2024届青海省西宁市大通县高三年级下册二模理数试题及答案

青海省大通县教学研究室24届高三第二次模拟考试

数学(理科)

考生注总：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上

各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作

答小尊。一..‘,,一..一.....一一

4.耒底新题范围：高考范围。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.在复平面内，复数z=(2—5i)(—1—2i)对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合A={l,2a+l},B={3,a—1,3a—2},若A三则a—

A.-2B.—1C.1D.3

3.已知直线=与直线4力++2)y+2/n+4=0平行，则m的值为

A.4B.-4C.2或一4D.—2或4

4.已知根,舞,2,qGN*，且数列{“〃}是等比数列，则是“a+%=p+q”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.已知。是的AB边上一点，若人。==。&。。=/，4+〃。8(储/0,则入一幺=

119

A.——B.0C.-D.—

6.将函数v=3sin(3z+q)的图象向右平移差个单位长度,得到的函数图象关于、轴对称，则

的最小值为

A2LR女cI】"pi上

-6-18-18-6

7.在某电路上有M、N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3,需要

更换N元件的概率为0.2,则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下,M需要

更换的概率是

【高三第二次模拟考试•数学理科第1页(共4页)】243687Z

8.已知tana+tan0=5,cosQCOS，则sin(a+/?)

A,飞B-lc4D-f

9.在△ABC中，内角A,B.C的对边分别为a,6,c,若6=?c,且乃siny+cosy=2cosC,则cosC

的值为

e76c730n/W

6464

10.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对

数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数

的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知1g2心0.3010.1g3=^0.4771,

设N=4&X15i。，则N所在的区间为

A.(1013,1014)B.(1014,1015)

C.(1015.1016)D.(1016,1017)

11.已知椭圆C：，+/=l(a>6>0)的左顶点、上顶点分别为A、B,右焦点为F,过F且与丁

轴垂直的直线与直线AB交于点E,若直线AB的斜率小于中,0为坐标原点,则直线AB

的斜率与直线OE的斜率之比值的取值范围是

A.6'+8)B.

12.在棱长为4的正方体ABCD-A出GA中,E是CD的中点,F是CQ上的动点，则三棱锥

A-DEF外接球半径的最小值为

A.3B.273C.713D./15

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

产一了一3<0,

13.若实数…满足约束条件“+2厂2>0,则之="外的最大值为.

22

14.已知双曲线也一本=l(a>0,6>0)的一条渐近线平行于直线/：z—2广5=0,且双曲线的

一个焦点在直线/上，则该双曲线的方程为.

15.(：—1卜z+2)4展开式的常数项为.

16.记r(z)是不小于z的最小整数，例如丁(1.2)=2,工(2)=2,置一1.3)=—1,则函数/(7)=

r(z)—z—21+4的零点个数为

O----------

【高三第二次模拟考试•数学理科第2页(共4页)】243687Z

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

只要骑车，都应该戴头盔.骑行头盔是骑行中生命坚实的保护屏障.骑行过程中的摔倒会对

头部造成很大的损害，即使骑行者是以较低的车速沿着坡度平稳的自行车道骑行，也同样不

可忽视安全问题.佩戴头盔的原因很简单也很重要——保护头部，减少伤害.相关数据表明，

在每年超过500例的骑车死亡事故中，有75%的死亡原因是头部受到致命伤害造成的.医

学研究发现,骑车佩戴头盔可防止85%的头部受伤,并且大大减小了损伤程度和事故死

亡率.

某市对此不断进行安全教育，下表是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到通过该路口

的骑电动车不戴头盔的人数的统计数据：

年份20192020202120222023

年份序号工12345

不戴头盔人数V1450130012001100950

（1）求不戴头盔人数？与年份序号工之间的线性回归方程；

（2）预测该路口2024年不戴头盔的人数.

参考公式：回归方程$=%+£中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为B=

18.（本小题满分12分）

,,,7

已知数列的刖n项和为S“，且S3=^,2a^+i—a„=0（z；eN,）.

（1）求｛a“｝的通项公式；

（2）若数列勾=一。“+11吨2念，求数列｛6“｝的前〃项和T“.

19.（本小题满分12分）

如图，在直二棱枉ABC-G中,A%=4,AB=AC=2,BC=2加"，点D是棱AAi上的

一点，且4D=3DA,点E是棱CG的中点.

（1）求证：平面平面ACBi；

（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.

【高三第二次模拟考试•数学理科第3页（共4页）】243687Z

20.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系了。》中，已知点P(2,1)是抛物线C^=2py{p>0)上的一点，直线,交

C于两点.

(1)若直线/过C的焦点，求示•荏的值；

(2)若直线PA,PB分别与？轴相交于M,N两点，且。宓•水=1,试判断直线Z是否过定

点？若是,求出该定点的坐标;若不是，请说明理由.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(JC)=jclnj;—(Z(JC2—1)(aGR).

(1)若a=—1,求函数/(丁)的图象在z=l处的切线方程；

(2)若/(①)<0对任意的zG(1,+8)恒成立，求.的取值范围；

⑶求证----卜，)]〉片(2"+1)，"GN*.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

/支—23cosa

在直角坐标系了。》中，曲线C的参数方程为_’(a为参数)，以。为极点，工轴

l;y=l十3sina

的正半轴为极轴建立极坐标，直线I的极坐标方程为psinW+£)=2根.

(1)求C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)若点P的直角坐标为(2,2),直线/与C交于A,B两点，求前­前的值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数f(工)=]2了一4|+|J；—11.

(D求不等式/(z)08的解集；

,一,/力22

(2)右函数/(久)的最小值为相，且正数a,b,c满足求证:不

【高三第二次模拟考试•数学理科第4页(共4页)】243687Z

青海省大通县教学研究室24届高三第二次模拟考试・数学（理科）

参考答案、提示及评分细则

1.B因为复数z=（2—5i）（一1—2D=—12+i,所以z对应的点为（一12,1），位于第二象限.故选B

2.C由已知得，若2a+l=3,解得a=l,此时A={0,1,3},符合题意;若2a+l=a—1,解得a=

—2,此时4={1,-3},8={—8,—3,3},不符合题意；若24+1=3°—2,解得°=3,此时人={1.7},_6=

{2,3,7},不符合题意，综上所述:a=L故选C.

3.B因为直线wjz+2y+zn+2=0与直线4支+（根+2）y+2"z+4=0平行，所以（>"+2〉7M—2X4=0,解得

根=2或m=-4.当根=2时，直线2z+2y+4=0与直线4z+4y+8=0重合,不符合题意；当，"=—4时，直

线―4工+2，一2=0与直线4z—2，一4=0平行,符合题意.综上，根=—4.故选B.

4.B设等比数列{a„}的公比为qi.若s=1，当加=1,"=2,力=3,<?=4时,a"a"=<2/。，但是以+"片力+g,所

以"a„>a”=a.a（；"不是"》?+附=力+q”的充分条件；

若>"+〃=2+g,则。，/“二曷翼一""一1=曷比+"T,%勾=a：g?T+"T=曷赏,所以a,„a„,所以

=a.aJ'是+〃=/+q”的必要条件综上,“a»,a”=00。/'是""z+"=2+q"的必要不充分条件.故选B.

5.C因为所以CD=CA+AD=CA+母AB=CA+等（CB—CA）=^CA+等CB.所以广告,

乙Oo«joo

"=9，/一尸（—争=9・故选C.

了=3sin（3z—^+中）的图象关于了轴对称，所以—，解得分=普十后兀（正2）,当£=

—1时，|g|取得最小值*.故选A.

7.A记事件A为在某次通电后M、N有且只有一个需要更换，事件B为M需要更换，则P(A)=0.3X

(1—0.2)+(1—0.3)X0.2=0.38,P(AB)=0.3X(1-0.2)=0.24,由条件概率公式可得P(B|A)=

P(AB)_0.24_12.、生、

P(A)—0.38—19.故选A

8.C因为tana+tan0=‘山℃。0,+cosasin°=5,又CQSaCOS£=《，所以sjnaCOSf+cosasin8=sin(«+/?)

仁cosacosB16

5

=5cosacosS=至.故选C.

9.B因为悟sin等+cos等=2cosC,所以2cosC=2(cos等cos段■+sin-5-sin等)=2cos—等)，即

OOOO00OO

cosC=cos(《■一年)，因为0VA<7t,0<C<7t,则0V《■一等〈嗫,且余弦函数尸cosz在(0,冗)上单调递

减，所以C=-^~一等，所以A+3c=兀，又A+B+C=7t,所以B=2C,由正弦定理得二纭=/即

33smDsinC

2sin3cosC=.'所以C0SC=f.故选R

【高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第1页（共6页）】243687Z

10.D因为N=48X15W，所以1gN=lg48+lg1510=lg216+10(lg3+lg5)=161g2+101g3+10(l-lg2)

=61g2+101g3+10^6X0.3010+10X0.4771+10=16.577,所以<1辞，10"%故选D.

11.D由已知得，直线AB的方程为y=设椭圆的焦距为200)，由题意设点ECc,y0)，则y0=^

全+6_________

+以即E(c,女+“，所以瓦~'=，又心5=互〈空，所以《=£=/1一(0J即

\。/caca4avxa74

b

}<e<L设直线AB的斜率与直线OE的斜率之比值为m，则机=反言77=1=#1=1一告1，又

ac

白Ve<l,所以根<年.故选D.

452

12.C连接AE,取AE中点G,设CF=m(0<m<4),连接EF,过G作GO

垂直于平面ABCD,设60=小0为三棱锥A-DEF的外接球的球心.以

。为原点,分别以DA,DC,。。】所在直线为之轴建立空间直角坐标

系，则A(4,0,0),E(0,2,0),0(2,1,72)，尸(0,4,a),则球半径R=OF=

OE=OA,所以R=/13+(加一x)2=不，所以疗一2+8=0,则

,=*+8=,+且22仔,当且仅当m=272时取等号，所以Rmin=

乙m/m

/13.故选C.

六一y—3W0,

13.13实数处了满足约束条件2V—2)0,表示的可行域如图阴影部分所示.当直线之=1+4)经过点A

(x—y—3—0,

时,Z取得最大值.由《解得"=5,y=2,所以z111ax=5+4X2=13.

1，=2

14.柒一4=1由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y=4与直线/：工一2，一5=0平行，所以互=得，又

」UDCLCLLJ

双曲线的一个焦点在直线/上，所以C=5,又c2=Y+62,解得。=2"涉=西，所以该双曲线的方程为

右—武=1

205

15.48因为Cz+2)4的展开式的通项是Z+1=CQ4r・2「，所以所求常数项为-24+2©・23=48.

16.3令/(])=0，则JMz)—2=2七一-令g(z)=——%,%(%)=2P--卜，则g(z)与为(％)的交点

OO

【高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第2页(共6页)】243687Z

个数即为了（1）的零点个数，当一ICzWO时，g（z）=。一1=一]£匚0,1）,又g（i+l）=T（2+1）一

（1+1）=丁（1）一1=g（z），所以g（z）是周期为1的函数，无（1）在R上单调递减，且A（—1）＞1,A（O）

7

=下,九（3）=0,所以可作出g（z）与/1（支〉的图象如图,

O

所以g（z）与九（久）有3个交点，故/（z）的零点个数为3.

1.,1、士斯义如—1+2+3+4+5°_1450+1300+1200+1100+9501

17.解：(1)由题息知x=-------------------=3,/=--------------------------------------------=1290n0n,1分

2

所以2(4一三)2=(1—3)2+(2—3)2+(3—3)2+(4—3)2+(5-3)=10,S(4一方)(y一夕)=

(1-3)X(1450-1200)+(2-3)X(1300-1200)+(3-3)X(1200-1200)+(4-3)X

(1100—1200)+(5-3)X(950-1200)=-!200,3分

5

,央―〉℃〉T200

所以b=-120,5分

510

S(Xj-X)2

£=1

所以2=9一反=1200+120X3=1560,7分

所以不戴头盔人数，与年份序号z之间的线性回归方程为9=—120工+1560.9分

⑵当z=6时；=—120X6+1560=840,即预测该路口2024年不戴头盔的人数为840.12分

18.解：⑴因为S3=?,2a“+i—©=0（,代V），所以管■=4,所以数列｛&｝是公比为方的等比数歹I],

3分

<217

所以S3=一=彳，解得©=1，5分

1-1

1

所以口6分

2”i

⑵由（1）知勾=一卷log2=8分

隹2T-_0I1।2।In—2।7?-1

所以十声十声^^折了^—加-，

r-rinIT_0I1I2IIn—2In—1

所以/■/“=方十声十।Hkr，

1

一

相减得卜+一^~^=2"n-1__1__"+1

/H22〃+i―三―2〃+i'11分

2〃一〃一1

所以12分

4=2〃

【高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第3页（共6页）】243687Z

19.⑴证明：在直三棱柱ABC-AiBG中,AAiJ_平面ABC,又AB,ACU平面ABC,

所以AAi_LAB.AAi±AC,又AB=AC=2,BC=2虚■，所以AB，+AC2=BG,所以AB±AC,

又ABDAA,=A,AB,AAiU平面ABBJAJ，所以AC_[_平面ABBiAi,

又8DU平面ABBiAi，所以AC，BD.......................................................................................................2分

因为tan/DBA=/4,tan/BAAj=J,所以/DBA=ZB1AA1,又/ABD+/ADB=*,

/\,DN/VAINN

所以N5AAi+NADB=｝，所以BLLLABI,...........................................................................................4分

又ABip|AC=A,AB,ACU平面ACBi，所以BD_L平面ACBi,...............................................................5分

又BDU平面BDE,所以平面BDE,平面ACB........................................................................................6分

(2)解:以A为坐标原点,AB,AC,AA所在的直线分别为z轴~轴,二轴,

建立空间直角坐标系，如图所示.所以B(2,0,0),D(0,0,l),E(0,2,2),

Ai(0,0,4),C(0,2,0).设平面BDE的法向量为〃=(x9y,z)，又BD=

_(n•BD=—2z+z=0,

(―2,0,l),BE=(—2,2,2)，所以《一令丁=1,

•BE=-2久+2)+2N=0,

解得、=—1,N=2,所以平面BDE的一个法向量—1,2).

...................................................................................................................9分

又&=(0,-2,4),设直线AC与平面BDE所成角的大小为6,

_______2+8_______/30

所以sin6=|cos<w,cC>I=_

IJn||CA]|71+1+4X74+166

即直线AC与平面BDE所成角的正弦值为空..........................................12分

20.解：(1)因为点PC2,1)是抛物线口/=2”＜力＞0)上的一点，

所以2。=2力,解得力=2,所以C的方程为工z=4》，...........................................2分

所以C的焦点为＜0,1).显然直线I的斜率存在,设直线I的方程为》=心+1丛(为小),B〈&，北)，

=

(ykjc-\-\J

由＜得力2—4%%―4=0,所以+12=4氏，512=-4,................................................................3分

卜2=4)

所以V1V2=蓍•蓍=1,...............................................................................................................................4分

所以a・08=622+)12=-4+1=-3................................................................................................5分

(2)设A("i，M)，8(@)，显然直线PA的斜率存在，且斜率为匹==工

JC1乙3C1

所以直线PA的方程为了-1=Ci—2),............................................................................................6分

所以加=]+力j2.(-2)=^-乃，即OM=(0,—1-21)，...............................7分

同理可得，加=(0,一聂2),.......................................................................................................................8分

【高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第4页(共6页)】243687Z

所以OM・ON=(—^""1)°(—=1，所以"i&=4,即g=­，①........................9分

递_转

显然直线I的斜率存在，且斜率为"&=2一1=

X2—Xi热―£]4

所以直线/的方程为，一苧=包产〈工一办)，②.........................................10分

将①式代人②式,整理得(m+：)了一4y—4=0,

所以直线/恒过定点(0,一1)....................................................................................................................12分

21.(1)解:若a=—1,则f(^)=rrlnz+/一]，所以/(Z)=&工+i+2z,所以，〈1)=3,又/〈1)=0,所以

函数/(%)的图象在％=1处的切线方程为了-0=3(Z—1),即31一)一3=0..............................3分

(2)解:若"G<0对任意的iG(1,+8)恒成立,即岛z一。(比一!)<0对任意的正(1,+8)恒成立.

.........................................................................................................................................................................4分

令g(比)=lni-Q(久一•I；)，尤>1,所以g，(i)=十一=—“比~~

若Q&0,则g'(1)〉0,所以g(i)在(1,+8)上单调递增，所以g(z>>g(l)=o,不符合题意....5分

若。>0,方程一af+元一。=0的判别式△=].—4/,

当△=：!—4°2>0*即0<.<总■时，令/8>0,解得1<工<吐得三近，令/解得工〉

1，所以g〈工)在(1J+q)—4/)上单调递增,在(1±4产二+8)上单调递减，所以

g(1+4政)>g〈1)=0,不符合题意；...............................................6分

当△=-4/10,即时，则g(z)(0,所以g<<z)在(1,十8〉上单调递减，所以g(jcXgd)=0,

符合题意............................................................................7分

综上,a的取值范围为[],+s)................................................................................................................8分

(3)证明：由(2)知，当z>l,a=[■时.In工〈春(n——)，令工=”+:(»EN,)，

ZN\1/An—1

2%+]12%+1-----1——AA

所以In；^----7V•2n-12〃+1=T~2—7,所以—7>ln(2n+l)-ln(27z-1),....................10分

Zn—1No-----74〃-14n—1

[Ln—1J

所以[L]++…+4J)]>In3—In1+In5-In3+…+In(27z+l)—In(2%-1)=

ln(2n+l)，即+----H豆工^〉ln(2〃+1)N*.................................................12分

(1=2+3cosa,

22.解：(1)因为曲线C的参数方程为(a为参数)，

[V=l+3sina

所以(4—2)2+(y—1)2=(3cosa*+(3sina)2=9,

即C的普通方程为(i—2)2+()—iy=9................................................................................................3分

【高三第二次模拟考试•数学理科参考答案第5页(共6页)】243687Z

直线I的极坐标方程为psin（jd~~手）=