2024年中考数学复习几何辅助线进阶训练-等腰三角形的辅助线

初中几何辅助线进阶训练一等腰三角形的辅助线

一'一阶段(较易)

1.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，ZEFB=60°,DC=EF.

(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；

(2)若BF=EF,求证：AE=AD.

2.如图，在AABC中，乙4=75。，AABC=45°,AC=6,点D在47上，过点D作ZC的垂线，分

别交射线BC,线段AB于点E,F,连接CF,CF恰好平分乙4CB,则线段BE的长是.

3.如图，在AABC中，过点B作△ABC的角平分线40的垂线，垂足为F,FG||48交AC于点G,若

AB=4,则线段FG的长为.

4.如图，AABC是等边三角形，D是AC边上一点，在C4右侧作乙4CE=乙48。，且CE=BD,连接

AE,DE.

(2)若D是等边△ABC外一点，且与点A都在直线BC同侧，若NBDC=60。，连接Z。，画出图

形，探究线段20、BD、CD之间的数量关系，并说明理由.

5.如图，在AABC中，已知4B=4C,4。是BC边上的中线，点E是4B边上一动点，点P是上的

一个动点.

(2)若BC=6,AD=4,AB=5,且CE1AB时，求CE的长；

(3)在(2)的条件下，请直接写出BP+EP的最小值.

6.如图，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE,

AF_LBE交BC于点F,过点F作FGLCD交BE的延长线于点G,交AC于点M.

(1)求证：AADCg/XAEB；

(2)判断AEGM是什么三角形，并证明你的结论；

(3)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论.

7.如图，AA0B=15°,点P是04上一点，点Q与点P关于0B对称，QM104于点若0P=6,则

QM的长为.

8.如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，ZABE=ZCAD,CF〃:BE交AD的延长线于点

F.

(1)求NAEB的度数；

(2)若BE=10,AF=15,求AE的长.

9.已知，在等边三角形ABC中，点O在上，点P在CB的延长线上，且OP=0C.

图1图2

(1)如图1,当点O为ZB的中点时，确定线段4。与PB的大小关系，请你直接写出结论；

(2)如图2,当点O为AB边上任意一点，确定线段2。与PB的大小关系，请你写出结论，并说明

理由；

(3)在等边三角形ABC中，点O在直线AB上，点P在线段CB的延长线上，且。P=0C,若4

ZBC的边长为2,4。=5,求CP的长.(请画出相应图形，并写出解题过程)

10.如图，△ABC中，ACAB=Z.CBA=48°,点。为△ABC内一点，^OAB=12°,NOBC=18。，则

二'二阶段(中等)

11.如图，在口ABCD,点F是BC上的一点，连接AF,AE平分NFAD,交CD于中点E,连接

EF.若NFAD=60。，AD=5,CF=3,则EF=

12.如图，正方形ABCD的边长为2,G是对角线BD上一动点，GELCD于点E,GFLBC于点

F,连结EF.给出四种情况：

①若G为BD上任意一点，则AG=EF；

②若BG=AB,贝Ij/DAG=22.5。；

③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；

④若DG：BG=1：3,则SAADG=：

则其中正确的是.

13.如图，分别以正方形ABCD的两条边AD、CD为边向外作两个正三角形，即AADG与

△CDF,然后延长GA,FC交于点E,得到一个“镖型”ABCE.已知正方形ABCD的边长为2,则“镖

型”ABCE的周长为（）

A.8+V10B.4+4V5C.4+4V3D.8+4V3

14.在平行四边形/BCD中，AC1CD,E为BC中点，点M在线段BE上，连接4M,在BC下方有一点

N,满足NO1。=NBCN,连接MN.

(1)若乙BCN=60°,AE=5,求/力BE的面积；

(2)若MA=MN,MC=EA+CN,求证：AB=.

15.如图，已知射线BCLAB,以AB为斜边作R3ABD,延长AD到E,使得AD=DE,连接

BE,BF平分NCBE交AE于点F.

(1)求证：BD=DF；

(2)若AB=2,以AE为边向下作NAEG=45。，交射线BC于点G,求BG的长.

16.如图，点A,B,C,D顺次在直线1上，AC=a,BD=b,以AC为边向下作等边△ACF,以

BD为底边向上作等腰RtABDE,当ZB的长度变化时，△CDF与△4BE的面积差S始终保持不变，则

a,b满足()

A.b=V3czB.a=V3bC.b=V2czD.a=b

17.如图，在△ABC中，ZABC=2ZACB,BD为△ABC的角平分线；

图1图2

(1)若AB=BD,则NA的度数为。(直接写出结果)；

(2)如图1,若E为线段BC上一点，ZDEC=ZA；求证：AB=EC.

(3)如图2,若E为线段BD上一点，ZDEC=ZA,求证：AB=EC.

18.AABC和AADE都是等边三角形，当ATWE绕点A旋转到图1的位置时，连接连接BD,CE相交

于点P,连接PA.

(1)请猜想线段24、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

(2)将AADE绕点A旋转到图2的位置时，其他条件不变，请直接写出线24、PB、PC之间的数

量关系，不需要证明.

19.如图，在△ABC中，乙4cB=90。，。为边力B的中点，E、尸分别为边AC、BC上的点，且ZE=

AD,BF=BD.若DE=a,DF=2,贝IJ/EDF=°,线段4B的长度=.

20.如图，在等边△ABC中，点D,E分别是AC,48上的动点，且AE=CD,BD交CE于点、P.

(1)如图1,求证：LBPC=120°；

(2)点M是边BC的中点，连接PA,PM.

①如图2,若点A,P,M三点共线，贝与PM的数量关系是.

②若点A,P,M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明

理由.

三、三阶段(较难)

21.问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形.我们可以利用这

一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题.

A

如图①，两条长度相等的线段和CD相交于O点，^AOC=60°,直线AC与直线BD的夹角为

a,求线段2C、BD、AB满足的数量关系.

分析：考虑将ZC、BD和4B集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量

关系：

如图②，作CE〃ZB且CE=48,则四边形ZBEC是平行四边形，从而AC=BE；

由于CD=AB=CE,乙ECD=LAOC=60°,所以△ECD是等边三角形，故ED=AB；

通过平行又求得NEB。=180°-a.

在△BED中，研究三条线段的大小关系就可以了.

(1)如图②，若4C=2b，BD=6,a=30°,请直接写出线段4B的长；

(2)问题解决：如图③，矩形ABCD中，E、F分别是A。、CC上的点，满足AE=CD,DE=

CF,求证：AF=V2CF;

(3)拓展应用：如图④，△ABC中，乙4=45。，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O,

BD=CE,Z.BOC=120°,若BE=4,CD=3应，贝UBD=.

22.对于一个四边形给出如下定义：一组对角为60。，一组邻边相等的四边形称为“六零”四边形.

(1)图1是一个“六零”四边形，其中乙4=NC=60。，DA=DC.

图1

①猜想B4与BC的数量关系是▲；

②证明你的猜想.

(2)图2是一个“六零”四边形，其中ZBAD=ZBCD=60。，AB=AD,连接AC,BD.

B

c

D

图2

①△ABD是三角形；

②若CB=m,CD=n,贝ijAC?=（用含m,n的代数式表示）.

（3）在（2）的条件下，如图3,延长BC到点F,使得BC=CF,连接DF.求证：zF=AACD.

图3

23.如图，在△4BC中，P为平面内的一点，连接AP、PB、PC,若乙4cB=30。，AC=8,BC=

10,贝11424+2PB+2遮PC的最小值是（）

A.4V89B.36C.4怖+2有+6近D.16V10-10

24.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，4（0,46）.在第一象限内作等腰△40C,

AO=AC,4047=以0。＜。390。）.点口为*轴正半轴上的动点，连接AD,将线段AD绕点A逆

时针旋转a度，得到线段AE,连接EC并延长交x轴于点F.

（1）如图1,当a=90。时，线段OF与CF的数量关系是；

（2）如图2,当0。＜。＜90。时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立,

请说明理由；

(3)若a=60°,

①求点F的坐标；

②过点E作EPIK轴，垂足为P,当APCE是等腰三角形时，求P点的坐标.

25.如图，在边长为6的正方形2BCD中，过力。中点E作正△E4F,过点F的直线分别交边力B、DC

于点G、H、已知点M、N分别是线段FH、4B的动点，且AEMN是等边三角形.

(1)判断EF与的位置关系，并说明理由.

(2)当点N在线段GB上时

①求证：AG=FG

②试判断MH+GN的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值.

(3)设2NEA=a，点A关于EN的对称点为4,若点/落在△EMN的内部，请直接写出a的范围.

26.如图1,在RtAABC中，NBAC=90。，AB=4,以AB为边在AB上方作等边△ABD,以BC

为边在BC右侧作等边△CBE,连结DE.

图2

(1)当AC=5时,求BE的长.

(2)求证:BDXDE.

(3)如图2,点C与点C关于直线AD对称，连结CE

①求C，E的长.

②连结CD,当△CDE是以C，E为腰的等腰三角形时，写出所有满足条件的AC长：.

(直接写出答案)

27.如图，在△ABC中，E是AB中点，F是AC上一动点，连结EF,将△AEF沿直线EF折叠得

△DEF.

(1)如图①，若NB=45。，且点D恰好落在线段BC上，求证：点F为线段AC的中点；

(2)如图②，若△ABC为等边三角形，且边长为4,当点D落在线段CE上时，求AF的长

度；

(3)如图③，若△ABC为直角三角形，ZBAC=90°,AC=8.连结AD、BD、CD,若△ACD与

ABDC面积相等，且CD=4,求小ABC的面积.

28.如图，在等边△ABC中，D为上一点，DE||AB,5.DF=BD.

图1图2

(1)如图1,若点E在AC边上，求证：AE=CE；

(2)如图2,若点E在△ABC内，连接CE,F为CE的中点，连接AF,DF,求证：AF1DF.

29.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，且面积为4.点D是BC的中点，点F是直线4B上一动点,

连结DF.

(1)求线段BC的长；

(2)当点E在射线BC上，且CE=2BC时，连结FE,若2F=34B,试判断△DEF是否为等腰三

角形，并说明理由；

(3)直线4B上是否存在点F(F不与重合)，使AACF的其中两边之比为1：V2?若存在，求

出BF的长；若不存在，请说明理由.

30.如图1,已知Na4F=30。,定点P在射线4E上，动点B在射线ZF上，作凸四边形4BPC,使

PC=PB,且“PB=150°.

（图1）

(1)如图1,当乙PB4为锐角时.

①若NPBA=a,试用含a的式子表示NCPA；

②过点C作CH_L4P于点H,求证：CH=^AP.

(2)如图2,当点B运动到PC||时，连接BC交4P于点K,试用等式表示线段PC,PK,4B之

间的数量关系，并说明理由；

(3)若点B关于直线4P的对称点为点D,连接。P,DC,当ADPC为等腰直角三角形时，请直接

C

写出沁£的值.

,△PCD

答案解析部分

1.【答案】（1）证明：・・•△ABC是等边三角形，

・・・NABC=60。，

VZEFB=60°,

・・・NABC=NEFB,

・・・EF〃DC（内错角相等，两直线平行），

,.・DC=EF,

・•・四边形EFCD是平行四边形

（2）证明：连接BE

VBF=EF,NEFB=60。，

/.△EFB是等边三角形，

・・・EB=EF,NEBF=60。

VDC=EF,

・・・EB=DC,

,/△ABC是等边三角形，

・・・NACB=60。，AB=AC,

・・・NEBF=NACB,

・・・△AEB^AADC,

・・・AE=AD.

2.【答案】3V3-3

3.【答案】2

4.【答案】(1)证明：•・・△ABC是等边三角形,

：.AB=AC,^BAC=60°,

又=4ACE,BD=CE,

：.AABD=AACE(SAS),

：.AD=AE,乙BAD=^CAE=60°,

・・・△力DE是等边三角形；

(2)解：如图所示，当点D在47右侧时，BD=AD+CD.

-----------------1

证明：在上取点M,使3M=CD,连结力M,设力C与3D交于点O,

■:乙BDC=60°,

工人BDC=乙BAC,

又•：(COD=^AOB,

：./LABO=乙4CD,

又,.,43=AC,BM=CD,

C.LABM三△4CD(SAS1),

：.AM=AD,^BAM=^CAD,

：.Z.BAM+Z.CAM=^CAD+乙CAM,即=^MAD=60°,

△4MD是等边三角形，

：.AD=MD.

•;BD=BM+MD,

：.BD=AD+CD；

如图，当点D在43左侧时，CD=BD+AD.

在CD上取点N,使CN=BD,连接力N,同理可得△力BD三△ACN(STlS),

：.AD=AN,4BAD=乙CAN,同理可得△力DN为等边三角形，AD=DN,

VCD=CN+DN,

：.CD=BD+AD.

5.【答案】(1)解：:AB=AC,

・・・NACB=NABC,

TAD是BC边上的中线，

・,.NADB=90。，

VZBAD=37°,

・・.NABC=53。，

・・・NACB=53。.

(2)解：VCE1AB,

.•.1BCAD=1-ABCE,

又,「BC=6,AD=4,AB=5,

・

・.s一6下x4一_2丁4

(3)解：PE+PB的最小值为目

6.【答案】(1)证明：・・,等腰直角三角形ABC中，NBAC=90。,

AAC=AB,NACB=NABC=45。，

在^ADC和^AEB中

(AC=AB

\^CAD=^BAE

(AD=AE

.*.△ADC^AAEB(SAS),

(2)解：AEGM为等腰三角形；

理由：VAADC^AAEB,

・・・N1=N3,

VZBAC=90°,

・・・N3+N2=90。,Zl+Z4=90°,

・・・N4+N3=90。

VFG±CD,

・・・NCMF+N4=90。，

・・.N3=NCMF,

・・・NGEM=NGME,

・・・EG=MG,aEGM为等腰三角形.

(3)解：线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG.

理由：如图所示：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N,

VBNXAB,NABC=45。，

NFBN=45o=NFBA.

VFGXCD,

・・・NBFN=NCFM=90。-ZDCB,

VAFXBE,

.\ZBFA=90°-ZEBC,N5+N2=90。，

由（1）可得NDCB=NEBC,

・・・NBFN=NBFA,

在^BFN和^BFA中

NFBN=匕FBA

BF=BF

ZBFN=乙BFA

.*.△BFN^ABFA（ASA）,

・・・NF=AF,NN=N5,

又,.,NGBN+N2=90。，

・・・NGBN=N5=NN,

・・・BG=NG,

又,.・NG=NF+FG,

・・・BG=AF+FG.

7.【答案】3

8.【答案】（1）解：•・・△ABC为等边三角形，

JNBAC=60。.

VZABE=ZCAD,

・・・NABE+NBAE=60。，

.\ZAEB=180o-60o=120°

(2)解：在AF上截取AG=BE,连接CG

BE=AG

在^ABE和^CAG中，\/_ABE=Z.CAE,

、AB=CA

・・・△ABE^ACAG(SAS),

・・・BE=AG=10,AE=CG,NAEB=NAGC=120。,

・•・ZBED=60°.

\・AF=15,

・・・GF=AF-AG=15-10=5,NCGF=60°.

CF//BE,

・・・NBED=NCFA=60。

・・・NCGF=NCFA=60。

/.△CFG为等边三角形.

・・・AE=CG=GF=5.

9.【答案】(1)AO=PB

(2)解：在图2中，过O作OQIIBC,

贝1」4力。(2=乙ABC,^AQO=乙ACB,乙COQ=乙OCP,

9：^ABC=^ACB=^BAC=60°,

：.Z.AOQ=^AQO=乙BAC=60°,

为等边三角形，Z.PBO=^OQC=120°,

：.A0=OQ,

TOP=OC,

：.Z-OCP=乙OPC,

・"OPB=乙COQ,

在^OPB^OACOQ中，

ZPB。=(OQC

乙OPB=Z.COQ

*OP=oc

：.AOPB=△COQ(AAS^

：.PB=OQ,

：.AO=PB；

(3)解：如图3,过O作OQIIBC,交4c延长线于Q,

贝I」乙4OQ=乙ABC,乙4Q。=4ACB,乙COQ=乙OCP,

U：Z.ABC=LACB=Z.BAC=60°,

：.Z.AOQ=^AQO=乙BAC=60°,

•••△40Q为等边三角形，乙PBO=^OQC=60。,

：.AO=OQ=5,

•：OP=OC,

:•乙OCP=乙OPC,

：./-OPB=乙COQ,

在40PB和^COQ中，

ZPBO=(OQC

乙OPB=乙COQ

OP=OC

：.LOPB三△COQ0L4S),

：.PB=OQ=5,又△力3c的边长为2,

；.CP=PB+BC=5+2=7.

10.【答案】B

11.【答案】4

12.【答案】①②③④

13.【答案】D

14•【答案】（1）解：..•四边形ABCD为平行四边形,

AAB//CD,AD〃BC,

ZCAD=ZACB=ZBCN=60°,

又ACJ_CD,

AAB±AC,

AZB=30°,

在R3ABC中，E为BC的中点,

；.BC=2AE=10,

；.AC=；BC=5,

-'-AB=y/BC2-AC2=5g，

,，SAABE—4X3X5x5V3-V3

由（1）知NACM=/GCM,

又MC=MC,

?.△ACM^AGCM,

AAM=GM,ZMAC=ZG,

又AM=MN,

AGM=MN,

ZG=ZMNG=ZMAC=ZMAE+ZEAC,

又由（1）可得EC=EA,

ZEAC=ZACE=ZNCM,

•?ZMNG=ZNCM+ZNMC,

；.NNMC=NMAE,

在MC上截取MF=AE,

.*.△MAE^ANMF,

；.ME=FN,

又MC=ME+CE=MF+CF,MC=EA+CN,

VEA=MF=CE,

；.ME=CN=FN=CF,

/.△NCF为等边三角形，

.,.ZMCN=60°,.,.ZACB=60°,AZABC=30°,：，AB=^BC^

VAE=1BC,.\AB=V3AE.

15.【答案】（1）证明：；BCLAB

•••乙ABC=90°

/?[△ABD的斜边是AB

•••乙ADB=90°

•••BD1AD

XvAD=DE

BQ垂直平分AE

AB=BE

Z-A=乙BEA

•••NA+乙AEB+4ABE=180°

^AEB+^AEB+^ABE=180°

•••2AAEB=180°-AABE

•••BF平分乙EBC

1

•••乙EBF=乙CBF=]乙CBE

・•・乙DFB=Z-BEA+Z.EBF

1

-Z.BEA+2Z-CBE

1

乙

1

二5(180。-^ABE+乙CBE)

乙

1

=5[180°-{/.ABE-ZCBE)]

乙1

-

2(180°-乙4BC)

1

-

2x(180°-90°)

=45°

•・•乙ADB=90°

・•・乙FDB=90°

・・・乙DBF=180°-乙FDB-乙DFB=180°-90°-45°=45°

・•・乙DFB=乙DBF

・・・BD=DF

(2)解：如图：延长BF交EG于点H

・・・乙DFB=(EFH=45°,Z.AEG=45°

・•・乙FHE=180°-乙FEH-乙EFH=180°-45°-45°=90°

••・乙BHG=90°

・•・乙BEH+乙FBE=90°,乙CBF+乙BGE=90°

Z.FBE=Z-CBF

・•・乙BEG=Z-BGE

・•・BE=BG

AB=BE

・•.BG=BE=AB=2

16.【答案】A

17.【答案】(1)72

(2)证明：如图1中，VZABD=ZDBC=ZC,

・・・BD=CD,

在aABD和^ECD中，

24=乙DEC

乙4BD=",

、BD=CD

.*.△ABD^AECD(AAS),

・・・AB=EC.

(3)证明：如图2中，延长BD到T.使得CD=CT,

图2

VCD=CT,

:.NT=NCDT=ZADB,

VBD=CD,

・・・BD=CT,

在^ABD和^ECT中，

24=2CET

乙ADB=d,

、BD=CT

.*.△ABD^AECT(AAS),

・・・AB=EC.

18.【答案】(1)解：PB=PA+PC,理由如下:

如图，在BP上截取BF=PC,连接力凡

-AABC,△4DE都是等边三角形，

AB=AC,AD=AE,ABAC=乙DAE=60°,

**•Z-BAC+Z-CAD=Z-CAD+Z.DAE,

=^EAC,

ABDACE(SAS),

・•・Z.ABD=Z.ACE,

-AB=AC,BF=CP,

BAF=△CAPQSASy

AF=AP,Z.BAF=^CAP,

・・・4BAC=Z-PAF=60°,

・•.△AFP是等边三角形，

PF=PA,

：.PB=BF+PF=PC+PA；

(2)解：PC=PA+PB,

19.【答案】45；2V5

20.【答案】(1)证明：•.•△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,ZA=AABC=UCB=60°,且AE=CD,

：.△AEC三ACDB{SAS},

：.^ACE=乙CBD,

■:乙BPC+乙DBC+ABCP=180°,

:.乙BPC+^ACE+Z.BCP=180°,

:.乙BPC=180°-AACB=120°；

(2)解：①力P=2PM

②仍然成立，理由如下：

延长BP至H,使PH=PC,连接44、CH,延长PM=MN,连接CN,

如图3所示：

图3

贝ikCPD=180°-乙BPC=60°,

:是等边三角形，

ACH=PH=PC,乙PCH=(PHC=60°,

*/△力BC是等边二角形，

：.BC=AC,Z.ACB=60°=乙PCH,

:•(BCP=(ACH,SXC=BC,CP=CH,

：.^ACH三△BCP(S力S),

：.AH=BP,乙AHC=乙BPC=120°,

・••乙4Hp=120°-60°=60°,

•・,点M是边3C的中点，

：.CM=BM,且MN=PM,乙CMN=^PMB,

：.△CMN=ABMP(SAS),

：・CN=BP=AH,乙NCM=CPBM,

：.CN||BP,

:•乙NCP+乙BPC=180°,

:•乙NCP=60。=乙AHP,且CN=4"，CP=PH,

：.LAHP皂△NCP(SAS),

：.AP=PN=2PM.

21.【答案】2后问题解决：如图③，矩形4BCD中，E、F分别是4。、CD上的点，满足力E=CD,

DE=CF,求证：”=鱼虑；【答案】证明：问题解决：作CG||力?交43于G,连接GE,

四边形力BCD是矩形，J.AB||CD,4BAD=LD=90°,

四边形力GCF是平行四边形，：.AG=CF=DE,AF=CG,又4E=CD,^BAD==90°/.A

AGE三ADEC,：.GE=CE,4AEG=^DCE,U：^LDEC+^DCE=90°,：.^,DEC+^AEG=90°,

：.^CEG=90°,：.CG2=GE2+CE2=2CE2,：.CG=y/2CE=AF;拓展应用：如图④，AABC

中，乙4=45。，D、E分别在AC、48上，BD、CE交于点O,BD=CE,^BOC=120°,若BE=

4,CD=3/，贝/。=.【答案】V58

(1)2vn

(2)证明：问题解决：作CG||力9交43于G,连接GE,

•..四边形ABCD是矩形，

：.AB||CD,^BAD=AD=90°,

四边形AGCF是平行四边形，

：.AG=CF=DE,AF=CG,

又力E=CD,^BAD=ZD=90°

*••△A.GE=△DEC,

：.GE=CE,乙AEG=^DCE,

•；CDEC+4DCE=90°,

：.z.DEC+Z.AEG=90°,

・"CEG=90°,

：.CG2=GE2+CE2=2CE2,

ACG=V2CE=AF;

（3）V58

22.【答案】（1）解：①猜想B4=BC,

②证明：连接2C,

/.Z.DAC=Z.DC,

9：^BAD=乙BCD=60°,

：.£.BAD-^DAC=乙BCD-/-DCA,

即4C=乙BCA,

：.BA=BC；

（2）等边三角形；m2+n2+mn

(3)证明：将ABC。绕点B逆时针旋转60。，得ABNA,连接ON,如图3,

图3

由(2)得：CN=BC=m,AN=CD=n,AANC=120°,

"：BC=CF,

：.CF=CN,

■:乙BCD=60°,

贝UNOCF=AANC=120°,

在△DCF和△ANC中，

-DC=AN

乙DCF=乙ANC,

.CF=CN

：.ADCF三△4VC(S4S),

：.^F=^ACD.

23.【答案】A

24.【答案】(1)OF=CF

(2)解：OF=CF成立,理由如下，

连接力尸，如图：

由旋转的性质得，^DAE=a,AE=AD,

Z.OAC=a,

Z-EAC—Z-CAD-a,Z-OAD—乙CAD=a,

：.LEAC=^OAD,

AE=AD

在△力CE和△4。。中，\/.EAC=Z-DAO,

.AC=A0

：.LACE皂△力。D（S力S）,

：.Z.ACE=^AOD=90°,

^Rt△AOF^Rt△ACF^,｛葬二葬,

：.Rt△AOF=/?t△ACF（HL）,

：.OF=CF；

（3）解：①过点C作MNLAC,

OF/DPx

N

由（2）得4力CE=^AOD=90°,

・••点E总在直线MN上，

Va=60%AO=AC,

△力。C是等边三角形，

由（2）得OF=CF,

・••力F是线段OC的垂直平分线，

C.^OAF=30°,

：.AF=2OF,

•・Z（0,4V3）,

・•・力。=4后

由勾股定理得OF=4,

・・・力（4,0）;

（2）\9^A0F=Z.ACF=90°,^OAC=60°,

AzOFC=120°,

：.Z.EFP=60°,

9CEP1%轴,

"FEP=30°,

・•・当乙EPC=乙FEP=30°,即乙TCP=60。时，△PCE是等腰三角形,

・•・△CFP是等边三角形，且PR=CF=OF=4,

・・・P点的坐标为(8,0).

25.【答案】(1)解：EF1GH,理由如下：

•・•四边形力BCD是正方形，

9：AEAF,AEMN是等边三角形，

：.AE=FE,NE=ME.^AEF=(NEM=60°,

，乙AEN=60°-乙NEF=乙FEM,

：.△AENFEM(SAS),

：.^EFM=乙EAN=90°,

即EF1GH；

(2)解：①如图，连接EG,

VFF1FG,BALAE,

：.Z.EAG=乙EFG=90°,

^Rt△AEG,Rt△FEG^9

(EG=EG

UE=FE'

：.RtLAEG=/?t△FEG(HL),

：.AG=FG；

(2)MH+GH=2V3,理由如下，

如图所示，过点H作"K14B于点K,

DH/C

♦.•四边形/BCD是正方形，且边长为6,

:.乙C=ZB=90°,

又HK1AB,

四边形HKBC是矩形，

：.HK=CB=6,

:"AB=90°,ZEAG=90—Z.EAF=30。,

又G4=GF,

：.^AFG=^FAG=30°,

J.AHGK=60°,

在RtAHGK中，^GHK=30°,

1

:・GK=^HG,

9：GK2+HK2=HG2,

12

•'•(jHG)+62=HG2>

解得：HG=4A/3,

YE是的中点，贝l〃E=3,

在RtMEG中，AAGE=^AAGF=60°,

：.^AEG=30°,

-,-AG=V3,贝UFG=AG=遍,

"：MF=AN,

：.GN=AN-AG=MF-FG,

又MH=HG-MF-FG,

MH+GN=4V3-MF—FG+MF—FG=4V3-V3-V3=2>/3;

即MH+GH=2A/3,

(3)当30。<a<60。时，点力'落在AEMN的内部

26.【答案】(1)解：:△ABD,21CBE都是等边三角形,

AZABD=ZCBE=60°,AB=DB,BC=BE,

・,.NABC+NCBD=ZDBE+ZCBD,

・・・NABC=NDBE,

.*.△BAC^ABDE(SAS),

・・・NBAC=NBDE=90。，BE=BC.

在Rt^ABC中，AB=4,AC=5,

:・BC—y/AB2+AC2—V42+52=V41»

ABE=V41；

(2)证明：VAABD,ACBE都是等边三角形，

・・・NABD=NCBE=60。，AB=DB,BC=BE,

NABC+NCBD=NDBE+NCBD,

・・・NABC=NDBE,

.*.△BAC^ABDE(SAS),

・・・NBAC=NBDE=90。，

・・・BD_LDE；

(3)①连接AC,

由(2)知ABAC也4BDE(SAS),

AAC=DE,NBAC=NBDE=90。，

・・・ZADE=60°+90°=150°,

VZCAD=ZBAC-NBAD=900-60°=30°,

由对称的性质得NDAC=NDAC=30。，AC=DE=AC,

・・・ZADE+ZDAC=180°,

・・・DE〃AC,

・・・四边形ACED是平行四边形，

・・・C'E=AD=AB=4；

②4或4H

27.【答案】(1)证明：连结AD

A

・・・E是AB的中点，

・・・AE=EB,

由翻折的性质可知AE=ED,AF=FD,

・・・AE=EB=ED,

・・・NEBD=NEDB,NEAD=NEDA,

VZB+ZBAD+ZADB=180。，

2ZEDB+2ZEDA=180。，

・・・NEDB+NEDA=90。，

AZADB=90°,

・・・NADF=90。，

VFA=FD,

・・・NFAD=NFDA,

VZFAD+ZC=90°,ZADF+ZFC=90°,

・・・NFDC=NC,

・・・FD=CF,

VAF=FD,

・・・AF=FC,即点F是AC的中点；

(2)解：连结AD

・・・△ABC为等边三角形，E为AB中点

AZCAB=60°,ZACE=30°,CE±AB

JZAED=90°

又・・•折叠△AEF得^DEF

・・・AE=DE,AF=DF

JZEAD=45°

■:ZDAF=ZCAB-ZEAD=15°

・・・ZCFD=2ZDAF=30°

・・.NCFD=NACE

・・・DF=CD

・・・AF=CD

又・・,等边△ABC边长为4

・・.DE=2,由勾股定理可得CE=2百

・・・AF=CD=2V3-2;

(3)解：延长CD交AB于点E\过A、B分别作CD延长线的垂线，垂足分别为N、M

/.NANM=NBMN=90。

.*.AN//BM

・・・NNAB=NMBA

•・•△ACD与aBDC面积相等

二•AN=BM

・•・△ANE^ABME'

:.AE=BE'

•・・E是AB中点

・・・E与E重合

即E、D、C三点共线

•・・折叠△