人教版八年级数学上册《与三角形有关的角（第1课时）》示范教学课件

与三角形有关的角

（第1课时）人教版八年级数学上册

1．三角形具有____________．应用：_______________________________________．

2．四边形具有____________．应用：_______________________________________．稳定性钢架桥、起重机、国家体育场、输电铁塔活动挂架、伸缩门、折叠椅、竹篱笆不稳定性我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于_____，你还记得是怎么发现这个结论的吗？思考180°通过度量、剪图、拼图或折叠的方法，可以验证三角形的内角和等于180°．这样得出的结论具有信服力吗？我们应该如何得出结论呢？思考由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于

180°．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于

180°．观察下面的动图，你能发现证明的思路吗？探究观察下面的动图，你能发现证明的思路吗？探究由上述拼合过程得到启发，过△ABC

的顶点A作直线l平行于△ABC

的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．观察下面的动图，你能发现证明的思路吗？探究试着写出完整的证明过程．

证明：如图，过点A

作直线l，使l∥BC．∵l∥BC，∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）．同理∠3＝∠5．∵∠1，∠4，∠5组成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．探究ABC12354l以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．归纳观察下面的动图，你能想出这个定理的其他证法吗？问题观察下面的动图，你能想出这个定理的其他证法吗？问题如图，你能想出这个定理的其他证法吗？问题

证明：如图，延长BC，过点C作直线l，使l∥AB．∵l∥AB，∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），

∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）．∵∠3，∠4，∠5组成平角，∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．ABC123l54有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成

Rt△ABC．直角三角形ABC观察下面的动图，你有什么发现？问题观察下面的动图，你有什么发现？问题直角三角形的两个锐角互余．试着证明你的结论．问题

证明：由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠A＋∠B＋90°＝180°，所以∠A＋∠B＝90°．ABC我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．思考ABC

解：有两个角互余的三角形是直角三角形，理由如下：

由三角形内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，∵∠A＋∠B＝90°，

∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°．∴有两个角互余的三角形是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形．ABC

例1

如图，在△ABC

中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC

的角平分线．求∠ADB的度数．ACBD解：由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD＝∠BAC＝20°．在△ABC中，∠ADB＝180°－∠BAD－∠B

＝180°－20°－75°＝85°．

例2

如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B

岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？

分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角．如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB．CEBDA北北

解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．

由AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°．

所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，

∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°．在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．

答：从B

岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B

两岛的视角∠ACB

是90°．CEBDA北北你还能想出其他解法吗？

解：如图，过点C

作CF∥AD，则CF∥BE．

可得∠ACF＝∠DAC＝50°，∠BCF＝∠CBE＝40°，所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝90°．CEBDA北北F归纳求角有技巧，一转二计算（1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置．（2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角．

例3

如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC

相交于点E，∠CAE

与∠DBE

有什么关系？为什么？

解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC．在Rt△BDE

中，∠DBE＝90°－∠BED．∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE．CADBE归纳直角三角形的注意事项

（1）“直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直