浙江省宁波外国语学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题（解析版）

宁波外国语学校二○二四学年第一学期初二期始考数学试题卷考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷。试题卷共4页．满分为100分，考试时间为90分钟．2．请将班级、姓名等分别填写在答题卷的规定位置上．3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．试题卷Ⅰ一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分）1.若分式有意义，则应满足的条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为零求解即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得，故选：A．2.若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系、解一元一次不等式组，根据三角形的三边关系，分情况列不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，得，解得，故选：B．3.如图，在中，分别是上的点，且，若，则（）°A.66 B.92 C.96 D.98【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，即，同理得出，因为，运用平角性质算出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答．本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理及平角，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．【详解】解：，，如图：∵∴∵∴∵∴∴在中，故选：B．4.如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，作轴，证是解题关键．【详解】解：作轴，如图所示：令，则；令，则；∴∵∴∵∴∴∴点的坐标是故选：D5.若关于的不等式组无解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解：由，得：，由，得：，不等式组无解，，故选：B6.对于关于的分式方程，以下说法错误的是（）A.分式方程的增根是或 B.若分式方程有增根，则C.若分式方程无解，则或 D.分式方程的增根是【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可．【详解】解：∵的公分母是∴∴∴方程两边同时乘上得把分别代入得出（舍去）；，则∴分式方程的增根是故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的；若分式方程无解，则∴则或故C是正确的；故选：A7.如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（）A. B. C. D.无解【答案】A【解析】【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即可求解．【详解】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方，∴不等式组的解为，故选：A．8.如图，在中是上的一点，，点是的中点．设，，的面积分别为，，，且，则（）A.2 B.4 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则，，然后利用即可得到答案．【详解】解：，，点是的中点，，，即，．故选：B．9.如图，在三角形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在边上的点处，折痕与交于点，若，则折痕的长为（）A.3 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查图形翻折变换，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据题意得到，设，则，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理计算即可．【详解】解：由翻折而成，，，，设，则，在中，，，解得，则，设，则，在中，，即，解得．故选B．10.如图，在中，是射线上的动点，，则当是直角三角形时，的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．【详解】解：当时，；在中，，当，，，，，为等边三角形，，，；情况二：，，，为等边三角形，；故选C．二、填空题：（本题共6小题，每题3分，共18分）11.将点关于轴对称后再向左平移个单位，其对应点落在轴上，则______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案．【详解】解：点关于轴对称的点为2,3，根据“左减右加”，得到点的坐标为，对应点落在轴上，解得．故答案为：．12.已知方程组的解满足方程，则______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．方程组中两方程相加表示出，代入已知方程即可求出答案．详解】解：，①②得：．，，解得．故答案为：．13.若且，则的值为________【答案】-7或6【解析】【分析】由x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，即可求得x2+2xy+y2+x+y=42，则变形得（x+y）2+（x+y）-42=0，将x+y看作整体，利用因式分解法即可求得x+y的值．【详解】解：∵x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42，∴（x+y）2+（x+y）-42=0，∴（x+y+7）（x+y-6）=0，∴x+y+7=0或x+y-6=0，解得：x+y=-7或x+y=6．故答案为-7或6.【点睛】本题考查了因式分解的应用，将（x+y）2+（x+y）-42正确因式分解是解答本题的关键.14.如图，，点在边上，与交于点，则______．【答案】【解析】【分析】根据全等三角形的判定即可判断；，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数；本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．【详解】解：和相交于点，．在和中，∵，．又，，．在和中，，．，．在中，，，，．故答案为：15.如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于______．【答案】【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可求出答案．本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，本题属于中等题型．【详解】解：，，是的中线，，是的中点，是的中位线，设，，，点是的中点，点是的中点，，，的周长为8，，，，由勾股定理可知：，故答案为：16.如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．要求的最小值及使最小，根据垂线段最短得到时，最短，根据勾股定理得到，即可得到答案．【详解】解：要求的最小值及使最小，时，最短，在是边长为的等腰直角三角形中，，根据等面积法：，解得的最小值为．故答案为：．三、解答题（共52分，17、18每题6分，19、20每题8分，21题10分，22题14分）17.解分式方程和不等式组（1）（2）解不等式组并把解集表示在数轴上．【答案】（1）（2），见详解【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）先求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．【小问1详解】解：经检验：是原分式方程的解．【小问2详解】解：由①得：，由②得：，原不等式组的解集为：，在数轴上表示为18.在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形．（1）请在图甲中作一个格点三角形，使是一个面积为2的等腰三角形．（2）请在图乙中仅用无刻度的直尺，作出的平分线（保留作图痕迹）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算即可；（2）连接，取中点，根据等腰三角形的性质画图即可．【小问1详解】解：根据等腰三角形的性质，；；【小问2详解】解：连接，取中点，根据题意得：，，故平分．．19.某产品的商标如图所示，O是线段AC、DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小林认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，∴△ABO≌△DCO．你认为小林的思考过程对吗？如果正确，指出他用的是哪个判别三角形全等的方法；如果不正确，写出你的思考过程【答案】小华的思考不正确；理由见解析．【解析】【分析】显然小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边．我们可以连接BC，先利用SSS判定△ABC≌△DBC，从而得到∠A=∠D，然后再根据AAS来判定△AOB≌△DOB．【详解】解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边；正确的解答是：连接BC，在△ABC和△DBC中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）；∴∠A=∠D，在△AOB和△DOC中，∵，∴△AOB≌△DOC（AAS）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．20.在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且，（1）求的面积；（2）求经过点且平分面积直线解析式．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、求一次函数的解析式、三角形的中线性质、坐标与图形等知识，熟知三角形的中线平分该三角形的面积是解答的关键．（1）先求得点A的坐标，再根据坐标与图形和三角形的面积公式求解即可；（2）先求得点P坐标，然后根据三角形中线平分该三角形的面积得过点P的直线经过线段的中点，利用中点坐标公式求得中点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式即可．【小问1详解】解：将代入，得，∴，∵，∴；【小问2详解】解：∵，点P在x轴的负半轴，∴；∵经过点的直线平分面积，∴该直线经过线段的中点，∵，∴线段的中点坐标为，设该直线的解析式为，将、代入，得，解得，∴经过点且平分面积的直线解析式为．21.学校超市欲购进A，B两种水杯进行销售．已知每个A种水杯的进价比每个B种水杯的进价贵5元，并且800元购进B种水杯的数量是500元购进A种水杯数量的2倍．（1）求A，B两种水杯的进价分别是多少元．（2）学校超市计划按（1）题的进价购进A，B两种水杯共90个，且A，B两种水杯的售价分别定为30元和26元．若超市计划购买A，B两种水杯的费用大于2000元但不超过2100元，请问满足条件的进货方案共有几种，并求出利润最大的进货方案及最大利润．【答案】（1）每个A种水杯的进价为25元，每个B种水杯的进价为20元；（2）满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．（1）设每个A种水杯的进价为a元，根据题意列分式方程求解即可；（2）设购进A种水杯x个，根据题意列不等式组得到x的取值范围，设利润为W元，根据题意，得，根据一次函数的性质求解即可．【小问1详解】设每个A种水杯的进价为a元，则每个B种水杯的进价为元，根据题意，得，解得，经检验，是所列分式方程的解且符合题意，∴，答：每个A种水杯的进价为25元，则每个B种水杯的进价为20元；【小问2详解】解：设购进A种水杯x个，则购进B种水杯90-x根据题意，得，解得，，设利润为W元，根据题意，，∵，∴W随x的增大而减小，又x为整数，∴当时，W最大，最大值为，答：满足条件的进货方案共有20种，当购进A种水杯41个，购进B种水杯49个，利润最大，最大利润为499元．22.在平面直角坐标系中，是轴上一点，是轴上一点，（1）若，判断的形状．（2）在（1）的条件下，延长至，使，求点的坐标．（3）在（2）条件下，点是轴上的动点，若为等腰三角形，直接写出点的坐标．（4）如图，若平分的横坐标为，探究与的数量关系．【答案】（1）直角三角形（2）（3）或或或（4）【解析】【分析】本题主要考查两点间的坐标公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键