用空间向量研究距离、夹角问题（共2课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题00前情回顾平面向量空间向量代数运算推广建系空间向量解决了哪些几何问题？问题距离问题夹角问题平行、垂直问题1距离问题目录2夹角问题3题型目录1距离问题01新知探究问题1：你还记得空间中两点间的距离公式吗？

空间两点间的距离空间中其它距离，例如AD空间向量的模?垂直1.两点距:01新知1—空间中点、直线和平面的距离

2.点线距:01新知1—空间中点、直线和平面的距离

3.点面距:

01新知1—空间中点、直线和平面的距离问题2如何求下列三种距离？

l两平行平面的距离直线与平行平面的距离两平行直线的距离l点面距点面距点线距练一练

练一练

练一练例3

如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.(1)求直线AC到平面PEF的距离;(2)求点D到平面PEF的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，(1)由题意得，AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，

(2)设DH⊥平面PEF，垂足为H，则设DH⊥平面PEF，垂足为H，则注意：利用四点共面与垂直直接求出垂足的坐标练一练解

∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，∴点A到直线BC的距离为例4已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为（

）A练一练

B解

∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，

目录2夹角问题02新知探究问题2：你还记得立体几何中研究例哪些夹角吗？线线角线面角二面角

02新知2－空间中点、直线和平面的夹角

1.线线角:

02新知2－空间中点、直线和平面的夹角

2.线面角:

02新知2－空间中点、直线和平面的夹角

3.面面夹角:

练一练例1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（

）A解:

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，总结用向量法求立体几何夹角的公式：

练一练例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求异面直线AE与D1F所成角．解：如图，不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系D－xyz.练一练例3如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，

设A1B与平面AEF所成角为θ，练一练例4如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值.解

如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，