2024年中考数学复习：圆知识点分类练习

垂径定理

知识提炼

名称文字语言图示

垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

垂径定理

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

的推论

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

D

拓展二

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个（知二推三）：①过圆心；②垂直于

归纳

弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.

注意：“垂径定理”中的“径"并不需要一定是直径，有时候是“半径”、有时候是“弦心距”，还可以是其它可以经过圆心的线段（或直

线），总之：“过圆心”是其特征。

基本图1基本图2

垂径基本图1：“双垂径”，多用于已知圆内有“垂直弦”，并且求其中的一条弦长或和弦长相关联的其他线段长。方法：作2条垂径,

用2次勾股，矩形“导边”。

垂径基本图2:“过圆内定点（N）的弦”，根据垂径+勾股定理得：AB=2Vr2-h2,又hWd,故当h=d时，弦长AB有最小值，此时ON

为AB的垂径。当弦AB过圆心（变直径）时，弦长有最大值。

弧、弦、圆心角的关系定理

知识提炼

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆

心角相等，所对的弦也相等；③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣弧也相等.

弧、弦、圆心角之间的关系

名称文字语言图示

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对

的弦相等

重要结论「

\\/B

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对-------"A

的优弧、劣弧相等

不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉了这个前提条件，

注意即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等。如右图所示，两个圆的圆心相

同，AB与AE对应同一个圆心角，但AB彳AB,AB^A'B'0)

在同圆或等圆中，两条弧（一般同为劣弧或优弧）、两条弦、两个圆心角中，中只要有一组量相等，那么它

规律总结

们所对应的其余各组量也分别相等

模型快练

1.如图.AB为。0的直径,C,D分别是OA,OB的中点,(CF_L4B,ED148,点E,F都在G)O上.求证:⑴CF=DE(2)AF=EF=BE(3)

AE=2CF

圆周角、圆内接四边形的性质

知识提炼

圆内接多边形：

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

圆内接四边形的性质：

圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内对角.

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

圆周角定理的推论：

①在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等；

②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

模型快练

1.如图,OA,OB,0C者B是0O的半径,44。8=2乙BOC.

⑴求证:ZACB=2ZBAC;

(2)若AC平分NOAB,求NAOC的度数.

垂直弦的平行弦解决方案

知识提炼

平行弦的性质：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

证明方法：1.过O作垂径，利用垂径定理证明；

2.连AD,相等的圆周角所对的弧相等。

模型快练

1.如图,在△4BC中,tan^BACxtan乙ABC=1,00经过A,B两点分别交AC,BC于D,E两点若.DE=10,AB=24,,则。0的半径为

2.如图,四边形ABCD是。。的内接四边形,.AC1BD于点P,半径r=6,BC=8,则tan^DCA=.

A

定弦定角

知识提炼

【基本方法】圆周角定理的逆运用，用于解决“隐圆问题”，“轨迹”、“动点”等。

模型快练

1.如图,M,N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足.AM=BN,连接AC交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF.若正

方形的边长为2,则线段CF的最小值是.

2.如图,在边长为2的等边△4BC中,D.E分别是BC,AC上的两点,且BD=CE,,AD与BE相交于点M.当点D从点B运动到点C

的过程中，点M运动的路径长为,

圆的折叠

知识提炼

基本图

本质：轴对称、两个等圆的相交问题（图2）

补充概念：

如图2,OO,为两圆的连心线，AB为两圆的公共弦，对于等圆，连心线和公共弦互相垂直平分,即:四边形AOBO为菱形。

高频考点：

如图3,根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等“，可知：AC=AD,从而得到AC=AD（作等弦是这类题型常见的辅

助线），根据等腰三角形性质，有三线合一，关联垂径定理、勾股定理，一般会考查到“方程思想工

模型快练

I如图,AB是OO的直径,BC是。O的弦,先将BC沿BC翻》折交AB于点D.再将BD沿AB翻》折交BC于点E.若BE=DE,设NABC=

a,则a所在的范围是（）

A.21.9°<a<22.3°B.22.3°<a<22.7

C.22.7°<a<23.1°D,23.1°<a<23.5°

阿基米德折弦定理

知识提炼

Bu

tel

推论-：推论二

模型快练

1.已知,△4BC内接于0O,AC为OO的直径，点D为优弧BC的中点.

⑴如图1,连接0D,求证:AB\\OD;

(2)如图2,过点D作.DE14C,垂足为E.若4E=3,BC=8„求＜30的半径.

图2

2.如图,。0是△4BC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA,BE1DC交DC的延长线于点E.

⑴求证:Z1=乙BCE;

⑵求证:BE是。。的切线；

⑶若EC=1,CD=3,求cosKDBA.

定弦张角最大模型

知识提炼

如图，A为定长线段BD上的定点，C在过D点且与BD垂直的直线上运动，试通过作图的方法找出.乙4cB最大时，C点的位

置。

【核心解读】米勒角问题，最终都可以转化为“切割线问题"当切割互垂的时候，可以用勾股定理、垂径定理求解；推广到一般情

形，切割线的夹角不是90。时，用“切割线定理”（子母形相似）比较简单。

模型快练

1.已知,C在x轴正半轴上运动,A（0,2）,B（4,6）,当/4C8最大时，求C点坐标。

内心图（任意角+直角）

【基本结论】MB=MC=Ml

左图：等腰图基本结论（中位线、双勾）；对角互补（任意角）

右图：对角互补（双直角）

模型快练

1.如图,00的直径AB，弦CD于点E,F是弧AD的中点,CF交AB于点I,连接BD,AC,AD.

(1)求证:BI=BD;

(2)若01=1,OE=2,求。O的半径

B

切线长定理

图解模型

基本结论&方法:

切线长定理：PA=PB、乙4P0=/BP。、PO垂直平分AB

双等腰（4M=BM）、射影定理、面积法

点［为△P4B的内心

模型快练

1.如图,四边形ABCD,^ADC=90。,48=6,4D=8,00切AB、CD于B、C两点,切AD于点E,求BC的长

三角形内切圆半径

知识提炼

1.直径三角形内切圆半径（拓展到旁切圆半径）

基本结论&方法：

ab

左图（内心）

r=a+b+c

c+b-aab

右图（旁心）r=

2a+c-b

2.任意三角形内切圆半径

2S

2S

r=--------

a+b+c

模型快练

（2023武汉四调T9）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式S=

若三角形的三边a,b,c分别为7,6,3,则这个三角形内切圆的半径是（)

VionVio

4B年L.----U.----

正多边形和圆的计算

知识提炼

名称公式说明

中心角a=360°a为中心角，n为边数

边心距、边长、半径间的关系式R2T2+1/4a2Rn为半径,rn为边心距,an为边长

周长公式Pn=nanPn为正多边形周长，an为边长

面积公式sn=Pr.Pn为正多边形的周长，rn为边心距

模型快练

1.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是。O的内接多边形，则乙BOM=

2.如图为一个边长相等的正方形EFGH和正六边形ABCDEF组成的平面模具.已知A,E两点的距离为2旧，现用一个圆形纸片覆盖这

个模具，则该纸片的最小面积为.

3.如图,已知AB是OO的直径,48=2而,点C,D,H是0O上的点四边形CDEF和EGHI都是正方形,其中点G,E,F在AB上,则正

方形EGHI的边长为

弧长和扇形面积

知识提炼

弧长的计算

弧长公式：，=鬻

扇形面积的计算

扇形面积公式：S=嗒=97?

球3602

弓形面积的计算

如图1,S弓形=S腐形AOB-

如图2,S弓形=S朗形彳QB+S.48

圆锥的计算

基本概念：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.

圆锥的侧面积和全面积

侧面积公式：S侧=杜

全面积公式：S.=nlr+nr2

全

一圆锥底面半径一go。

展开图扇形圆心角度数圆锥母线’即:九=芸360。

B

1.一个圆锥的底面半径r=10,高h=20，则这个圆锥的侧面积是（）

4.100遥兀B.200V37TC.100V5TTD.200V5TT

2.如图,用半径为3cm.圆心角为120。的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）

42&B.y/2C.V10D.|

3.如图,半径为10的扇形AOB中，乙40B=90°,C为AB上一点,CD±OA.CE1垂足分别为D,E.若乙CDE=36。,则图中阴影部

分的面积为（）

A.IOTIB.9兀C.87CD.6兀

4.如图,©O的半径为2,AB,CD是互相垂直的两条直径,点P是。O上任意一点（P与A,B,C,D不重合）,经过P作PMJ.4B于点M,PN

1CD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45。时，点Q走过的路径长为（）

A„.7-T

4

等腰三角形内接于圆

图解模型

条件：A4BC内接于。O,4B=4C

结论：

1.垂径.中位线AOHBC;CG=BG;ZOAC=Z.OAB;OGB'C、OG=|B'C

2.角平分.全等.NME4=可以反推等腰AB=AC）;AAMCANB;

3.双勾股CG?=OC2-OG2=AC2-AG2

4.相似△BCPs/\OAP（X形）:AB，CPs/\APB（蝶形）；

△PAOS^PBA（子母）；

5.角相等乙COG=/.CAB=ZCB'B（常用于三角函数导角）

模型快练

1如图PA、PB分别与。O相切于A、B两点AC是。O的直径,.AC=

(1)求证:AABC^APDA;

⑵求器的值；

2.如图,在四边形ABCD中,.AD\\BC,AD1CD,AC=48,00为AABC的外接圆

⑴如图1.求证:AD是。。的切线

⑵如图2,CD交。0于点E,过点A作.AG1BE,垂足为F,交BC于点G

①求证:AG=BG

①若4。=2,CD=3,求FG的长

3.如图..A4BC内接于。O,AB=AC,,BD为＜30直径,连接AO,CD.

⑴求证:AO\\CD;

⑵若BC=8,AB=4V5.求CD的长.

平行四边形+圆

图解模型

基本结论、方法：

等腰图、平行弦、贝壳相似（双等腰）

垂径定理+对边平行,双勾股；

模型快练

1如图,平行四边形ABCD的边AD与经过A,B,C三点的。0相切.

⑴求证:点A平分BC;

⑵延长DC交0O于点E,连接BE,若BE=4V13,0O半径为13,求BC的长.

等腰图一以腰为直径作圆

知识提炼

顶角为锐角顶角为钝角

基本结论、方法：

点D为BC中点,（三线合一）,.ED=CD=BD（斜边中线）,△DEC为圆内接等腰（等腰图），四边形DQEL为矩形，与矩形的边相

关的中位线，A4EC和△BEC双勾股，整体图形可用面积法。

模型快练

1.如图,在A'中,AB=AC,以AB为直径的。0分别交BC,AC边于点D,F.过点D作DE±CF于点E.

⑴求证:DE是。O的切线;

(2)AF-DE=2,EF=2,求。O的半径.

2.如图,在△4BC中，以AB为直径的OO恰好过AC的中点D,CB的延长线交0O于点E,过点D作.DF1BC于点F.

⑴求证:DF与。O相切；

（2）若。O的半径为5,DF+BF=6,求BE的长.

c

A

3.如图,在&4BC中,AB=AC,,以AB为直径的。0与边BC,AC分别交于D,E,DF是。O的切线.交AC于点F.

（】）求证:DF1AC;

⑵若AE=4,DF=3,求。O的半径.

4.已知:△48c中,以AB为直径的。O交边AC,BC于点D,E,且点E为BC边的中点.

⑴求证:4C=4B;

(2)若BE=2通,AD=6,求0O半径长.

5.如图,以AD为直径的0O交AB于C点,BD的延长线交00于E点连CE交AD于F点,且AC=BC.

⑴求证:AC=CE;

⑵若黑=舜taMCED的值.

E

D

切割等腰图

图解模型

如图,PA是OO的切线,A为切点,PB是。0的割线，交。O于B、C两点,M为弧BC的中点,连接MA,交BC于点D,求证:PD=PA

1.如图,在。0中,弦,BC_L半径0A于点D,F是CD上一点,AF的延长线交。O于点E,P为BC延长线上一点,.PF=PE.

⑴求证:PE是OO的切线；

⑵若AD=2,BC=8,DF=1,求PE的长.

'E

余弦定理思想和正弦定理

图解模型

1.余弦定理思想【双勾股】（已知两边夹角求第三边长度）

余弦定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,

运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边的问题。

2.正弦定理

正弦定理