2024年皖江高三数学考前模拟预测卷附答案解析

2024年皖江名校高三数学考前模拟预测卷

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

考生注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的

非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合/={T0,l},8={y|y=2",xe4,则（）

A.4cB={l}B.=C.BqAD.A=B

2.已知双曲线工-E=1的焦距为4,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（）

3m2

V3B.近V6D.甄

A.r•----

333

-04

3.记。=244,b=O.4,=log042,则（）

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.已知空间中不过同一点的三条直线冽，n,I,则“冽，n,/在同一平面“是"加，/两两相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知复数z满足z2+z+l=0,则下列结论正确的是（）

A.z=\B.z+z=1C.z—z=1D.z3=1

6.在二项式（6-的展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项为:B.各项的系数和为64

C.第3项的二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

7.在平面直角坐标系xOy中，已知向量次与砺关于V轴对称，若向量3=（1,0）满足近五方=0,

记A的轨迹为E,则（）

A.E是一条垂直于x轴的直线B.E是两条平行直线

C.E是一个半径为1的圆D.£是椭圆

1（［、

8.设正数数列{%}的前〃项和为5,，且S“=5«„+—（〃eN*）,则（）

a

nJ

A.｛叫是等差数列B.阻｝是等差数列C.｛叫单调递增D.母｝单调递增

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足Y=2X-1,则()

X01234

P0.10.4X0.20.2

A.x=0.2B.E(X)=2,£)(X)=1.8

C.E(X)=2,O(X)=L4D.E(y)=3,£>(¥)=7.2

10.已知函数/1(尤)=4sin(0x+0)(/>0,®>0,|^|<y)的部分图象如图所示，且图中阴影部分的

B.点［石",0j是曲线y=/(x)的一个对称中心

C.直线x=:7兀是曲线y=〃x)的一条对称轴

6

D.函数"X)在区间内单调递减

11.抛物线*=8y的焦点为下，准线为直线/,过点厂的直线交抛物线于A,8两点，分别过A,B作

抛物线的切线交于点P,443/于点H,BB」l于点、B',贝U()

A.点尸在直线>=-4上B.点P在直线42上的投影是定点

C.以4®为直径的圆与直线A8相切D.,的最小值为:

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知lgx+lgy=2,则x+y的最小值为.

13.已知三棱锥尸-4BC的外接球为球O,PC为球。的直径，且尸C=2,PA=PB=6,AB=1,则

三棱锥尸-48C的体积为.

14.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数

b(〃)：V〃eN*,6")为"的所有正因数之和，如66)=1+2+3+6=12,则b(20)=；

。(6")=.

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设xeR,函数/(x)=cos(°x+9)(o>0,-［<e<o］的最小正周期为7i,且/(无)图象向左平移!■后

2

得到的函数为偶函数.

⑴求“X)解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数“X)在［0,可上的图象；

⑵在锐角中，。也c分别是角4RC的对边，若生］=，G，求的值域.

cosncosC

16.篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》SFSA全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4

月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.

(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查,

得到2x2列联表如下：

喜爱篮球运动不喜爱篮球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？

(2)某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都

等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第〃次

触球的概率为勺，则月=1.

(i)证明：数列］匕-；:是等比数列；

(ii)判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.

_n(ad-be)2

(q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

17.如图，在圆台oq中，44,分别为上、下底面直径，且44///B,AB=2AXBX,eq为异于与

的一条母线.

3

⑴若“为/c的中点，证明：6河//平面/844；

(2)若oq=3,AB=4,NABC=30°,求二面角A-QC-O的正弦值.

18.已知函数/(x)=ax"-blnx,其中。＞0.

(1)若曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线方程为y=1,求/(x)的最小值；

(2)若/为23x-2对于任意x>0均成立，且g(a)=b+Z的最小值为1,求实数h

a

22

19.如e图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形N8CO内接于椭圆r£:=v+二=1(。>6>0),其中点A,B分

a~b

别在第三、四象限，边8C与X轴的交点为〃1，M2.

(1)若/8=8C=1,且监，屈2为椭圆E的焦点，求椭圆E的离心率；

(2)若44G2是椭圆E的另一内接矩形，且点4也在第三象限，若矩形ABCD和矩形44G2的面积相

等，证明：ICMF+Qzj是定值，并求出该定值；

(3)若/BCD是边长为1的正方形，边4B,CQ与>轴的交点为M，峪，设月(z=1,2,100)

100

是正方形/BCD内部的100个点，记及用，其中左=1，2,3,4,证明：4，4,4，4中至

Z=1

少有两个小于81.

4

1.A

【分析】借助元素与集合的关系可得5,即可得解.

【详解】依题意4={-1,0,1},3={y|y=2，,xe/}=g,l,21,因此/c8={l}.

故选：A.

2.B

【分析】根据焦距为4得。=2,由02=3+加2得加2=1,再根据渐近线方程求经过一、三象限的渐近线

的斜率.

【详解】因为双曲线工-£=1的焦距为4,所以3+机2=22,

解得刃2=1，

3m2

T_G

所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为

3-V

故选：B

3.C

【分析】由指数函数和对数函数的单调性即可得出答案.

【详解】因为0<°=2"<2。=1,6=0.4">0.4°=1,

c=logo.42<log041=0,

故选：C.

4.B

【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.

【详解】依题意见〃，/是空间不过同一点的三条直线，

当孙小/在同一平面时，可能加〃〃〃/,故不能得出机两两相交.

当两两相交时，设mcn=A,mcl=B,ncl=C,根据公理2可知私"确定一个平面夕，而

Bwmua,Cwnua,根据公理1可知，直线3c即/ua,所以〃在同一平面.

综上所述，“外〃,/在同一平面”是“见名/两两相交”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.

5.D

【分析】对于D,由z3_l=（2-l）（z2+z+l）=0即可判断；对于ABC,只需求出z即可逐一判断.

【详解】对于D,因为z2+z+l=0,所以z3-l=（2-l）（22+z+l）=0,从而z3=l，故D正确,

对于A,z=±逅或2=土且，故A错误；

22

对于B,z+z=-l,故B错误；

对于C,z-F=±V3i,故C错误.

故选：D.

6.A

【分析】对于A,由二项式展开式，通过赋值即可得解；对于B,直接赋值即可得解；对于C,由二项

式系数的性质即可判断；对于D,由奇数项、偶数项二项式系数的性质即可判断.

的展开式通项为=C；•（«）j=C>H2

【详解】对于A,

5

当/*=2时，常数项为C：选项A正确；

对于B,令x=l,得各项的系数和为(1一,丫=_1,选项B错误；

I2J64

对于C,展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；

26

对于D,依题意奇数项二项式系数和为C：+C"C：+C=5=32,选项D错误.

故选：A.

7.C

【分析】由题意设(%)),结合条件等式即可列式化简，从而判断求解即可.

【详解】不妨设点A的坐标为(2),OA=(x,y),OB=(-x,y),AB=OB-OA=(-2x,0),

由OA+无方=0可得/+/—2x=°，即(x-l)2+j2=1•

故选：C.

8.D

【分析】先利用%和S〃的关系求出S;=〃，进而得出J=6，%=6—册=1;再逐项判断即可.

【详解】依题意可得：an=Sri_Sn_A,n>2.

因为邑=\。.+，](〃€川)，

21。J

i(i、ici)

所以当"=1时，5-%+一,即耳=彳E+F,解得E=i,

1=21aj21SJ

当〃22时，,整理得：S；-S3=l,

所以数列｛s；｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

从而S；=n,Sn=4n.

因为当〃=1时，6=S[=1,

当“22时，c1n=Sn一Sn_i=4n-y/n-l.

〃=1也适合上式，

所以。〃=&7几-1，故选项A、B错误，选项D正确.

因为〃2=血-0=血-1<1，

所以选项C错误.

6

故选：D.

9.BD

【分析】根据分布列的性质计算q的值，然后根据期望、方差公式及性质计算.

【详解】因为0.1+0.4+x+0.2+0.2=l,所以尤=0]，A选项错误；

由E(X)=OxO.l+lxO.4+2xO,l+3xO.2+4xO.2=2,

故O(X)=(0-2尸x0.1+(l-2)2x04+(2-2-xO.l+(3-2)2x02+(4-2)乙0.2=1.8,

因此选项B正确；

又y=2X-l,所以，E(Y)=2E(X)-1=3,。⑶=4O(X)=7.2,故C错D对.

故选：BD

10.ABC

7T

【分析】根据题意利用五点法可得/=2,。=2,(p=-,即可判断A；对于BC：代入检验结合正弦函

6

数性质分析判断；对于D：以2x+B为整体，结合正弦函数的单调性分析判断.

6

【详解】设函数〃x)=/sin(s+")的最小正周期为T,

由题意可知：4=2,47=4兀，则7=71,

即函数/(x)的最小正周期为兀，可得/(x+兀)=/"),故A正确；

27r

且①〉0,可得。=—=2,

71

又因为“0)=1,所以2sin夕=1,即Sin0=；,

且-工＜9(工，可得"=巴，所以/(x)=2sin[2x+2].

226I6J

।十.丁「(HTI＞IC•r11兀兀、八

对于选项B：因为/R[wj=2sin[u-1--I=0,

所以点(詈，o)是曲线V="X)的一个对称中心，故B正确；

对于选项C：因为2sin(等+0=2sing=2为最大值，

7兀

所以直线x=；是曲线了=〃尤)的一条对称轴，故C正确；

6

对于选项D：因为：＜x＜T，则与＜2x+[＜，，

且〉=$也》在不单调，所以函数Ax)在区间内不单调，故D错误；

故选：ABC.

11.BCD

【分析】对于A,设直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到两根之和与两根之积，根

据导数的定义求出切线方程，联立求解点尸的坐标；对于B,根据坐标运算即可得在.而=0,即可判

断B；对于C,由直角三角形全等，可得尸P=4'P=B'P,即可判断；对于D,利用两点间距离公式可

求卢尸构造函数，利用函数的单调性即可求解.

【详解】对于A,依题意焦点厂的坐标为(0,2),准线为直线/：了=-2,

7

不妨设/（国,必），8G2，%），直线48的方程为V=h+2,

联立了=履+2与f=8＞，得》2-8区-16=0,

从而项+%2=8左，再入2=—16,

；

_xlXy+y=kx+2+kx+2=Sk2+4,

~T~~82xi2

由题意N=：X2,所以y=!x,

o4

故抛物线过点A,B的切线方程分别为

解得点尸的坐标为故A错误；

对于B,因为48=（%-%,%-%），尸尸=（_占，4）

所以刀.而=一包当5+4（%一%）=0,

所以尸尸1.48,

即点尸在直线N2上的投影是点尸（定点），故选项B正确;

对于C,可证RtA/"=RtA/'FP,RtABFP三RtAB'FP,

因此尸P=4尸=27,

即以H夕为直径的圆与直线相切，选项C正确；

对于选项D,因为||=乂+%+4=8K+8,

|PF\=J16^+16=WF+l>

\AB\+\8r+91

从而=2，■+1+

l^l47F7T4A/F+1，

令"TFITzl，由函数夕=2/+看在［1，+8）上单调递增，

9

所以当，=1,即左=0时，函数取最小值;，故D正确.

4

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：抛物线的切线问题，常常需要设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程,

结合题干中的条件求解.

12.20

8

【分析】由lgx+lgy=2可得中=100,再由基本不等式求解即可.

【详解】依题意x>0,?>0,由lgx+lgy=2可得孙=100,

所以x+y22向^=20,等号成立当且仅当x=y=10.

故答案为：20.

13.正#/亚

66

【分析】所求体积可表示为『=七TKB，故只需求出三角形/期的面积即可，其中/〃，尸C,

由对称性也有尸C,由于/5=1是已知的，所以只要求得=也即可进一步求解.

2

TT

【详解】如图，易知/尸力。=/"。=90。，AC=BC=\,所以乙4PC=/5PC=—,

6

作。于点〃，易知BHLPC,所以AH=BH=J,

2

I「/2\IcosZAHB=AH一+BH——=-,sinZAHB=^-,

1/一二二工二A阕2AH-BH33

c

sAHB'AH-BH-sinNAHB=-义巫=—,

"*HB2834

故三棱锥P-ABC的体积为

/=Vp-AHB+Vc-AHB[s.AHB{PH+HQS"PC.

故答案为：1.

6

14.421(2"+1-l)(3n+1-l)

【分析】根据“")为〃的所有正因数之和，直接计算。(20),分析6”的正因数的特点，利用等比数列求

和求解.

【详解】根据新定义可得，<7(20)=1+2+4+5+10+20=42,

因为6"=2"•3"正因数2°3°,2°3',2°3?,2°3",2*3°,2q,2匕2,…,22",2,,3°,2呀,2"3?,2"3",

所以b(6")=(1+2+2?+…+2")(1+3+32+…+3")=(2向-1)(3'用T)

故答案为：42；1(2"+1-1)(3"+1-1)

15.(l)/(x)=cos2x-jj,图象答案见解析

9

【分析】(1)由函数/(x)的最小正周期为兀，结合周期公式求0,求出平移后的函数解析式，结合余

弦函数的性质求。，再由五点法列表，并描点连线作出图象；

(2)由条件结合边角互化求出角C,根据锐角三角形内角关系求3的范围，结合余弦函数性质求/(B)的

值域.

【详解】⑴・.・函数/(x)的最小正周期丁吟=兀，，0=2,

•••/(X)图象向左平移1后得到的函数为昨cos12x+g+”,

兀71

由已知0+1=E，左EZ,又一5<"<0,

71

,:.（p=-

解析式为：/(x)=cos^2x-j

由五点法可得，列表如下：

兀5兀2兀1ITI

X071

677T~12

,兀71713715兀

2x-----071

3下2~2T

j_

~210-107

“X)在［0,句上的图象如图所示:

（2）-二一--（2a-b）cosC=ccosB=>2acosC=bcosC+ccosB,

cosBcosC

由正弦定理可得，2sin/cosC=sinBcosC+sinCcos3,

所以2sinAcosC=sin（5+C）,即2sin4cosC=sin力,

因为sin/w0,所以IsinAcosC=1

所以cosC='，

2

又Ce0，3,所以C=；,

10

jrTT

又因为三角形为锐角三角形，0<3<彳，-<B+C<TI,

22

所以

62

所以0<28-1<］，又/⑻=COS|2B-3

所以「⑶

16.(1)能认为喜爱篮球运动与性别有关

⑵(i)证明见解析；(ii)甲第25次触球者的概率大

【分析】(1)根据2x2列联表给出的数据计算/,并把计算结果和10.828比较大小，可得判断结果.

(2)(i)根据题意，先写出数列｛£｝的递推公式，再利用等比数列的定义证明数列［匕-；;为等比数

列；(ii)比较乙与心的大小，得出结论.

【详解】(1)假设“。：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.

根据列联表数据，经计算得力2=200x(60x80-20x40)2=100>10.828=x0001,

100x100x80x12030001

依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断不成立，

即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.

(2)(i)由题意，

所以《一；=一1以「｛!

又所以是以:为首项，为公比的等比数列.

44I4J43

(ii)由⑴得，Pn+；，

所以％=:［-3+；<小%卜:+"•

故甲第25次触球者的概率大.

17.(1)证明见解析(2)1p

【分析】(1)如图根据题意和圆台的结构可知平面/3C//平面4月G，有面面平行的性质可得4G〃NC,

根据相似三角形的性质可得£为PC中点，则GM//44-结合线面平行的判定定理即可证明；

(2)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面OCG、平面/CG的法向量，结合空间向量数

11

量积的定义和同角的三角函数关系计算即可求解.

【详解】(1)如图，连接4G.

因为在圆台。中，上、下底面直径分别为且4月

所以N4,84,GC为圆台母线且交于一点尸，所以44,G，c四点共面.

在圆台OQ中，平面/8C//平面/百q,

由平面44℃n平面/3C=/C,平面//ccn平面451G=4G，得4G〃NC.

又A\BJ/AB,AB=2AE，所以必=2=!，

PAAB2

所以等=爵=」，即G为尸c中点•

在△尸/C中，又M为NC的中点，所以GM7/44-

因为u平面4BB4,CtM<z平面ABBH,

所以GM//平面月4；

(2)以O为坐标原点，。民。。1分别为％z轴，过。且垂直于平面的直线为x轴,

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z.

因为//BC=30。，所以N/OC=60。.

则A(0,-2,0),C(V3,-1,0),Ox(0,0,3).

因为反=(6,-1,0),所以配^=(室

所以G(孚所以录=(*

设平面OCC,的法向量为点=(无।%Z1),

—必=0

nOC=0

所以<t所以6

小*=0，「3句=0

令国=1,则必=JJ,Z]=0,所以或=(1,3,0),又就=(在1,0),

设平面4CG的法向量为〃2=(工2,%/2),

-,,

>/3X2+>2=0

n?-AC=0

所以「一，所以月1.n

XZ

n2C]C=0~Y2--y2-^2=0

、乙乙

12

令工2=1'贝U>2=—Z?，所以〃2=(1,—，

=

设二面角M-C}C-O的大小为。,则cos6=k()s〃i,712|~^~，

所以sin。=Vl-cos20=，：；。,

所以二面角M-G。-。的正弦值为回.

13

【分析】(1)对"%)求导，求出了'⑴J⑴，再由导数的几何意义求出参数代入函数，对其求导，求出

函数的单调性即可得出答案；

(2)记〃(x)=x。-^Inx-3x+2,将题意转化为证明人(x)>0,对Zz(x)求导可得⑴=0即

a

b^a2-3a,代入〃(无)，分类讨论0<”3和。23,由〃(爪加士。，即可求出。的范围，贝U

g(a)=b+ka=a2-G-k)a,由二次函数的性质结合。的范围即可得出答案.

【详解】(1)由题意，且/⑸的定义域为(0,+功，且一2=色1心，

XX

"⑴=1ra=l[a=1/、x-1

依题意工n即2八c，从而八J故〃x)=x-lnx,rx=—,

从而函数/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,”)上单调递增，所以⑴=1.

6b

(2)依题意，X”--lnx23尤一2,其中。>0,记〃(x)=x"--lnx-3x+2,则〃(x)20,

aa

因为〃(1)=0,h(x)>h(l),即阿1)是力(x)的极小值也是最小值，故〃(1)=0,

a

Jfjjh\x)=ax--------3,所以Q-------3=0,解得^二力―3。，

axa

13

止匕时〃(%)=—3)Inx—3x+2(x>0),

若0＜”3,则％趋近0时，£趋近0,-(a-3)lnx趋近负无穷，-3x+2趋近2,

即%(x)趋近负无穷，与〃(xRO矛盾！

a(x0-l)-3(x-l)

若此3,A,(x)=ax-1---3=axa-3x-a+3

XXX

、r,八'rt_L7,/、CI(X—1)—3(X—1)("3)(1)wo

当0<x<l时，h\x)<——---——-〃(x)单调递减,

xx

当x>l时，>公-1)-3(x-1)=(。-3)(x-D0,〃(x)单调递增，符合题意.

XX

故〃23.

所以g(a)=b+左a=/一(3—左)〃，其中a>3.

若；一V3即左13