2024年高考数学总复习抛物线习题及详解（学生版）

2024年高考总复习中学数学圆锥曲线一一抛物线

一、选择题

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1.（2024・湖北黄冈）若抛物线尸=2内的焦点与椭圆放+5=1的右焦点重合，则p的值为（）

A.-2B.2

C.-4D.4

2.已知点M是抛物线V=2pxg>0）上的一点，尸为抛物线的焦点，若以|"尸|为直径作圆，则这个圆与y轴的关

系是（）

A.相交B.相切

C.相离D.以上三种情形都有可能

3.（2024•山东文）已知抛物线;^=2内。>0）,过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段A8的中

点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为（）

A.x=lB.x=~l

C.冗=2D.x=-2

4.双曲线5一9=1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点尸的距离等于2,抛物线V=2pxS>0）过点A，则该抛

物线的方程为（）

A.y2=9xB.y2=4x

C，4巫92V13

C.y—]3xD.y—x

5.已知点P是抛物线/=2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小

值为（）

A.年B.3

C.小D.|

6.已知抛物线C：V=4x的焦点为E准线为/，过抛物线C上的点A作准线/的垂线，垂足为若

与△AOF（其中。为坐标原点）的面积之比为31,则点A的坐标为（）

A.（2,2^2）B.（2,一2吸）

C.（2,±72）D.（2,±2^2）

7.（2024•河北许昌调研）过点P（—3,1）且方向向量为。=（2,—5）的光线经直线y=一2反射后通过抛物线/=妙，

QwWO）的焦点，则抛物线的方程为（）

3

A.y2=~2xB.9=一呼

C.y2=4xD.y2=~4x

8.已知m则方程是"M+九y2=i与3+盯2=0在同一坐标系内的图形可能是（）

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9.（2024•山东聊城模考）已知A、8为抛物线C：丁=以上的不同两点，尸为抛物线C的焦点，若前=—4就，

则直线A2的斜率为（）

2c3

AA.与B.±2

c.土aD.±2

10.已知抛物线C的方程为/=5,过点A（0,—4）和点B（r,0）的直线与抛物线C没有公共点，则实数r的取值范围

是（）

A.(—8,-1)U(1,+8)

C.（—8,一2娘）U（2啦，+8）

D.（—8,一2吸）U（也，+8）

［点评］可用数形结合法求解，设过点A（0,—4）与抛物线*=%相切的直线与抛物线切点为M（xo,沈），

则切线方程为y—yo^4xo（x-xo）,

过A点，~4—2xo2=4xo（O—xo）,

***XQ=,・二%=4,

一・切线方程为y—4=±4，5x—8,

令y=0得x=±半，即r=±乎，

由图形易知直线与抛物线无公共点时，《一坐或勿号.

二、填空题

11.己知点4（2,0）、2（4,0）,动点尸在抛物线y2=-4x上运动，则成.而取得最小值时的点P的坐标是.

12.（文）（2024•泰安市模拟）如图，过抛物线丁=2内3>0）的焦点F作倾斜角为60。的直线/,交抛物线于A、B

两点，且|刚|=3,则抛物线的方程是.

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（理）（2024・泰安质检）如图，过抛物线V=2px（p>0）的焦点的直线/依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若

=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是

点评：还可以由|BC|=2防得出486=30。，从而求得A点的横坐标为|。尸|十永尸|=弓+9或3—条,今+,=3

_£._3

2,一。，

13.已知厂为抛物线C：9二©的焦点，过尸且斜率为1的直线交C于A、B两点.设|网>阀|,则|刚与

的比值等于.

14.（文）若点（3,1）是抛物线y2=2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2,贝Up=.

（理X2024•衡水市模考）设抛物线f=12y的焦点为F,经过点尸（2,1）的直线I与抛物线相交于A、B两点，又知

点尸恰为的中点，则\AF]+\BF\=.

三、解答题

15.（文）若椭圆Ci：]+5=1（06<2）的离心率等于坐，抛物线C2：/=2川加>0）的焦点在椭圆G的顶点上.

（1）求抛物线C2的方程；

（2）若过〃（一1,0）的直线/与抛物线C2交于E、尸两点，又过E、尸作抛物线C2的切线/1、12,当时，求直

线/的方程.

（理）在△ABC中，CA±CB,OA=（0,—2）,点M在y轴上且嬴=；（油+历），点C在x轴上移动.

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(1)求8点的轨迹E的方程；

(2)过点电，一的直线/交轨迹E于X、E两点，(X在尸、G之间)，若丽="，求直线/的方程.

16.(文)己知尸(尤，y)为平面上的动点且x20,若尸到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、8两点，问是否存在这样的实数机，使得以线段48为直径的圆恒过原

点.

［点评］(1)点尸到定点尸(1,0)的距离比到y轴的距离大1,即点尸到定点厂(1,0)的距离与到定直线/：了=-1的

距离相等.二尸点轨迹是以尸为焦点，/为准线的抛物线，；.p=2,...方程为〉2=4工

(理)已知抛物线V=4x,过点(0,—2)的直线交抛物线于A、B两点，。为坐标原点.

(1)若a•协=4,求直线的方程.

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(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(w,0),求"的取值范围.

17.(文)(2024・全国I)已知抛物线C：V=4x的焦点为F,过点K(T,0)的直线/与C相交于A、8两点，点A

关于x轴的对称点为D

(1)证明：点尸在直线30上；

(2)设前.而奇，求△BDK的内切圆"的方程.

(理X2024•揭阳市模考)已知点C(l,0),点A、8是。O：V+y2=9上随意两个不同的点，且满意/=0,设P

为弦