2024年中考数学复习：勾股定理典例精析

勾股定理典例精析

模块一勾股定理及证明

例题1

(1)勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的(如图所示),

如果直角三角形ABC的三边长为a,b,c(c为斜边)，以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明a2+b2=c2.

⑵如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D

的面积之和为.

【解析】⑴如上图可知：△ACFSAADB,

S正方形ACED-2SADB，S加水AFGP-^ACF'

b2=S矩形AFGP，同理a2=Sa2+b2=c2.

(2)49cm2.

【教师备课提示】这道题考查勾股定理证明和勾股树.

例题2

⑴若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的().

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

(2)若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为—

(3)下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;(③/+n2,m2-n2,2mm(m,n均为正整数,m>n);@a2,a2+l,a?+2.其中能组成直角三角形的

三边长的是().

A.①②B.②③C.①③D.③④

【解析】(1)B;

(2)可知三边为3,4,5,所以周长为12;

(3)B;容易知道①错误②正确,对于③,由(nI2—n2)2=m4—2m2n2+n4,(2mn)2=4m2n乙(m2+n2)2=m4+2m2n22+n4所以

(m2—n2)2+(2mn)2=(m4-2m2n2+n4)+4m2n2=(m2+n2)2.

所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形.答案选B.

【教师备课提示】这道题主要考查常见的勾股数，常见的勾股数五种境界要了解.

例题3

△4BC■中,BC=a,AC=b,AB=c.若乙C=90。,,如图3-1,根据勾股定理.贝！Ja2+b2=c?.若△4BC不是直角三角形，如图3-2,

乙C<90。;如图3-3/C<90。.请你类比勾股定理，试猜想a2+/与c?的关系，并证明你的结论.

AA,

A

图3-1图3-2

【解析】图2猜想：＜?+从＞/.

证明：过点A作4D_LBC于D,设CD=x,AD2=b2-x2,c2=(a-x)2+&-x2)=

2ax>。，故a2+b2>c2.

图3猜想：a2+b2<c2.

证明：过B作BD_LAC,,交AC的延长线于D.

设CD为x,则有BD2=a2-x2.

根据勾股定理，得(b+x)2+a2-x2=c2.

即a2+b2+2bx=c2,

■■■b>0,x>0,2bx>0,a2+b2<c2.

模块二勾股定理的逆定理及应用

例题4

(1)如果直角三角形的两边长为4、5,则第三边长为—.

(2)如果直角三角形的三边长为10、6、x,则最短边上的高为—.

(3)(七初半期)若|a-6-l|+y/a+2b-4=0,则以a、b为边的直角三角形的第三边为____

【解析】⑴3或TH;⑵8或10;(⑶遥或倔

【教师备课提示】题型：已知直角三角形的两边求第三边，A卷填空必考题，也是易错点，在斜边不确定的情况下，切记要分类

讨论，以斜边讨论.

例题5

在A4BC中.AB=15,AC=13,高AD=12,,则三角形的周长是」

【解析】32或42.

【教师备课提示】题型：已知三角形的两边及第三边高求第三边，B卷填空必考题，一般题目无图，为易错题，切记要分类讨

论，分形内高和形外高.

例题6

(1)如图6-1,四边形ABCD中,A4B1BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD的面积.

(2)如图6-2,在四边形ABDC中,BD1CD,BD=6,CD=8,AB=24,AC=26求该四边形面积.

BCA

图6-1图6-2

【解析】（1）V5+1;

（2）96.四边形ABDC的面积为96.

连接BC,根据勾股定理可得.BC=10,

因为BC2+AB2=4片所以44BC为直角三角形，

故四边形ABDC的面积.S=SABC-SBCD=120-24=96.

【教师备课提示】题型：利用直角三角形求不规则四边形面积，即为直角三角形的构造.

例题7

⑴如图.梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置,BD长0.5

米，则梯子顶端A下落了一米.

⑵梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C,使

梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D,那么BD（）

A.等于1米B.大于1米C.小于1米D.以上结果都不对

⑶如图,梯子AB斜靠在墙面上,AC_LBC,AC=BC,当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯子B沿CB方向滑动y米，则x与

y的大小关系是（）

A.x=yB.x>y

C.x<yD.不确定

【解析】（1）0.5;⑵C;

⑶选B,设AC=BC=a米,由勾股定理得：Va2+a2=J(a-x)2+(a+y)2,化简得2a(x-y)=x2+y2>0,x>y.

【教师备课提示】题型：扶梯问题，相对较简单，主要是理解.

例题8

（1）（成外半期）若直角三角形斜边长为4,周长为4+3加,，则三角形面积等于一

⑵（西川半期）如图,△ABC中.NBAC=90。,AD_LBC于点D,若4D=竿,BC=2年请求出4ABC的周长.

【解析】呜

AB2+AC2=（2何?

2）｛；解得4B+BC=6,金江=6+2%.

ABXAC=2y[5x—

\5

【教师备课提示】题型：直角三角形与知二推二综合，各校B卷高频考点.

BDC

例题9

⑴已知9-1,如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm,BC=10cm,求EC的长

⑵如图92已知矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在C处,BC交AD于E,AD=16,AB=8,则DE的长度为.

⑶如图9-3,矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,沿EF将其折叠,使点D与点B重合,则折痕EF的长为___cm.

【解析】⑴由题意得,AF=AD=10cm.

在4ABF中,应用勾股定理得.BF=6cm.

所以FC=BC-BF=10-6=4cm.

在4CEF中,应用勾股定理,设EC=xcm得(8-x)2=42+/.解得x=3,即EC=3cm.

⑵设ED=x,因为NCBD=NEBD=NEDB,则EB=ED=x,AE=AD-ED=16-x.在RtAABE中，由勾股定理可得:

(16-x)2+82=x2,x=10,即DE=10.

(3)设AE=x,因为NBEF=/DEF=NBFE,贝!]BE=DE=BF=9-x,

根据勾股定理得：AB2+AE2=BE2,BP32+x2=9+x2=(9-工尸,解得:x=4;AE=4,，DE=BF=5,，CF=DM=4,；.EM=1,

根据勾股定理得：EF="+12=V10(Cm);

【教师备课提示】题型：翻折问题，对应边相等，对应角度相等.

非常挑战

若x>0,y>0且x+y=12,求:Vx2+4++9的最小值.

【解析】如下图,不妨设AB=12,AC,AB,BD±AB,AC=2,BD=3,

P为线段AB上的动点,AP=x，于是PB=y,PC=Vx2+4,PD=J3+9,则问题转化为求点C,D之间距离的最小值.当P,C,

D三点不共线时，有PC+PD>CD;当P,C,D共线时,PC+PD=CD.

于是点C,D之间距离的最小值为7(2+3)2+122=13.

【教师备课提示】数形结合，几何构造，将军饮马.

复习巩固

模块一勾股定理及证明

演练1

如图皿，分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，Si、Sz、S3表示，则不难证明Si=S2+S3

.(正三角形面积是边长平方的亨)

⑴如图1-2,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用Sx、S2、S3表示，那么Si、Sz、S3之间有什么

关系？(不必证明)

(2)如图1-3,分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用Si、Sz、S3表示，请你确定Si、Sz、S3

之间的关系并加以证明.

图1-1图1-2图1.3

【解析】⑴设BC、CA、AB长分别为a、b、c,则1=十+从3=S?+S3；

222

(2)S1=S2+§3证明如下：显然，Si=yc,s2=ya,s3=yh,

222

•••S2+S3=y(a+b)=yC=

【点评】分别以直角三角形ABC三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用S1、&、S3表示,则Si=S2+S3(设斜边所做图形面

积为S)

演练2

已知a,b,c是三角形的三边长，a=2n2+2n,b=2n+1,c=2n2+2n+1(n为大于1的自然数)，试说明△ABC为直角三角

【解析】因为2n2+2n+1>2n2+2n>2n+1,

(2n2+2n4-I)2-(2n2+2n)2=4n2+4n+1=(2n+l)2.

所以(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1产所以△ABC为直角三角形.

模块二勾股定理的逆定理及应用

演练3

如图,四边形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,CD=24cm,DA=26cm,且乙4BC=90。,则四边形ABCD的面积是（）cm2.

A.336B.144

C.102D.无法确定

【解析】答案：B.连接AC,运用勾股定理逆定理.

演练4

如图，一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A距离墙根4米，若竹篙顶端A下滑I米，则底端B向外滑行了

多少米？

【解析】设竹篙顶端下滑I米到A1点，底端向外滑行到.B]点.

由题意得.441=Im,A-iC=AC-AAt=3m,

在RtA41cBl中:Bj_C={—41c2=

在RtAABC中:BC=yjAB2—AC2=3m,

BB,=B]C—BC=In,

即竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了1米.

演练5

（1）（石室期末）在A4BC中4B=15,AC=13,高4D=12,^]SABC=

⑵（育才期末）如图,A4BC中.ABAC=90°,AD1BC于点D,若AD

【解析】(1)24或84(分类讨论:行外高和行内高.对应例5)

(2)4+2V3.(对应例8考查直角三角形与知二推二综合).

演练6

(1)如图6-1,已知△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，以RtAABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtAACD,再以

RtAACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtAADE...........依此类推，第n个等腰直角三角形的