2025届高考数学一轮复习第9章解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系课时跟踪检测理含解析

PAGE第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2025届广西南宁适应性测试)已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝25B．(x－1)2＋(y－2)2＝36C．(x－1)2＋(y－2)2＝16D．(x－1)2＋(y－2)2＝49解析：选A圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，设圆心(1，2)到直线的距离为d，则d＝eq\f(|3－8－15|,5)＝4.因为|AB|＝6，所以r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25，故选A．2．(2025届湖南五市十校高三联考)两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为()A．eq\f(3\r(5),5) B．4C．eq\f(6\r(5),5) D．eq\f(12\r(5),5)解析：选D两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准方程为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN的距离d＝eq\f(|－1×1＋（－2）×0＋4|,\r(12＋（－2）2))＝eq\f(3,\r(5))，所以线段MN的长为2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(5))))\s\up12(2))＝eq\f(12\r(5),5).故选D．3．(2025届昆明质检)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为()A．1 B．±1C．eq\r(3) D．±eq\r(3)解析：选D圆C的方程可以化为x2＋(y－3)2＝3，圆心为C(0，3)，半径为eq\r(3)，依据△ABC为等边三角形可知AB＝AC＝BC＝eq\r(3)，所以圆心C(0，3)到直线y＝ax的距离d＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,2)，所以eq\f(3,2)＝eq\f(|a×0－3|,\r(a2＋1))，解得a＝±eq\r(3).4．(2025届陕西省高三二检)已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点M(－2，0)是⊙C外一点，则过点M的圆的切线方程是()A．x＋2＝0，7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0，7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0，7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0，7x－24y＋14＝0解析：选C将⊙C的方程转化为(x－2)2＋(y－3)2＝16，则其圆心为(2，3)，半径为4，明显x＋2＝0是满意条件的一条切线．又圆心(2，3)到直线7x＋24y＋14＝0的距离d＝eq\f(|2×7＋24×3＋14|,\r(72＋242))＝4，所以选项C满意，故选C．5．(2025届福州高三质检)“b∈(－1，3)”是“对于随意实数k，直线l：y＝kx＋b与圆C：x2＋(y－1)2＝4恒有公共点”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A圆C：x2＋(y－1)2＝4与y轴的交点坐标为(0，－1)和(0，3)，对于随意实数k，直线l与圆C恒有公共点⇔b∈[－1，3]．因为(－1，3)[－1，3]，所以“b∈(－1，3)”是“对于随意实数k，直线l与圆C恒有公共点”的充分不必要条件．故选A．6．(2025届昆明市高三质检)已知直线l：y＝eq\r(3)x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A．3＋eq\r(6)或3－eq\r(6) B．3＋2eq\r(6)或3－2eq\r(6)C．9或－3 D．8或－2解析：选A由题知圆C的圆心为C(0，3)，半径为eq\r(6)，取AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，在△ACD中，AC＝eq\r(6)，∠ACD＝60°，所以CD＝eq\f(\r(6),2)，由点到直线的距离公式得eq\f(|－3＋m|,\r(（\r(3)）2＋1))＝eq\f(\r(6),2)，解得m＝3±eq\r(6)，故选A．7．(2025届沈阳市高三质量监测)已知直线l：y＝k(x＋eq\r(3))和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝()A．0 B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3)或0 D．eq\r(3)或0解析：选D因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|－1＋\r(3)k|,\r(1＋k2))＝1，即|－1＋eq\r(3)k|＝eq\r(1＋k2)，解得k＝0或k＝eq\r(3)，故选D．8．(2025届豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝eq\r(3)x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为()A．eq\r(3) B．1C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)解析：选C圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l1：y＝eq\r(3)x的距离d1＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，所以l1被圆C所截得的弦长为2×eq\r(4－3)＝2.圆心到直线l2的距离d2＝eq\f(|2k－1|,\r(k2＋1))，又l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，所以l2被圆C所截得的弦长为4＝2×eq\r(4－deq\o\al(2,2))，所以d2＝0，所以2k－1＝0，解得k＝eq\f(1,2)，故选C．9．(2025届福建漳州八校4月联考)若直线x－my＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是()A．(0，1) B．(0，2)C．(－1，0) D．(－2，0)解析：选D易求圆与x轴的两个交点为O(0，0)，A(2，0)，易知直线x－my＋m＝0与x轴的交点在线段OA(不含端点)上时，直线与圆的两个交点位于不同的象限，此时m应满意0<－m<2，即－2<m<0.10．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．解析：∵圆C1的圆心为C1(3，0)，圆C2的圆心为C2(0，3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0.由题意得，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝011．(2025届河北五个一名校联考)在圆x2＋y2＝4上任取一点，则该点到直线x＋y－2eq\r(2)＝0的距离d∈[0，1]的概率为________．解析：圆心(0，0)到直线x＋y－2eq\r(2)＝0的距离为eq\f(2\r(2),\r(12＋12))＝2，则直线x＋y－2eq\r(2)＝0与圆x2＋y2＝4相切．设直线x＋y＋m＝0与直线x＋y－2eq\r(2)＝0的距离为1，则eq\f(|m＋2\r(2)|,\r(2))＝1，所以m＝－eq\r(2)或m＝－3eq\r(2).当m＝－3eq\r(2)时，直线x＋y－3eq\r(2)＝0与圆无交点；当m＝－eq\r(2)时，如图所示，设直线x＋y－eq\r(2)＝0与圆交于A，B两点，易知满意题意的点在AB上，连接OA，OB，过点O作OD⊥AB，可得sin∠OAD＝eq\f(OD,OA)＝eq\f(1,2)，∴∠OAD＝30°，则∠AOB＝180°－30°×2＝120°，由几何概型的概率公式可得所求概率P＝eq\f(120°,360°)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)12．(2024年全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝eq\f(x2,2)，D为直线y＝－eq\f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线AB过定点；(2)若以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．解：(1)证明：设Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，则xeq\o\al(2,1)＝2y1.由y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故eq\f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋eq\f(1,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，所以|AB|＝eq\r(1＋t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋t2)×eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝eq\r(t2＋1)，d2＝eq\f(2,\r(t2＋1)).因此，四边形ADBE的面积S＝eq\f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq\r(t2＋1).设M为线段AB的中点，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，t2＋\f(1,2))).由于eq\o(EM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，而eq\o(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4eq\r(2).因此，四边形ADBE的面积为3或4eq\r(2).B级·素养提升|练实力|13.(2025届洛阳市高三第一次统一考试)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1，0)到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离d＝eq\f(|1－\r(3)×0＋3|,\r(12＋（\r(3)）2))＝2.当0<r<1时，直线与圆相离，圆上没有点到直线的距离为1；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有1个点到直线的距离为1；当1<r<2时，直线与圆相离，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2<r<3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0<r<3时，圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1.由圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1可得，0<r<3，故p是q的充要条件，故选C．14．(2025届合肥调研)若直线l：ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．2eq\r(2) B．eq\r(2)C．2eq\r(2)＋1 D．eq\r(2)＋eq\f(3,2)解析：选D因为直线ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，所以圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，所以－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(a＋2b)·eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(3,2)＋eq\r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)，当且仅当eq\f(2b,a)＝eq\f(a,b)时等号成立，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为eq\f(3,2)＋eq\r(2)，故选D．15．(2025届赣中南五校4月联考)已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，则实数m＝()A．±1 B．±eq\f(\r(3),2)C．±eq\f(\r(2),2) D．±eq\f(1,2)解析：选C由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,x2＋y2＝1))得2x2＋2mx＋m2－1＝0，由题意可知Δ＝4m2－8(m2－1)>0，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝eq\f(m2－1,2)，所以y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(m2－1,2).因为eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－x1，－y1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，所以－x1(x2－x1)－y1(y2－y1)＝eq\f(3,2)，即－