教师资格认定考试高级中学数学模拟题14

教师资格认定考试高级中学数学模拟题14一、单项选择题1.

设常数α＞0，β＞0，则级数敛散性______A.与α，β的值有关B.仅与α的值有关C.仅与β的值有关D.与α，β的值都无关正确答案：A[解析]，根据正项级数的比式判别法可知，当0＜β＜1时，级数收敛，当β＞1时，级数发散，当β=1且α＞1时级数收敛，当β=1且α≤1时级数发散。故级数的敛散性与α，β的值都有关。

2.

“数列{xn}有界”是“存在”的______A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件正确答案：A[解析]当存在时，数列{xn}收敛，则该数列必有界；反之，不成立，如数列{(-1)n-1}有界，但不收敛，即数列极限不存在。因此“数列{xn}有界”是“存在”的必要不充分条件。

3.

设a，b是两个非零向量，则下面说法正确的是______A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得a=λbD.若存在实数λ，使得a=λb，则|a+b|=|a|-|b|正确答案：C[解析]利用排除法可得选项C是正确的，∵|a+b|=|a|-|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a=λb。选项A：|a+b|=|a|-|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，比如在正方形里，|a+b|=|a|-|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a=λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立。

4.

若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可导，且f(a)=f(b)，则______A.至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0B.一定不存在一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0C.恰存在一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0D.对任意的ξ∈(a，b)，都有f'(ξ)=0正确答案：A[考点]本题考查罗尔定理。

5.

设随机变量X～N(0，1)，X的的分布函数为φ(x)，则P(|X|＞2)的值为______A.2[1-φ(2)]B.2φ(2)-1C.2-φ(2)D.1-2φ(2)正确答案：A[解析]P(|X|＞2)=P(X＞2)+P(X＜-2)=1-P(X≤2)+P(X＜-2)=1-φ(2)+φ(-2)=1-φ(2)+1-φ(2)=2[1-φ(2)]，故选A。

6.

若级数在x=-1处收敛，则此级数在x=4处______A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不确定是否收敛正确答案：A[解析]令y=x-2，在x=-1处收敛y=3处收敛，的收敛半径R≥3。x=4时，y=2。在收敛域内收敛，由幂级数收敛域的对称性可知，此级数在x=4处绝对收敛。

7.

选取与所授内容有关的生活实例或某种经历，通过对其分析、引申、演绎归纳出从特殊到一般、从具体到抽象的规律导入新课的方法是______A.直接导入法B.复习导入法C.实例导入法D.悬念导入法正确答案：C[解析]选取与所授内容有关的生活实例或某种经历导入新课，这种方法属于实例导入法，故选C。

8.

数学建模属于______试题类型。A.客观性B.探究性C.开放性D.应用性正确答案：D[解析]应用性试题适合考查学生应用数学的意识和数学建模能力，故选D。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分，求这两部分面积之比。正确答案：解：抛物线y2=2x与圆x2+y2=8的交点分别为(2，2)与(2，-2)，如图所示，抛物线将圆分成两个部分A1，A2，记它们的面积分别为S1，S2，则有。

2.

设，已知线性方程组AX=b存在两个不同的解，求λ，a的值。正确答案：解：写出增广矩阵，作初等行变换得，

线性方程组AX=b存在两个不同的解，可知AX=b有无穷多解，故r(A)=r(A，b)＜3。

因此系数矩阵的行列式为零，可知λ=1或-1。

又当λ=1时，增广矩阵为，此时，无论a为何值，都有r(A)=1，r(A，b)=2，线性方程组无解，不符合题意。

故λ=-1，此时增广矩阵为，r(A)=2，

要使得r(A，b)也为2，则必有a=-2。

故

一商家销售某种商品的价格满足关系P=7-0.2x(万元/吨)，其中x为销售量，该商品的成本函数为C=3x+1(万元)。3.

若每销售一吨商品，政府要征税t万元，求该商家获最大利润时的销售量；正确答案：解：设政府税收总额为T，商品销售收入为R，则

T=tx，R=x·P=7x-0.2x2，

利润函数为L=R-C-T=7x-0.2x2-(3x+1)-tx=-0.2x2+(4-t)x-1，

L'=-0.4x+(4-t)。

令L'=0，得，

又L"=-0.4＜0，

所以当销售量为吨时，该商家可获得最大利润。

4.

t为何值时，政府税收总额最大?正确答案：解：，

令T'=0，得t=2，

又T"=-5＜0，

所以当t=2时，政府税收总额最大。

5.

结合自己的教学实践，谈谈函数的单调性、奇偶性与周期性同等重要吗?正确答案：在高中阶段，主要讨论函数的变化，所谓变化就是自变量增加(减少)时，函数值是增加还是减少。增加或减少总是与自变量在某个区间有关，所以在单调性、奇偶性与周期性中，单调性是体现函数变化的最基本的性质，是最为重要的。

6.

阐述用二分法求方程近似解的适用范围及步骤，并说明高中数学新课程中引入二分法的意义。正确答案：(1)用二分法求方程f(x)=0的近似解，需要选择一个合适的区间[a，b]，函数y=f(x)必须在区间[a，b]上连续，且满足f(a)·f(b)＜0，这是二分法的适用范围。

其步骤为：

①找出一个区间[a，b]，使得f(a)与f(b)异号，给定精度ε；

②求该区间的中点；

③求出f(m)的值：

若f(m)=0，则m就是函数的零点，

若f(a)·f(m)＜0，则令b=m，

若f(m)·f(b)＜0，则令a=m；

④判断是否达到精度ε。

若|a-b|＜ε，则得到零点值a(或b)，否则重复步骤②～④。

(2)高中数学新课程中引入二分法的意义：首先，“二分法”简便而又应用广泛，只要函数存在端点函数值异号且连续的区间，任何方程都可以用“二分法”求近似解，这就为教材后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具。其次，它体现现代而又根植传统，算法为计算机时代的一种重要数学思想方法，作为新增的内容安排在数学必修3中进行教学。“二分法”是数学教学的一个前奏和准备，它所涉及的主要是函数知识，其理论依据是“函数零点的存在性(定理)”。再次，“二分法”朴素而又寓意深刻，体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在算法以及其他地方运用和推广的朴素的思想，可以让学生感受“整体→局部”“定性→定量”“精确→近似”“计算→技术”“技法→算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想的教育价值。

三、解答题(10分)设α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-1，2，0)，α5=(2，1，5，6)。1.

证明α1，α2线性无关；正确答案：由于α1，α2的对应向量不成比例，因而α1，α2线性无关。

2.

把α1，α2扩充成一极大线性无关组。正确答案：因为α3=3α1+α2，且由k1α1+k2α2+k4α4=0，可解得k1=k2=k4=0，所以α1，α2，α4线性无关。再令k1α1+k2α2+k4α4+k5α5=0，代入向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因为该齐次线性方程组存在非零解，即α1，α2，α4，α5线性相关，所以α5可由α1，α2，α4线性表出。所以α1，α2，α4就是原向量组的一个极大线性无关组。

四、论述题(15分)1.

在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，同时又要加强几何直观，试以高中数学教学为例，谈谈你对这方面的认识。正确答案：(1)在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但又不能只限于形式化的表达，还应注意揭示数学的本质。例如，有些概念(如函数)的教学是从已有知识和实例出发，再抽象为严格化的定义；有些内容(如统计)的教学是通过案例来学习它的思想和方法，理解其意义和作用；又如，对导数概念的理解，是通过实例，让学生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而了解导数概念的实际背景以及瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。

(2)另一方面，还应加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考，培养学生数形结合的思想和应用意识。在几何性质和其他内容的教学中，都应借助几何直观，揭示研究对象的关系，例如，借助几何直观理解圆锥曲线，理解导数的概念及函数的单调性与导数的关系等。

五、案例分析题(20分)在学习等差数列前n项和时，有这样一道题目：

设数列{an}，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，Tn，，则

有一名学生给出了这样的方法：

令Sn=5n+10，Tn=2n-1，则a7=S7-S6=5，b7=T7-T6=2，所以。

问题：1.

该生的解法是否正确?如果不对，请写出正确的解法(至少两种)；正确答案：该生的解法不正确。等差数列的前n项和是没有常数项的二次函数，而题中给出的做法显然认为其前n项和是一次函数，这是错误的，正确的解法有两种：

①令Sn=n(5n+10)，Tn=n(2n-1)，a7=S7-S6=75，b7=T7-T6=25，所以。

②∵，∴，

2.

针对学生解答中出现的错误，你应如何指导该生学习避免再犯错误?正确答案：该生在学习数学时，对于知识的理解不到位，建议该生加强对知识本质的理解。建议在变式中加强对概念和公式的理解，可以设计以下题目：

①已知数列{an}的前n项和是Sn=3n2-2n+c，若数列{an}是等差数列，求c的值；

②在等差数列中，已知a1=-11，d=2，试求当n为何值时，Sn有最小值?

③在等差数列中，已知S9=S12，a1＜0，试求当n为何值时，Sn有最小值?

以上三道题目，始终围绕等差数列前n项和是关于n的二次函数这一知识点展开，相信通过以上训练学生一定不会再犯类似的错误。

六、教学设计题(30分)高中“方程的根与函数的零点”(第一节课)设定的教学目标如下：

①通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象的思想，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系。

②理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

③通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，理解动与静的辩证关系，掌握函数零点存在性的判断。

请完成下列任务：1.

根据教学目标，设计一个问题引入，并说明设计意图；正确答案：问题引入：求方程3x2+6x-1=0的实数根。

变式：解方程3x2+6x-1=0。(一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。如在求方程lnx+2x-6=0的实数根时很难下手，我们寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。)

【设计意图】从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他们的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山地提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。

2.

根据教学目标①，设计问题链(至少包含三个问题)，并说明设计意图；正确答案：问题①：求方程x2-2x-3=0的实数根，并画出函数y=x2-2x-3的图象；

问题②：观察形式上函数y=x2-2x-3与相应方程x2-2x-3=0的联系；

问题③：由于形式上的联系，则方程x2-2x-3=0的实数根在函数y=x2-2x-3的图象中如何体现?

【设计意图】以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，理解零点是连接函数与方程的结点。

3.

根据教学目标③，至少给出一个实例和三个问题，井说明设计意图；正确答案：实例：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片段。现在我有两组镜头(图略)，哪一组能说明他的行程一定曾渡过河?

【设计意图】从现实生活中提出问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。

问题①：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴是怎样的位置关系时，A、B间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点?

【设计意图】将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。

问题②：A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号(式子)来表示?

【设计意图】由原来的图象语言转化为数学语言，培养学生的观察能力和提取有效信息的能力，体验语言转化的过程。

问题③：满足条件的函数图象与x轴的交点一定在(a，b)内吗?即函数的零点一定在(a，b)内吗?

【设计意图】让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。

4.

确定本节课的教学重点；正确答案：教学重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断方法。

5.