中考初三数学圆知识点复习

一、圆中重要的知识点

1、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,

即：

①45是直径②4B工CD③CE=DE④弧8C=弧RD⑤弧ZC=弧40

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在。。中，,:AB〃CD

...弧ZC=弧区0

例题1、基本概念

1.下面四个命题中正确的一个是()

A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2.下列命题中，正确的是().

A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦的中点的直线必过圆心

C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧

例题2、垂径定理

1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深f0\

度为16cm,那么油面宽度46是cm.X-——必----JB

1

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm,那么油的最大深度为，

3、如图，已知在0。中，弦AB=CD,且48LCD,垂足为8,0E上AB于E,J.CD于尸.

(1)求证：四边形OEHF是正方形.

⑵若CH=3,DH=9,求圆心。到弦N8和CD的距离.

4、已知：△ABC内接于。0,AB=AC,半径0B=5cm,圆心0到BC的距离为3cm,求AB的长.

5、如图，F是以。为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是你的中点，ADLBC于D,求证:AD=-BF.

2

例题3、度数问题

1、已知：在。。中，弦/8=12cm,。点到Z8的距离等于幺5的一半，求：NN05的度数和圆的半径.

2

2、已知：。。的半径。/=1,弦/反4c的长分别是后、g.求NR4c的度数。

例题4、相交问题

如图，已知。0的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,ZBED=30°,求CD的长.

例题5、平行问题

在直径为50cm的00中，弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB〃CD,求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦28,交小圆于a〃两点，设大圆和小圆的半径分别为

3

a力.求证：AD-BD=a~—b1.

例题7、平行与相似

已知：如图，45是。。的直径，CD是弦，ZELCD于E,，CD于尸.求证：EC=FD.

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3

定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①NAOB=NDOE；②AB=DE；

③OC=OF；④弧82=弧8。

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：：NZ05和NNC8是弧幺5所对的圆心角和圆周角

ZAOB=2ZACB

2、圆周角定理的推论:

4

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;

即：在。。中，•••NC、都是所对的圆周角

...ZC=ND

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是

直径。

即：在。。中，是直径或；ZC=90°

ZC=90°AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角

形是直角三角形。

即：在△ABC中，,/OC=OA=OB

△ABC是直角三角形或ZC=90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

【例1】如图，已知。。中，AB为直径，AB=10cm,弦AC=6cm,NACB的平分线交。0于D,求BC、AD和BD的长.

【例2】如图所示，己知AB为。。的直径，AC为弦，OD〃BC,交AC于D,BC=4cm.

(1)求证：AC±OD；(2)求OD的长;(3)若2sinA—1=0,求。0的直径.

5

【例3】四边形ABCD中，AB〃DC,BC=b,AB=AC=AD=a,如图，求BD的长.

【例4】如图1,AB是半。。的直径，过A、B两点作半。0的弦，当两弦交点恰好落在半。。上C点时，则有

AC•AC+BC-BC=AB2.

（1）如图2,若两弦交于点P在半。。内，贝|AP•AC+BP•BD=AB2是否成立？请说明理由.

（2）如图3,若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=.参照（1）填写相应结论，并证明你填写结

论的正确性.

AZC+ZBAD=1SO°Z5+ZD=180°

ZDAE=ZC

例1、如图7-107,。。中，两弦AB〃CD,M是AB的中点，过M点作弦DE.求证：E,M,0,C四点共圆.

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九、切线的性质与判定定理图7-107

(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：•••〃乂_1。4且〃乂过半径。4外端

是。。的切线

(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理:

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：;尸幺、尸8是的两条切线

/.PA=PB

PO平分NBPA

利用切线性质计算线段的长度

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例1：如图，已知：AB是。。的直径,P为延长线上的一点，PC切。。于C,CDLAB于D,又PC=4,。。的半

径为3.求：0D的长.

利用切线性质计算角的度数

例2：如图，已知：AB是。。的直径，CD切。。于C,AELCD于E,BC的延长线与AE的延长线交于F,且

AF=BF.求：NA的度数.

利用切线性质证明角相等

例3：如图，已知：AB为。。的直径，过A作弦AC、AD,并延长与过B的切线交于M、N.求证:

ZMCN=ZMDN.

利用切线性质证线段相等

例4：如图，己知：AB是。。直径，CO±AB,CD切。。于D,AD交CO于E.求证：CD=CE.

8

利用切线性质证两直线垂直

例5：如图，已知：ZXABC中，AB=AC,以AB为直径作。0,交BC于D,DE切于D,交AC于E.求证:

DEXAC.

H~一、圆嘉定理

(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在。。中，•••弦48、CD相交于点尸，

：.PAPB=PCPD

(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中

项。

即：在。。中，：直径幺5LCD,

CE2=AE-BE

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线

与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在。。中，•••/〃是切线，尸8是割线

PA2=PC-PB

(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。

即：在。。中，•:PB、尸£是割线

PCPB=PDPE

例1.如图，正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆0,过A作半圆切线，切点为F,交CD于

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E,求DE：AE的值。

例2.。0中的两条弦AB与CD相交于E,若AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么CE=cm。

例3.如图3,P是。。外一点，PC切。0于点C,PAB是。。的割线，交。0于A、B两点，如果

PA：PB=1：4,PC=12cm,。。的半径为10cm,则圆心0到AB的距离是cm。

例4.如图4,AB为00的直径，过B点作。。的切线BC,0C交。0于点E,AE的延长线交BC于点D,(1)求证:

「"一(2)若AB=BC=2厘米，求CE、CD的长。

图4

例5.如图5,在直角三角形ABC中，ZA=90°,以AB边为直径作。0,交斜边BC于点D,过D点作。。的切线交

AC于E。求证：BC=20Eo

图5

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。02

如图：a.垂直平分AB。B

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即：。仪相交于Z、5两点

，。1。2垂直平分Z8

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

(1)公切线长：必AQQC中，AB?=CO；=JOB-；

(2)外公切线长：CQ是半径之差；内公切线长：CQ是半径之和。

十四、圆内正多边形的计算

(1)正三角形

在。。中△48C是正三角形，有关计算在比中进行：OD:BD:OB=l：y5：2；

(2)正四边形

同理，四边形的有关计算在ASCME中进行,

OE:/E=1:1:也：

(3)正六边形

同理，六边形的有关计算在H/ACM5中进行，AB:OB:OA=1:6.2.

1、如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是()

A.2^/3cmB.V3cmD.1cm

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2、已知圆的半径是2«,则该圆的内接正六边形的面积是(

A.373B.9A/3C.18A/3D.36«

3、正三角形、正方形、圆三者的周长都等于/,它们的面积分别为Si，S2、S3,贝网).

A.Si=S2=S3B.S3<Si<S2C.Si<S2<S3D.S2<Si<S3

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：(1)弧长公式：/=竺与；

180

(2)扇形面积公式：S=^-=-lR