小学六年级数学小升初复习：优化问题 知识点

第十七节：典型应用题（二）优化问题

Q烙饼问题每一次尽可能的让锅里放最多的饼

o明确一项工作要做的事情

Wg沏茶问题一❷明确每项事情所需时间

0合六排工作近

©排队问题从等候时间技少的事情做起

e对策论问题例：田忌赛马，寻找最优方案

优化问题

e找次品问题用天平找次品，明确物品数目与次数的关系

e极值问题差用最省、面积最大、损耗最少等等

@解决方法画图、列表、推理

运筹问题

[例1]

用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。问煎3个饼至少

需要多少分钟？

思路引导一

先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入

第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全

部煎好。

正确解答：

3X24-2X1=3（分钟）

答：煎3个饼至少需要3分钟。

加图•技法提炼

解决烙饼、煎鱼等怎样操作最省时间的问题，最佳答案是每一次尽可能地让锅中按要求放上最多的饼、鱼

等，这样既不浪费资源，又节省时间。

【变式1】

1.用面包机烤面包时，第一面烤2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟，小勤的面包机

一次只能放2片，他每天早上吃3片面包，至少需要烤多少分钟？

【例2】

妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1

分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？

思路引导一

经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，所以洗水壶和烧开水

不能同时进行；而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。为此可以这样安排：先洗水壶用1分

钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶。

正确解答：

15+1=16（分钟）

答：最少需要16分钟。

近因•技法提爆

要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，把能同时进行的工作安排在同一时间段内进行，但要注意

同时进行的两项任务应互不干扰。

【变式2】

2.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早

餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟？

【例3】

六（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包

纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才

能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？

思路引导一

校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这

样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，孙勇1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。

正确解答：

1+4+9=14（分钟）

答：最少需要14分钟。

加囹•技法提炼

依次从等候时间较少的事情做起，就可以使总的等候时间较少。

【变式3】

3.甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分

钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？

【例4】

质量检测人员在检测9个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），如果用天平找次品方法，我们至少

称（）次保证找到这块芯片。

A.1B.2C.3D.5

思路引导一

第一次，把9个手机芯片分成3份：3个、3个、3个，取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻

的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；

第二次，取含有次品的一份（3个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那个，若天

平不平衡，则较轻的为次品；所以用天平至少称2次能保证找出次品。

正确解答：

B

国技法提炼

熟练掌握找次品的解答方法：待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。

【变式4】

4.下列说法中正确的是（）。

①用天平找次品，最好把所称的物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。

②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部

的钥匙和锁。

③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。

④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。

A.①②B.②③C.②④D.③④

【例5】

齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下三等马，田忌每种等级的马都比齐王的马差一些，田忌要想赢齐王,

他的中等马需要和齐王的什么马进行比赛？

齐王田忌本场胜者

第一场

第二场

第三场

思路引导一

要使田忌获胜，可以这样安排顺序：第一场，田忌用下等马对齐王上等马，齐王胜；第二场，田忌用上等马

对齐王中等马，田忌胜；第三场，田忌用中等马对齐王下等马，田忌胜。

正确解答：

可以这样安排：

齐王田忌本场胜者

第一场上等马下等马齐王

第二场中等马上等马田忌

第三场下等马中等马田忌

这样田忌以两胜一负获胜。

答：他的中等马需要和齐王的下等马进行比赛。

小图•技法提燎

田忌赛马的故事，开动脑筋，找出田忌获胜的方法，即找出三局两胜的方法是解答此题的关键；此类优化问

题主要考查了简单的枚举法应用，根据已知得出所有符合要求的答案。

【变式5】

5.“田忌赛马”这个故事中只要齐王的上等马不对阵田忌的下等马，齐王就一定能获胜。（）

|口5130极值问题

【例6】

用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？

思路引导一

根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18+2=9厘米。显然，当长与宽的差越小，围成的长方

形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形面

积最大。

正确解答：

5X4=20（平方厘米）

答：围成的长方形面积最大是20平方厘米。

苏因•技法提燥

周长相等的长方形或正方形，长与宽相差的越小，面积就越大。

【变式6】

6.一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米?

【例7】

用3~6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。

思路引导一

解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这

两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个因数的差越小，积越大”的规律，3应放在6的后面，4应

放在5的后面。

正确解答：

63X54=3402

答：两个两位数的最大乘积是3402。

加图•技法提炼

此题主要考查了最大与最小问题，考查了分析推理能力，解答此题的关键是要掌握：乘法算式的因数越大，

积就越大；因此要使两个数的乘积最大，就要使这两数尽量大，即两数差尽可能小。

【变式7】

7.用3~8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。

【例8】

某旅游团共有成人30人，学生18人。他们到某风景区观光旅游，门票价格如下。如果你队长，你准备怎

样购票最省钱？

A：成人票每张40元学生票半价

B：满40人可购买团体票，按每张25元计算

思路引导一

分别计算出两种购票形式的费用比较即可。A方式：成人票单价X人数+学生票单价义人数=总费用；B方

式：求出总人数，总人数X团体票单价=总费用；多考虑一种方式，即4（）人去买团体票，剩余学生去购买

学生票，三种方式的价格进行比较，哪种钱数最少就用哪种方式购票。

正确解答：

40X30+404-2X18

=1200+360

=1560（元）

（30+18）X25

=48X25

=1200（元）

48—40=8（人）

40X25+404-2X8

=1000+160

=1160（元）

1160元V1200元<1320元

答：40人去买团体票，8个学生去买学生票最省钱。

加囹•技法提炼

此类推关键是将两种方案进行合理整合，让成人享受团体票的优惠，学生又能享受学生票的优惠。

【变式8】

8.旅行社推出某景点一日游的A、B两种优惠方案（两种方案只能任选其一）。4个大人，6个小孩共约出

游，选择哪种方案省钱？（通过计算说明理由）

A方案（单人）大人每人280元；小孩每人120元。

每人200元，团体10人以上（含10人）可优惠

B方案（团体）1

O

10

，63r京>>建议用时：40min

一、填空题。

9.小刚骑马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马

过河需6分钟，丁马过河需7分钟，每次只能两匹马同时过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少需

分钟.

10.有13袋瓜子，其中12袋质量相同，另一袋质量轻一些，用天平称，至少称（）次才能保证

找到较轻的那袋瓜子。

11.甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行48千米，乙、

丙步行的速度为每小时6千米，已知A、B两地相距48千米。则三人同时到达的最短时间为（）

小时。

12.端午节妈妈包粽子.淘米、洗粽叶要用20分钟，包粽子要用1小时30分，把粽子煮熟要用50分

钟.如果想在中午12时吃到粽子，妈妈最迟从上午时分开始动手做.

13.聪聪和明明用扑克牌的点数比大小，采用三局两胜制。聪聪按8、6、4的顺序先出牌，明明想要获

14.在网络经济飞速发展的今天，消费者通过平台进行团购已经成为普遍现象。明明的爸爸妈妈准备星期

天带他去吃火锅。妈妈说，她在网上发现团购代金券69元/张，可抵100元消费，每桌限用两张，不足部

分用现金补齐。到饭店后发现，不用代金券可以享受七五折优惠。若一家三口吃火锅人均消费为70元，

采用（）消费方式比较优惠。

15.爸爸开车和妈妈一起从家外出办事。爸爸要去办公室取资料，妈妈要去商场购物。下图是他们的行走

路线和所用时间。他们办完这些事回到家，至少需要（）分钟。

二、选择题。

16.已知长方形的边长为整厘米数，周长为40厘米，求此长方形最小面积是多少？解决这个问题应该考虑

的问题是（）o

A.把20分解成两个整数相加，两个加数相乘积最小是多少

B.把20分解成两个因数相乘，相加最小两个因数是多少

C.把40分解成两个整数相加，两个加数相乘积最小是多少

D.求40是哪两个整数的最小公倍数

17.小华双休日想帮妈妈做下面的事情用全自动洗衣机洗衣服要用30分，扫地要用20分，擦家具要用10

分，晾衣服要用5分。她经过合理安排，做完这些事至少要花（）分。

A.30B.35C.40D.45

18.甲、乙、丙、丁四个人各拿一个水桶到自来水龙头前等候打水.甲打水要4分钟，乙打水要1分钟，

丙打水要3分钟，丁打水要2分钟.怎样安排四个人的打水顺序，才能使他们花的时间最少？（）

A.乙、丁、丙、甲B.甲、乙、丙、丁C.丙、丁、甲、乙

19.刘叔叔要复印一份共5张的资料，正反面都要复印，复印机一次可以放2张，复印一次要6秒，最少需

要复印的次数和最少需要的时间（单位：秒