广西专用2024年高考数学一轮复习综合测试卷含解析新人教A版理

PAGEPAGE14综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在复平面内,复数z满意z(1+i)=1-2i,则z对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限答案:B解析:∵z(1+i)=1-2i,∴z=1-2i1+i∴z=-12+32i,故z对应的点位于其次2.若集合A={x|log12(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=(A.0,12 B.-12,答案:A解析:∵A={x|log12(2x+1)>-1}=B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=x0<x3.(2024全国Ⅲ,理3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且∑i=14pi=A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2答案:B解析:四个选项的数据都具有对称性,平均数均为2.5,其中B选项的数据中,极端值最多,数据波动程度最大,故选B.4.依据下面的程序框图,当输入x为2017时,输出的y=()A.2 B.4 C.10 D.28答案:B解析:由程序框图可知,每运行一次,x的值削减2,当程序框图运行了1009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.为了探讨某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,依据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回来直线方程为y^=b^x+a^.已知∑i=110xi=225,∑iA.160厘米 B.163厘米 C.166厘米 D.170厘米答案:C解析:由已知得x=110∑i=110xi=22.5,y=110·∑i=110yi=160,又b^=4,所以a^=y-b^x=1606.若将函数fx=34sinx-14cosx的图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则A.5π6 B.π6 C.2答案:A解析:f(x)=34sinx-14cosx=12sinx-π6,图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到函数y=12sinx-π6-m的图象,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以-π67.已知ξ听从正态分布N(1,σ2),a∈R,则“P(ξ>a)=0.5”是“关于x的二项式ax+1x23的绽开A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件答案:A解析:由P(ξ>a)=0.5,知a=1.因为二项式ax+1x23绽开式的通项公式为Tr+1=C3r(ax)3-r1x2r=C3ra3-rx3-3r,令3-3r=0,得r=1,所以其常数项为C31a2=3a2=3,解得a=±1,所以“P(ξ>a)=8.古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形如图所示.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3答案:A解析:设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为πc22,以AB为直径的圆面积为πb22,以AC为直径的圆面积为πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa29.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.若a=3,S为△ABC的面积,则S+3cosBcosC的最大值为()A.3 B.2 C.2 D.3答案:A解析:由cosA=b2+c2-a22bc=-3故S=12bcsinA=12·asinBsinA·因此S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B-C),于是当B=C时,S+3cosBcosC取得最大值3.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2 B.-1 C.1 D.-2答案:C解析:依题意知,f'(x)=3x2+a,则13+a+b=311.定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,且f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[0,4] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[-2,2]答案:A解析:∵偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,且f(-2)=1,∴不等式f(x-2)≤1等价于f(|x-2|)≤f(-2)=f(2),即|x-2|≤2.∴0≤x≤4,∴f(x-2)≤1的x的取值范围是[0,4].故选A.12.设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点A.2 B.3 C.2 D.5答案:A解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.∴PA为以OF为直径的圆的半径,A∴|OA|=c2.∴Pc2,又点P在圆x2+y2=a2上,∴c24+c24=a∴e2=c2a2=2,∴e=二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设函数f(x)=x2-1,x≥2,log2x,答案:2解析:当m≥2时,m2-1=3,∴m2=4,∴m=±2.∵m≥2,∴m=2.当0<m<2时,log2m=3,∴m=23=8.∵0<m<2,∴m∈⌀.综上所述,m=2.14.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM·FN=答案:8解析:由题意知直线MN的方程为y=23(x+得y=2不妨设M(1,2),N(4,4).∵抛物线的焦点为F(1,0),∴FM=(0,2),FN=(3,4).∴FM·FN=0×3+2×4=15.由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.答案:2+π解析:由三视图还原几何体,如图所示,故该几何体的体积V=2×1×1+2×14π×12×1=2+π16.设C满意约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x答案:25解析:依据约束条件绘制可行域,如图所示.将z=ax+by转化为y=-abx+z∵a>0,b>0,∴直线y=-abx+zb的斜率为负,最大截距对应最大的易知点A为最大值点.联立方程组3解得x=4,y=6∵目标函数z=ax+by的最大值为12,∴12=4a+6b,即2a+3∴2a+3b当且仅当ba=ab即a=b=65时取等号三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)若数列{an}满意:a1=23,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2(1)证明:数列{an+1-an}是等差数列;(2)求使1a1+1a2+答案:(1)证明由3(an+1-2an+an-1)=2可得,an+1-2an+an-1=23即(an+1-an)-(an-an-1)=23又a2-a1=43,故数列{an+1-an}是以43为首项,2(2)解由(1)知an+1-an=43+23(n-1)=于是累加求和得an=a1+23(2+3+…+n)=13n(故1an=3因此1a1+1a2+1a3+故最小的正整数n为6.18.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是菱形,PO⊥底面ABCD,O,E分别是AD,AB的中点,AB=6,AP=5,∠BAD=60°.(1)求证:AC⊥PE.(2)求直线PB与平面POE所成角的正弦值.(3)在DC边上是否存在点F,使BF与PA所成角的余弦值为3310?若存在,确定点F答案:(1)证明连接BD,则由菱形的性质可得AC⊥BD,结合三角形中位线的性质可知OE∥BD,故OE⊥AC.因为PO⊥底面ABCD,AC⊂底面ABCD,所以AC⊥OP.因为OP∩OE=O,所以AC⊥平面POE.因为PE⊂平面POE,所以AC⊥PE.(2)解连接OB,由题意结合菱形的性质易知OP⊥OA,OP⊥OB,OA⊥OB.以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz如图所示.则P(0,0,4),B(0,33,0),O(0,0,0),E32所以OP=(0,0,4),OE=设平面POE的一个法向量为m=(x,y,z),则m据此可得平面POE的一个法向量为m=(3,-1,0).而PB=(0,33,-4),设直线PB与平面POE所成角为θ,则sinθ=|PB(3)解存在满意题意的点F,理由如下:由题意可得D(-3,0,0),C(-6,33,0),A(3,0,0),假设满意题意的点F存在,设F(x,y,z),DF=λDC(0<λ<1),据此可得(x+3,y,z)=λ(-3,33,0),即x从而点F的坐标为F(-3λ-3,33λ,0),据此可得BF=(-3λ-3,33λ-33,0),PA=(3,0,-4),结合题意有|BF·PA||故点F为CD中点时满意题意.19.(12分)为推动实施健康中国战略,树立国家大卫生、大健康概念,手机APP也推出了多款健康运动软件,如“微信运动”.杨老师的微信挚友圈内有600名好友参加了“微信运动”,他随机选取了40名微信好友(女20人,男20人),统计其在某一天的走路步数.其中,女性好友的走路步数数据记录如下:5860852073266798732584303216745311754986087536450729048501022397637988917664215980男性好友走路的步数状况可分为五个类别:A(0~2000步)(说明:“0~2000”表示大于等于0,小于等于2000.下同),B(2001~5000步),C(5001~8000步),D(8001~10000步),E(10001步及以上),且B,D,E三种类别人数比例为1∶3∶4,将统计结果绘制成条形图如图所示.若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型”,否则被系统认定为“进步型”.(1)若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计全部微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信挚友圈内参加“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5001~10000步的人数;(2)请依据选取的样本数据完成下面的2×2列联表,并据此推断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关?性别类型总计卫健型进步型男20女20总计40(3)若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人,从中随意选取3人,记选到“卫健型”的人数为x;女性好友中按比例选取5人,从中随意选取2人,记选到“卫健型”的人数为y,求事务“|x-y|>1”的概率.附:K2=n(adP(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解:(1)在样本数据中,男性好友B类别设为x人,则由题意可知1+x+3+3x+4x=20,解得x=2.故B类别有2人,D类别有6人,E类别有8人,走路步数在5001~10000步的包括C,D两类别共计9人;女性好友走路步数在5001~10000步共有16人.用样本数据估计杨老师的微信挚友圈内参加“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5001~10000步的人数为600×9+1640=375(2)2×2列联表如下:性别类型总计卫健型进步型男14620女81220总计221840K2的观测值k=40×(14×12-6×故没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.(3)在男性好友中“卫健型”与“进步型”的人数比例为7∶3,则选取10人,恰好选取“卫健型”7人,“进步型”3人;在女性好友中“卫健型”与“进步型”的人数比例为2∶3,选取5人,恰好选取“卫健型”2人,“进步型”3人.“|x-y|>1”包含“x=3,y=1”,“x=3,y=0”,“x=2,y=0”,“x=0,y=2”.P(x=3,y=1)=C7P(x=3,y=0)=C7P(x=2,y=0)=C7P(x=0,y=2)=C3故P(|x-y|>1)=74020.(12分)已知椭圆x2a2+y2b2=(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kAC·kBD=-b2①求OA·②求证:四边形ABCD的面积为定值.解:(1)由题意,知e=ca=又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为x28+(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x2+2y2=8得(1+2k2)xΔ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)x∵kOA·kOB=-b2a2=-12,∴y1y2=-12x1x2=-12·又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·2m2-81+2k2+km∴-m2-41+2k2=m2-8k21+2k∴4k2+2=m2.①OA·OB=x1x2+y1y2=2m2-∴-2=2-4≤OA·OB<当k=0(此时m2=2满意(*)式),即直线AB平行于x轴时,OA·OB取最小值为-又直线AB的斜率不存在时,OA·OB=2,∴OA②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=12|AB|·d=121+k2·|x2=|=|=|=24k2-m∴S四边形ABCD=4S△AOB=8即四边形ABCD的面积为定值.21.(12分)(2024全国Ⅲ,理21)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12,f12处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个肯定值不大于1的零点,证明:f(x)全部零点的肯定值都不大于1.答案:(1)解f'(x)=3x2+b,依题意得f'12=0,即34+b=故b=-34(2)证明由(1)知f(x)=x3-34x+c,f'(x)=3x2-3令f'(x)=0,解得x=-12或x=1f'(x)与f(x)的状况为:x-∞,-12-1-12,12112,+∞f'(x)+0-0+f(x)↗c+1↘c-1↗因为f(1)=f-12=c+14,所以当c<-14时,f因为f(-1)=f12=c-14,所以当c>14时,f(x)只有小于由题设可知-14≤c≤1当c=-14时,f(x)只有两个零点-12当c=14时,f(x)只有两个零点-1和1当-14<c<14时,f(x)有三个零点x1,x2,x且x1∈-1,-12,x2∈-12综上,若f(x)有一个肯定值不大于1的零点,则f(x)全部零点的肯定值都不大于1.请考生在22、23两题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分.[