知识点大全-第14章《平面直角坐标系中的直线》-分享

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑沪教版高中数学知识点大全一第14章平面直角坐标系中的直线第14章平面直角坐标系中的直线.114.1直线的倾斜角与斜率.114.1.1直线的倾斜角114.1.2直线的斜率.114.1.3求倾斜角与斜率的主意.114.2直线的方程.114.2.1几种异常形式的直线方程.114.2.1.1直线的点斜式方程.214.2.1.2直线的斜截式方程.214.2.1.3直线的两点式方程.214.2.2直线的普通式方程.214.2.2.1直线的普通式方程.214.2.2.2直线的点法式方程.214.2.3直线的各种方程形式小结.214.3两条直线的位置关系.314.3.1两条直线的相交、平行与重合.314.3.2两条直线垂直的判定与夹角的求法.414.3.2.1两条直线垂直的判定主意.414.3.2.2两条直线夹角的求法.414.4点到直线的距离.514.4.1点到直线的距离公式.514.4.2平行直线间的距离公式.514.4.3*两点在直线的同侧或异侧的判断.514.4.4*直线中的对称问题.514.4.4.1点关于点的对称点.514.4.4.2直线关于点的对称直线.614.4.4.3点关于线的对称问题.614.4.4.4直线关于直线的对称直线.614.5*直线系.714.6*线性计划.714.6.1二元一次不等式表示平面区域.714.6.3线性计划.8导图作者:2025届卢睿涵、李子墨第14章平面直角坐标系中的直线14.1直线的倾斜角与斜率14.1.1直线的倾斜角不妨设直线l与x轴相交于点A,将x轴绕点A沿逆时针方向旋转到与l重合时所转过的最小正角θ正角叫做直线l的倾斜角(angleofinclination),规定直线l与x轴平行或重合时,规定倾斜角为0.故倾斜角的取值范围是[0,π),异常地,当倾斜角θ=π2时,直线14.1.2直线的斜率当直线的倾斜角θ≠π2时,定义tanθ为直线l的斜率(slope),常用字母k表示,即k=tanθ:当θ=π2即直线l在平面直角坐标系中,经过不同的两点Ax1Bx2,y2x1≠x214.1.3求倾斜角与斜率的主意（1）求直线斜率的主意①定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠π2,则斜率②公式法:已知直线过两点Ax1,y1、Bx2,③方向向量法:若a=m,n为直线的方向向量,则直线的斜率（2）求直线倾斜角的主意当直线斜率k不存在时,倾斜角α=π当直线斜率k存在时,倾斜角α=arctan14.2直线的方程14.2.1几种异常形式的直线方程14.2.1.1直线的点斜式方程在平面直角坐标系中,经过点Mx0,y0、斜率为k的直线14.2.1.2直线的斜截式方程形如y=kx+b的方程称为直线的斜截式方程.数值b14.2.1.3直线的两点式方程经过两点Mx1,y1、Nx2,y2,且不与任一坐标轴平行或重合的直线(即满意直线的两点式方程也可以写成x2−14.2.2直线的普通式方程14.2.2.1直线的普通式方程形如ax+by+c=0(试证实:向量n=a,b与直线ax+by+c=014.2.2.2直线的点法式方程普通地,与直线上随意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量(normalvector)结论:以直线l的普通式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量n=a,b若直线l经过平面上的一点Mx0,y0,且它的一个法向量为n=a,14.2.3直线的各种方程形式小结名称方程说明适用范围*点方向式方程xx0,y0向来线上的已知点u≠0，v点法式方程ax0,y0向来线上已知点平面直角坐标系内的直线都适用橫截式方程xm与斜率k的关系:互为倒数不垂直于y轴斜截式方程yk、b分离表示直线的斜率和直线在y不垂直于x轴点横式方程*xm与斜率k的关系:互为倒数不垂直于y轴点斜式方程yx0,y0向来线上已知点不垂直于x轴截距式方程xa、b向来线在x不垂直于坐标轴,不过原点.普通式方程an=a,b为直线的法向量平面直角坐标系内的直线都适用14.3两条直线的位置关系14.3.1两条直线的相交、平行与重合给定两条直线l1:a1x+b1y+c1=0(a1、b1不同时为零),l2:a2x+b2y+c2l1//l2⇔存在λ∈R,使得l1与l2相交⇔倘若l2的方程中三个系数a2、b2l1与l2重合⇔a1a2=b1b因为n1=a1,b1与n2=a2,b2分离是l1与l2的法向量,l小结:l1:l1:平行k1=k2a重合k1=k2a相交ka注重若已知两条直线平行关系求参数,应注重舍去重合的情形.14.3.2两条直线垂直的判定与夹角的求法14.3.2.1两条直线垂直的判定主意（1）当直线l1:a1x+b1y+方向向量(法向量)垂直.即d1⋅(2)当直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=14.3.2.2两条直线夹角的求法（1）给定两条直线l1:a1x+b1y+c1=0为零),它们的夹角α的余弦公式为cosα=（2）给定两条直线l1:y=k1式为tanα=（3）*到角公式直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时的最小正角θ,叫l1到异常地,若直线l1与l2平行或重合,规定其到角θ到角的取值范围:α到角公式:l1到l2的角θ14.4点到直线的距离14.4.1点到直线的距离公式点Px0,y0到直线l:ax+b14.4.2平行直线间的距离公式两条平行线直线l1:ax+b思量:若直线l1:a1x+14.4.3*两点在直线的同侧或异侧的判断令δ=A当两点在直线l的同侧,则它们的δ同号;当两点在直线l的异侧,则δ异号.14.4.4*直线中的对称问题14.4.4.1点关于点的对称点①若Ax1,y1,Bx2,②Px,y关于Ma,b14.4.4.2直线关于点的对称直线已知直线l:ax+by+c=0,点Pm,n在直线l′上任取一点Ax,y,则点A关于点Pm,n对称的点a2m−x+b2n−y14.4.4.3点关于线的对称问题①Px,y关于x=②Px,y关于y=③Px,y关于y=x+b的对称点为y−b,x+b(巧记:代入x④Px,y关于y=−x+b的对称点为b−y,−x+b(巧记:代入⑤求解Px,y关于l:i设对称点Pii列方程Aiii求解a14.4.4.4直线关于直线的对称直线思路:转化为点关于线的对称问题.求解l1:A1x+B1i先求出l与l1的交点Mxii在l1上取一点Px,y,设Px,yiii列方程Aiv求解a,b,得到点Pv通过P′、M求出直线14.5*直线系具有某种共同性质的所有直线的集合叫做直线系.1.与直线l:Ax+By+C=02.与直线l:Ax+By3.已知定点Px0,y0,则过定点P4.若直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l或λA114.6*线性计划14.6.1二元一次不等式表示平面区域直线l:ax+by（1）直线定界:普通地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线（2）异常点定域:对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点因此,倘若直线Ax+By+C=0一侧的点使Ax+By+CAx+By+C=0的一侧随意取一点x0,当C≠0时,取原点作为当C=0时,另取一（3）由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面区域的公共部分14.6.3线性计划名称意线性约束条件关于