.

IX1I

分析本题需看清这种运算的规则，将题中的式子转化为计算题和一元一次方程，再通过计算求得值.

解⑴原式=3xl-2x5=-7;

⑵转化为一元一次方程：2x-(-4)x=18,

可化为:2x+4x=18,6x=18;

即x=3.

例5

(1)证明:若四个有理数a,b,c,d满足陪=-I厕n+^+n+静勺最大值为2.

abed\a\\b\|c|\d\

(2)符号"P表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

①f⑴=0,f(2尸l,f(3尸2,f(4尸3,…

circle2f^)^2,鹿)=3,/g)=4,/g)=5,…

利用以上规律计算：募)-/(2013)=_.

(3)代数式|x+2|+|x-2|+|x+3|+|x」的最小值为一.

分析⑴由已知的等式得到abed为负值，由两数相乘积的去符号法则得到a,b,c,d中有一个为负数或三个

为负数，若四个字母中有一个为负数，利用负数的绝对值等于它的相反数、正数的绝对值等于它本身进行化简，

求出所求式子的值；若有三个为负数，同理化简求出所求式子的值，比较即可得到所求式子的最大值；

(2)由已知的两列等式得到规律：/(n)=n-l,/g)=上且n为正整数，取"2008,分别代入相应的运算中计

算，即可得到所求式子的值；

(3)分x<-3,-3<x<-2,-2<x<l,l<x<2,x>2五个范围进行讨论，从而判断绝对值中代数式的正负，利用绝对值的代数

意义化简，并分别求出所求式子的值，比较即可得到所求式子的最小值.

解⑴依题意也鲁=-L得到|abcd|=-abcd,

abed

所以abedvO,即a,b,c,d中有一个为负或三个为负.

⑴当有一个为负，假设a<0时，则有|a|二-a,

此时言+比+三+等=-1+1+1+1=2,

若b<0或c<0或d<0时，同理得到言+9+3+9=2.

W网\c\\d\

(ii)当有三个为负时，假设a<0,b<0,c<0时,d>0,则有|a|=-a,|b|=-b,|c|二-c,|d|二d,

止匕时言+卷+=+告=-1-1-1+1=-2,

⑷网©\d\

若b<0,c<0,d<0或a<0,b<0,d<0时，同理得到言+卷+。+含=-2.

1«1网©\d\

综上所述，原式的最大值是2.

(2)根据上述等式得到/(n)=n-l,/Q)=n(n为正整数)，则/(募)—/(2014)=2014-2013=1.

(3)当x£3,原式=-x-2-x+2-x-3-x+l=-4x-2;

最小值=-4x(-3)-2=10;

当一3vxg-2,原式=-x-2-x+2+x+3-x+1=-2x+4;

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最小值=-2x(-2)+4=8;

当-2<x<1,原式=x+2-x+2+x+3-x+1=8;

当lSx/2,原式=x+2-x+2+x+3+x-l=2x+6;最小值=8;

当xN2,原式=x+2+x-2+x+3+x-1=4x+2,最小值=10.

综上代数式x+2|+|x-2|+|x+3|+|x-l|6的最小值为8.

双基训练

S1+S2；…+s,

1.记%=的+a?+…+即,令Tn=称为ai&2，…,a□这歹U数的“理想数已知,a2,...,a500的

“理想数”为2004那么8为4,...,a50。的“理想数”为____.

2.闻表示自然数A的约数的个数例如4有1,2,4三个约数，可以表示成[[4]=3.计算：([18]+[22])-[7]=—.

3.规定新运算※:aXb=3a-2b.若xX(4X1)=7,则x=.

4.定义运算2”如下：对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为aAb.例如:4A6=(4,6)

+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18A12=.

5.任何一个正整数都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解(pWq)称

为正整数的最佳分解，并定义一个新运算：F(n)=2例如:12=1x12=2x6=3x4,这时就有F(12)=:.则F(24)=—.

6.“华”“杯”“赛”三个字的四角号码分别是“2440”“4199”和“3088”,将“华杯赛”的编码取为244041993088,如果这

个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9,1变8等，那么“华杯赛”

新的编码是—.

7.已知:103=14,87=2,|i=1,根据这几个算式找规律，如果“=1,那么x=__.

448

8.餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称

此数为“发财数”，在1~100这100个数中，“发财数”有一个.

9.若定义一种新的运算为a*b=鼻,计算[(3*2)]*i

3.—CIDO

10.对于任意的两个自然数a和b,规定新运算*:a*b=a(a+l)(a+2)...(a+b-l),其中a,b表示自然数.如果(x*3)*2=3

660,求x的值.

1L若“!”是一种运算符号，并且1!1=1,2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,4!=4x3x2xl=24,…求胆+99.

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12.“▽”表示一种新运算，它表示xPy=2,黑宙.求3V5的值

/xy(x+l)(y+8)

13.x,y表示两个数，规定新运算"口"及"△"如下:xciy=6x+5y,xAy=3xy.求(2口3)44的值.

14.有一个数学运算符号“O,使下列算式成立：红《,沙｝=总求高。韵勺值•

Z365y456742115

15.规定a㊉b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+)-l))(a,b均为自然数,b>a).如果x㊉10=65,那么x的值

是多少？

16对于数a,b规定运算，▽”为aVb=(a+l)x(l一b)若等式(aDaN(a+l)=(a+l)V(aVa))成立,求a的值.

17.a表示顺时针转90°,b表示顺时针转180*表示逆时针转90°,d表示不转，定义运算“&”表示“接着转”.求a&

b,b&c,c&a.

18.法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.如图24-1

(a)(b)所示，是用法国“小九九”计算8x9和6x7的两个示例.

8x9=?6x7=?

左手A右手

•.•两手伸出的手指数的和为7,•.•两手伸出的手指数的和为3,

未伸出的手指数的积为2.未伸出的手指数的积为12,

.-.8x9=72..*.6x7=42.

、(8X9=10x(3M)+2x1=72),、(6x7=10x(l+2)Mx3=42),

(a)(b)

图24-1

⑴用法国“小九九”计算7x8,左、右手依次伸出手指的个数是多少?

⑵设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算axb的正确性?

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19.用｛a用示表勺小数部分,[a]表示不超过a的最大整数例如:｛0.3｝=0.3,[0.3]=0;｛4.5｝=0.5,[4.5]=4.记f(x)=

需，请计算｛呜｝“前｛f(D｝，[f(l)]的值

20.阅读下列材料，回答问题.

[材料1]乘积是1的两个数互为倒数,即蓝与、:互为倒数，也就是说，(,a+b=x.则b+a=*

【材料2】乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加,

即(a+b)c=ac+bc.

利用上述材料，巧解下题：(一专)+d一卷+1一1).

能力提升

21.2010减去它的|,再减去剩余数的J,再减去剩余数的;，…，依此类推，一直到减去剩余数的焉,，则最

后剩余的数是().

11

A.—B.—C.2D.1

20101005

22.在正整数范围内定义一种“F”运算，对于任意正整数n,这种运算满足：①当n为奇数时,结果为3n+5;②当

n为偶数时，结果为匹/2x(其中k是使各为奇数的正整数)，并且运算重复进行.例如，当n=26时，部分运算过程如

下：

若n=449,则第449次“F运算”的结果是.

23.如有a#b新运算,a#b表示a,b中较大的数除以较小数后的余数.例如;2#7=1,8#3=2,9#16=7,21#2=1.如(21#(21#

x))=5,则x可以是____(x小于50).

24.若自然数n使得作竖式加法n+(n+l)+(n+2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为

32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为—

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25.已知x,y,z.为互不相等的正整数，目打打｝=1,则x+y+z三.

26.已知正整数n小于100,且满足冏+冏+用=%其中X表示不超过x的最大整数，这样的正整数n有一

27.我们规定：符号“。”表示选择两数中较大数的运算，例如：503=305=5,符号“△”表示选择两数中较小数

的运算，例如：5A3=3A5=3,计算•的结果是多少?

(。，3匐+(百25)

28.国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后

一个数字则作为核检之用.核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得.如:某书的书号是ISBN7-107-17543-2,它

的核检码的计算顺序是：

①7x10+1x9+0x8+7x7+1x6+7x5+5x4+4x3+3x2=207;

②207+11=18........9;

③11-9=2.这里的2就是该书号的核检码.

依照上面的顺序,求书号ISBN7-303-07618-口的核检码.

29.现定义一种新运算:a&=ab+a-b,如1(88=1x3+1-3=1.

⑴求(2)甑&6).

⑵新定义的运算满足交换律吗?试举例说明.

30.小乐发明了一个魔术盒，当任意有理数对(a,b)放入盒中时，会得到一个新的有理数：a3+3a2b+3ab2+

川.例如把(3,-2)放入其中，就会得到33+3X32X(-2)+3x3x(-2)2+(-2)3=19-18=1.

(1)现将有理数对(-2,3)放入盒中得到有理数m,再将有理数对(m,-7)放入盒中后，得到的有理数是多少？

(2)小乐先放入有理数对(2009,—2010),如果再放入有理数对(一2010,2009),那么两次得到的有理数会相等吗?请

你说明理由.

⑶在⑵中.你还能放入有理数对(-2009,—),(—,2009)使得得到的有理数也和得到的有理数相等.

⑷小乐先放入有理数对(m,n),请你放入有理数对(),让得到的有理数与小乐得到的有理数相等.

拓展资源

31.已知(2%+I)5=ax5+bx4+ex3+dx2+ex+f,则a―b+c-d+e-f的值为().

A.-1B.lC.243D.-243

+1—4-[W])(取整符号团表示不超

32.在一列数xx,x2,x3，…中，已知Xi=1且当k>2时,.x0=x0-i

过实数a的最大整数，例如[[2,6]=2,[0.2]=0),则x2014等于().

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A.lB.2C.3D.4

33.赵岩、徐婷婷、韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯仲,且在整个年

级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿地考入自己心仪已久的大学.后来三个人应母校邀请给全校学生作一次

报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a,b,c,...,z26个字母(不论大小写)依

X

2

次用1,2,3,...,26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式y=L+1中x为不超过26的正奇数)(其中x

匕-]+13

为不超过26的正偶数),已知对于任意的实数x,记号冈表示不超过x的最大整数；将英文字母转化成密码，如8T

[等]+13=17,即h变成q,再如11->[y]+1=6,即k变成f.他们给出下列一组密码：etwcvcjwejncjwwcabqc

匕把它翻译出来就是一句很好的临别赠言.现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程.

34.阅读下列材料：

一般地,n个相同的因数a相乘，即aa.；a记作a”如2x2x2=23=8,此时，3叫作1个以2为底8的对数，记

4

为log28(即log28=3).一般地，若a〃=b(a)O且a#l,b>0),则n叫作以a为底b的对数，记为log。b(即log.b=n).如:3

=81,,则4叫作以3为底81的对数，记为log381(即log381=4).

⑴计算以下各对数的值：

log2^=,2og216=log264=

(2)观察(1)中三个数4,16,64之间满足怎样的关系式,log24,log216,log264之间又满足怎样的关系式？

(3)由⑵的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

logoM+log4N=(a>0Ha#l,M>0,N>0);

(4)根据幕的运算法则an-am=废+m以及对数的含义证明上述结论.

35.数学上，为了简便，把1到n的连续n个自然数的乘积记作：n!,即n!=lx2x3x...x(n-l)xn,,将上述n个

自然数的和记作£之》，即£屋Lk=l+2+3+-+n则|^+£言容—£如汴=.

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211

1.20082.53.94.425.-6.2549489039817.-8.889.—10.3

一386

11.^—12.—013.32414.—15.2

9801003835

16.017.a&b=c,b&c=a,c&a=d.

18.(1)按照图中示例可知：要计算7x8,左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；

(2)按照图中示例可知:要计算axb.左手应伸出(a-5)个手指，未伸出的手指数为5-(a-5)=10-a;右手应伸出(b-5)个手

指，未伸出的手指数为5-(b-5)=10-b,故两手伸出的手指数的和为(a-5)+(b-5)=a+b-10,

未伸出的手指数的积为(10-a)x(l0-b)=100-10a-10b+axb,

根据题中的规则,axb的结果为10x(a+b-10)+(100-10a-10b+axb),

而10x(a+b-10)+(100-10a-10b+axb)=10a+