人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《乘法公式（第2课时）》示范教学设计

乘法公式（第2课时）教学目标1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力．2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行计算．3．了解(a±b)2＝a2±2ab＋b2的几何背景，发展几何直观．教学重点完全平方公式的探索及应用．教学难点完全平方公式的探索及应用．教学过程知识回顾1．（乘法的）平方差公式：．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．2．利用平方差公式，可以使一些计算变得简单．3．一定要分清楚哪个是相同项，哪个是相反项，并不是带负号的就是相反项．4．只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行．新知探究一、探究学习【问题】填写并观察下列算式及其运算结果，你发现了什么规律？(m＋3)2＝_______×_______＝____＋____＋____＋____＝____＋____×____＋____＝____＋____＋____．【师生活动】学生先作答，然后教师带领学生分析规律．【答案】(m＋3)2＝(m＋3)×(m＋3)＝m2＋3m＋3m＋9＝m2＋2×3m＋9＝m2＋6m＋9．规律：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．【设计意图】让学生在计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系——“一般—特殊”，为下面的学习做铺垫．【问题】填写并观察下列算式及其运算结果，你发现了什么规律？(2＋3x)2＝_______×_______＝____＋____×____＋____×____＋____＝____＋____×____×____＋____＝____＋____＋____．【师生活动】学生作答，教师补充然后讲解新知．【答案】(2＋3x)2＝(2＋3x)×(2＋3x)＝22＋2×3x＋2×3x＋9x2＝4＋2×2×3x＋9x2＝4＋12x＋9x2．规律：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．【新知】完全平方和公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍．【设计意图】让学生经历具体—抽象的过程，即经历观察、比较、抽象、概括、推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法——“具体—抽象”．【观察】观察下列动图，体会完全平方和公式的几何意义．【师生活动】教师和学生一同观看动图，然后针对学生的疑惑，教师给出解释．【设计意图】通过观察动图，让学生认识完全平方和公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想．【问题】(a－b)2等于什么？你是怎样计算的？【师生活动】学生作答，教师补充并讲解新知．【答案】解法一：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－2ab＋b2．解法二：(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2．【新知】完全平方差公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2．两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍．【设计意图】让学生经历类比推理并验证的过程，加深学生对完全平方差公式的理解．【观察】观察下列动图，体会完全平方差公式的几何意义．【师生活动】教师和学生一同观看动图，针对学生的疑惑，教师给出解释．然后教师给出完全平方公式的含义．【新知】【设计意图】通过观察动图，让学生认识完全平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想．通过讲解，让学生知道完全平方和公式和完全平方差公式合称完全平方公式，对概念有一定的认识．二、典例精讲【例1】运用完全平方公式计算：（1）(4m＋n)2； （2）．【答案】解：（1）(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2；（2）＝y2－2·y·＋＝y2－y＋．【设计意图】让学生熟悉公式的结构特征，并能够运用公式进行计算．【例2】运用完全平方公式计算：（1）1022； （2）992．【答案】解：（1）1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404；（2）992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801．【总结】运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．【设计意图】让学生将完全平方公式的知识迁移到数的简便计算问题中，既巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力．【例3】已知x－y＝6，xy＝－8．求：（1）x2＋y2的值； （2）(x＋y)2的值．【答案】解：（1）因为x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，所以x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；（2）因为x2＋y2＝20，xy＝－8，所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4．【总结】本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x＋y)2－2xy，(x－y)2＝(x＋y)2－4xy．【设计意图】通过不同形式的考查，让学生更好地理解完全平方公式，并对完全平方公式的变式有所掌握．三、拓展提升【思考】(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？【师生活动】小组讨论，学生代表回答，教师给出答案．【答案】(－a－b)2＝(－1)2(a＋b)2＝(a＋b)2；(a－b)2＝(b－a)2；(a－b)2－(a2－b2)＝2b2－2ab．若两式相等，则有2b2－2ab＝0，b2＝ab．因此，只有在a＝b或b＝0的情