2023年高三数学一轮复习：不等式的性质与解法

第一章集合与常用逻辑用语、不等式

1.3.1不等式的性质与解法(题型战法)

知识梳理

一不等式及其性质

1.比较实数大小

(1)如果Q—。是正数，那么匕；如果。一匕等于零，那么如果。一匕是负数，那么。<b,反过

来也对.

(2)符号表示：a-b>O^a>b-a-b=O=Q=b；a-b<0<^a<b.

2.不等式的性质

(1)对称性：a>b<^>b<a

(2)传递性：a>b,b>cna>c

(3)可加性：a>boa+c>b+c

同向可力口性：a>b,c>da+c>b+d

异向可减性：a>b,c<d=>a-c>b-d

(4)可积性：a>b,c>O^ac>bca>b,c<O=>ac<bc

(5)同向正数可乘性：a>b〉O,c>d>Onac>bd

异向正数可除性：0小0,0<,々。/

cd

(6)平方法则：〃〉Z?>0n〃〃>加(几£N,且〃>1)

(7)开方法则：a>b>0=>Ja>Jb(nGN,Sn>1)

(8)倒数法则：a>b>0=>—<—；a<b—>—

abab

3.不等式的证明方法

(1)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法.

(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成

立的事实，从而得出要证的命题成立.

(3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立•

二不等式的解法

1.不等式的解集与不等式组的解集

（1）不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.

（2）不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等

式组的解集.

注意事项：若不等式中所含不等式解集的交集为。时，则不等式组的解集为0.

2.绝对值不等式

绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.

3.一元二次不等式的解法：

（1）图像法

（2）因式分解法

一般地，如果Xy,则不等式（X—x）（X—沙0的解集是（％,X）,不等式（X—x）（x—%）〉0的解集是（—8,

x）U（x/+°°）.

题型战法

题型战法一不等式的性质

典例1.下列说法正确的是（）

A.若a〉b,c>d,则a—2c〉b—2dB.若a,beR,则巳+2之2

ba

C.若a〉b>0,m>n>0,则也LD.若则。2>b2

aa+n

【答案】c

【解析】

【分析】

结合特殊值、差比较法确定正确选项.

【详解】

A：令a=2,b=1；c—1,d—0,则a—2c=0,b—2d—1,不满足a—2c>b—2d,故A

错误；

B：a,b异号时，不等式不成立，故B错误；

C：3—2=3Xb(a①=*吗--,m>n>0,.-.am-bm>0,即3>2,故C

ana(ari)a(an)aa>b>0ana

正确；

D：令a=l,b=-2,a?>>2不成立，故D错误.

故选：C

变式1-1.对于任意实数a,bc,d,给定下列命题正确的是()

A.若a>b,则ac〉bcB.若a>b,c>d,则a—c〉b—d

C.若ac2>帅，贝I」。〉。D.若av匕，贝

ab

【答案】c

【解析】

【分析】

利用特殊值判断A、B、D,根据不等式的性质证明C；

【详解】

解：对于A：当c=0时，若a>b贝Uac=be=0,故A错误；

对于B：若a—0,b——1,c——1,d——10,满足a>b,c>d,则a—c=l,b—d=9,a—c>

匕一d不成立，故B错误；

对于C：若ac2>bc2,则c2>0,所以0>b,故C正确；

对于D：若a=-l,b=1满足a<b,但是工<L故D错误；

ab

故选：c

变式1-2.对于实数a,b,下列选项正确的是()

A.若a<b,则|a|<|b|B.若a<b,则

ab

C.若a<b<0,则2<2D.若a<b<0,则a2<ab<Z?2

ab

【答案】c

【解析】

【分析】

根据不等式的性质对各选项逐一分析即可得答案.

【详解】

解：若a<b,贝ij|a|与g|,工与工均不能比较大小，故A,B不正确；

ab

若a<6<0,贝bb>0,b2<a2,所以丝<丝，即2〈区，故C正确，D不正确.

ababab

故选：c.

变式1-3.设v=2a(a—2)+4,N=(a—l)(a—3),则M,N的大小关系为()

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】

利用作差法比较.

【详解】

M—N—1a(a—2)+4—(a—l)(tz—3)=a2+1>0,

故选：A.

变式1-4.若为=2x2—2x+l,y2=x2—Ax—1,则为与为的大小关系是()

A.yt>y2B.yt=y2

C.y<y2D.随x值变化而变化

【答案】A

【解析】

【分析】

采用作差法，判断差的正负，从而可判断匕与巳的大小关系.

【详解】

2-2-—

-72=2%2%+1—(%4x1)=久2+2久+2=(久+1)2+1>0,

故为>y2，

故选：A

题型战法二解一元二次不等式

典例2.已知集合4={%|1<%<2],B={%|%2-3%4-2<0},则ACB=()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}C.{x|l<%<2]D.{x|l<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】

先解不等式写出集合B,再按照交集运算求解.

【详解】

集合A={x|l<x<2],B-{幻久2-3%4-2<0}={x|l<x<2],则ACB={x|l<x<2].

故选：D.

变式2-1.已知集合4=—1>0},B={x|%2-3x-18<0},则AClB=()

A.(1,6)B.(1,3)C.(-3,6)D.(-6,3)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据不等式的解法求得集合4B,再结合集合交集的运算，即可求解.

【详解】

由集合4={x\2x—1>0}={%|x>工}，

2

又由不等式工2—3久-18<0,即1+3)(%—6)<0,

解得一3<久<6,即8={洌-3<x<6},

所以4B=(x\-<x<6]=fl,6).

2v27

故选：A.

变式2-2.关于X的不等式第2—ax—6a2Vo(aVO)的解集为()

A.{x\x<2a或％>—3a}B.{x\2a<x<—3a}

C.{x\x<3a或%>2a}D.(x\3a<x<—2d]

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，把原不等式进行因式分解，结合图象即可求解.

【详解】

根据题意，由％2-a比-6a2<0,得(x-3a)(x+2a)<0,

a<0,3a<x<—2a.

故选：D.

变式2-3.若0<.<1,则不等式(久―a)O-工)<0的解集是()

a

A.(a,1)B.(-co,a)U(1,4-oo)

aa

C.ID.(-00,1)U(a,+a))

\a)a

【答案】A

【解析】

【详解】

因为0<a<l,所以a<\则不等式解集为：（a」）.

aa

故选：A.

变式2-4.已知a<0,则关于x的不等式久2-4以―5a2<0的解集是（）

A.{%|久>5a或无<-a}B.1%|久<5a或久>—a}

C.{x\—a<x<5a]D.{x|5a<x<-d]

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可.

【详解】

解：因为方程X2-4a比—5a2=。的解为x=-a或5a,且a<0,

所以不等式*-4ax-5a2<0的解集是{x|5a<%<-a}.

故选：D.

题型战法三由一元二次不等式的解确定参数

典例3.不等式a尤2+5%+c>0的解集为{对工<K<工},则a,c的值为（）

32

A.ci—6,c—1B.a——6,c——1C.a—c—1D.a——1,c——6

【答案】B

【解析】

【分析】

由题知方程。久2+5尤+C=0的两根为％=工和尤=1,进而结合韦达定理求解即可.

23

【详解】

解：因为不等式以2+5x+c>0的解集为｛制1<x<1｝,

32

所以方程（2久2+5%+C=。的两根为X=工和久=

23

所以由韦达定理得：1X1=£,1+1=-5,即a=-6,c=-l

23a23a

故选：B

变式3-1.不等式"2—b%+2<0的解集为｛久则a,b的值分别为（）

A.3,1B.3,-1C.1,-3D.1,3

【答案】D

【解析】

【分析】

利用一元二次不等式的解法求解.

【详解】

因为不等式a比2-bx+2<0的解集为｛幻1<x<2],

a>0

b—Q

所以｛二3,

2=2

a

解得｛二，

故选：D

变式32关于x的一元二次不等式a久2+以+1>0的解集为｛久|—1<久<?,则必的值为（）

3

A.3B.2C.1D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

由a久2+bx+1>0的解集为"|一1<%<1,可知a<0,根据根与系数的关系，求出a,b的值,

即可求得ab的值.

【详解】

因为关于%的一元二次不等式a%2+bx+l>0的解集为一1<%<工｝,

则a<0,一1,工是方程a%2+bx+l=0的根.

3

由根与系数的关系，得一2=-1+2J=-lxZ,

a3a3

解得a=—3,b=-2,故ab=6.

故选：D.

变式3-3.若关于x的不等式+（a+l）x+ab>0的解集为｛x[x丰1）,则ab的值为（）

A.1B.2C.3D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系列出满足的条件，解得答案.

【详解】

,4=（a4-1）2—4ab=0

由题意知｛_a+i_]，解得ab=1，

2

故选：A.

变式3-4.已知关于%的不等式/一£1%一6<0的解集是（_2,3）,则a+匕的值是（）

A.-5B.5C.-7D.7

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得-ax-b=0的根为-2,3,然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果

【详解】

因为关于x的不等式％2—a%-匕<0的解集是（_2,3）,

所以方程》2—ax—b=0的根为一2,3,

所以｛二■;二，

所以a+b=7,

故选：D

题型战法四一元二次方程根的分布问题

典例4.已知°：a<m(其中aCR,mGZ),q：关于x的一元二次方程ax2+2久+1=0有一正

一负两个根.若夕是q的充分不必要条件，则加的最大值为()

A.1B.0C.-1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

由一元二次方程根的分布可得。<0求命题q的参数a范围，再由命题间的关系求m的最值即可.

a

【详解】

因为ax2+2x+1-0有一正一负两个根，

M=22—4a>0

所以｛I<0，解得a<°-

a

因为0是9的充分不必要条件，

所以机<0,且meZ,则"2的最大值为-1.

故选：C

变式4-1.已知方程％2+(租-2)久+5-6=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2,

则实数小的取值范围是()

A.(―5,—4)U(4,+8)B.(-5,+co)

C.(-5,-4)D.(-4,-2)U(4,+oo)

【答案】c

【解析】

【分析】

rJ>o

令/(尤)=/+(m-2)尤+5-根据二次方程根的分布可得式子，三%>2,计算即可.

7(2)>0

【详解】

令/(x)-x2+(m—2)x+5—m

(4〉0f(m-2)2-4x(5-m)>0>4或m<—4

由题可知：(歹>2=[m<-2m<-2

|/(2)>0(4+(m-2)x2+5-m>0(m>-5

则一5<m<—4,即mG(一5,一4)

故选：C

变式4-2.要使关于光的方程T2+（a2—1）久+a—2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取

值范围是（）

A.yi|-1<a<2]B.yx|-2<a<1]

C.ja|a<—2]D.<a|a>1]

【答MBI

【解析】

【分析】

根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.

【详解】

由题意可得1+（a2—l）+a—2=a2+a—2<0,解得—2<a<1.

故选：B.

变式4-3.关于式的方程*2+（租-2）久+6-租=0的两根都大于2,则粗的取值范围是（)

A.（一吗一2百）U（2代+oo）B.（-6,-275]

C.（_6,—2）U（2V5,+oo）D.（一co,-2）

【答案】B

【解析】

由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求出m的范围.

【详解】

解：,/关于%的方程/+（血-2）尤+6-m=0的两根都大于2,

令f（久）=久2+（血-2）x+6—m,

A—(m—2)2—4(6—m)>0

可得一叱1>2,

2

/(2)=4+2(m-2)+6-m>0

m>2V5或m<-2A/5

即m<—2，

m>—6

求得-6<m<一2J5,

故选：B.

变式4-4.若方程一％2+ar+4=0的两实根中一个小于t,另一个大于2,则a的取值范围是()

A.(0,3)B.[0,3]C.(-3,0)D.(-oo,1)U(3,4-oo)

【答案】A

【解析】

因为方程-+a尤+4=o有两根，一个大于2,另一个小于T，所以

函数/(无)=-x2+ax+4有两零点，一个大于2,另一个小于t，

根据二次函数图像可得：/(2)>0/(-1)>0,即可求得答案.

【详解】

因为方程一%2+a%+4=0有两根，一个大于2,另一个小于_i，所以

函数/(无)=一无2+a光+4有两零点，一个大于2,另一个小于_1，由二次函数的图像可知，

/(2)>0—22+联2+4>0

f(一1)〉0'—(—1)2+a,(-1)+4>0

解得:0<a<3

故选:A.

【点睛】

本考查了方程根与二次函数零点的关系，由函数零点范围求参数范围问题，解题关键是掌握零点定

义和二次函数图像特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

题型战法五一元二次不等式恒成立问题

典例5.当xeR时，不等式—2比一1—a20恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,-2]B.(—oo,—2)

C.(—oo,0]D.(—00,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意，保证当xeR时，不等式/一2久一1一£120恒成立，只需/=(―2)2+4(l+a)W0,求

解即可

【详解】

由题意，当xeR时，不等式/一2久一1一a20恒成立，

故/=(-2)2+4(1+a)<0

解得a<-2

故实数a的取值范围是-8,-2

故选：A

变式5-1.不等式(a-2)久24-(a-2)%-1<0对一切xeR恒成立,则实数a的取值范围是()

A.(-2,2)B.(-2,2]

C.(一co,-2)U(2,4-00)D.(一00,—2)U2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

当a-2=0时，得到不等式-1<0恒成立；当a-2H0时，结合二次函数的性质，列出不等式组，

即可求解.

【详解】

由题意,不等式(0-2)方+(a-2)x-l<0对一切XGR恒成立，

当a—2=0时，即a=2时，不等式—1<0恒成立，符合题意；

当a—2H0时,即a丰2时，

要使得不等式(0-2冰+("2近-1<0对一切尤GR恒成立，

则满足j-(a-2)2+4(a-2)<0,解得一2<a<2,

综上，实数。的取值范围是(-2,2].

故选：B.

变式52对任意实数久，不等式2版2+依-3<0恒成立，则实数k的取值范围是()

A.0<k<24B.-24<k<0

C.0</c<24D./c>24

【答案】B

【解析】

【分析】

讨论k=U和kH0两种情况，并结合判别式法即可求得答案.

【详解】

当k=Q时，不等式即为一3<0,不等式恒成立；当k中0时，若不等式恒成立,则{/=渣：4<0

-24<k<0,于是一24<k<0.

故选：B.

变式5-3.已知关于久的不等式依2-3依+k+2》0对任意KCR恒成立，则实数k取值范围是

()

A.{k|04k44B.{k|04k41}

C.{kIk40或k>1}D.\k\k<0或k》◎}

【答案】A

【解析】

【分析】

当k=0时不等式恒成立，当kHO时，根据一元二次不等式恒成立列出不等式组

L1=9上-4k(k+2)W(T解不等式组即可・

【详解】

当k=0时，不等式依2-3kx+k+2》0可化为220,显然成立；

当kH0时，要满足关于x的不等式Ze*-3kx+k+2>。对任意％eR恒成立，

只需Ll=9k2-4k(k+2)《(T解得°<卜建

综上，k的取值范围是{k|04k4

故选：A

变式5-4.已知命题P：“V%GR,(a+l)%2—2(Q+1)X+320”,则实数a的取值范围是(

A.-Ka<2B.a>1

C.a<一1D.-1<a<2

【答案】D

【解析】

【分析】

考虑a=-1和aH-1两种情况，得到/=©a+l)t-I2(a+1)W0，解得答案.

【详解】

当a=-1时，3>0成立；

当aH-l时，需满足：/=4(a+1)2-]2(a+1)W0，解得一1<aW2.

综上所述：—1<a<2.

故选：D.

题型战法六其他不等式

典例6.(分式不等式)已知集合4=Q<0},集合B=x|^x<5},则4CB=()

x-5

A.(3,5)B.[3,5)C.[4,5)D.(4,5)

【答案】D

【解析】

【分析】

解分式不等式得到4=x|/kx<5],进而根据交集的概念即可求出结果.

【详解】

因为匕1<0,所以4Vx<5,因此4=取<0}=x|4Cx<5},

%—5x—5

因此AClB=%|4<%<5},

故选：D.

变式6-1.(绝对值不等式)设久CR,则久一2|4却是“QW